高中數(shù)學(xué)《充要條件》導(dǎo)學(xué)案

1.2.2充要條件

卜課前自主預(yù)習(xí)

H基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

1.充要條件

一般地，如果既有“今夕，又有qOp,就記作四包?此時，我們說，P是q

的國充分必要條件,簡稱因充要條件.

2.常見的四種條件與命題真假的關(guān)系

如果原命題為“若P，則,逆命題為“若q,則，那么p與q的關(guān)系

有以下四種情形：

原命題逆命題p與q的關(guān)系

p是4的充要條件

真真

9是〃的充要條件

〃是4的充分不必要條件

真假

“是〃的必要不充分條件

p是q的必要不充分條件

假真

q是p的充分不必要條件

〃是g的既不充分也不必要條件

假假

(7是〃的既不充分也不必要條件

H知識拓展

從集合角度看充分、必要條件和充要條件

如果把p研究的范圍看成集合A,把q研究的范圍看成集合8,則可得下表.

記法A={x|p(x)},B={x|q(x)}

關(guān)系A(chǔ)BBAA=BASB且82A

圖示?cz^

p是q的充分不必p是q的必要不充〃是4的既不充分

結(jié)論p，q互為充要條件

要條件分條件也不必要條件

H自診小測

1.判一判（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）當夕是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立.（）

(2)邏輯聯(lián)結(jié)符號3具有傳遞性.()

(3)若〃我q和<7我〃有一個成立，則〃一定不是g的充要條件.()

答案(1)J(2)V(3)V

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)“f<1”的充要條件是.

(2)叱-1=0”是“僅|-1=0”的條件.(從“充分不必要”“必要

不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個合適的填空)

(3)已知向量a=(x—1,2),6=(2,1),則a_L方的充要條件是.

(4)如果不等式xWm成立的充分不必要條件是KW2,則m的最小值為

答案(1)-14<1(2)充要(3)x=0(4)2

卜課堂互動探究

探究1充要條件的判斷

例1下列各小題中，P是q的充要條件的是()

①p：〃?<—2或m>6,g+〃?+3有兩個不同的零點；

②P：=1'q：>=/(尢)為偶函數(shù)；

j\x)

(3)p：cosa=cos￡,q：tana=tan四

④p：AC\B=A,q：

A.①②B.②③C.③④D.①④

［解析］①q：yuf+jnr+m+B有兩個不同零點=4(m+3)>0臺

—2或m>60p.

②/(x)=0時，q我p.

兀

③若a,4=也+］(女WZ),此時有cosa=cos/?,但沒有tana=tan6.

④p：臺夕：［以3］必，

二①④中，〃是4的充要條件.

［答案］D

拓展提升

判斷〃是q的充分必要條件的兩種思路

(1)命題角度：驗證由”能否推出％由q能否推出p,對于否定性命題，注

意利用等價命題來判斷.

(2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當不容易判斷p3q及

q0p的真假時，也可以從集合角度去判斷，結(jié)合集合中“小集合今大集合”的關(guān)

系來理解，這對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的.

【跟蹤訓(xùn)練1】已知p是q的充分條件，是「的必要條件，也是$的充分

條件，「是s的必要條件，問：

(Dp是r的什么條件？

(2)s是q的什么條件？

(3)p,q,r,s中哪幾對互為充要條件？

解作出“今”圖，如右圖所示，可知：

9信)q,,s~^r.

pnqUr

u

s

(l)p今夕Os-r,且Qq,q能否推出p未知，.'.p是r的充分條件.

(2)Vs^r=>q,2s,

.?.s是q的充要條件.

(3)共有三對充要條件，g臺s；sOr；r^q.

探究2充要條件的證明

例2設(shè)a,h,c是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊.求證：a2=b(b

+c)的充要條件是A=2B.

［證明］充分性：?.?A=23,—5=5,則sin(A-B)=sinB,則sinAcosB一

*+c2—/?2廬+c2一

cosAsinB=sinB,結(jié)合正弦、余弦定理得。一總一i?丁”=b,化簡整

理得a2=b(b+c)；

必要性：由余弦定理。2=〃2+/—20CCOSA,且〃2=hS+c),得"2+/?C=〃+

2

c—2bccosAf

.「八csinC

..l+2cosAA=^=—

即sinB+2sinBcosA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinB=

sirt4cos8—cosAsinB=sin(A—3),由于A,B均為三角形的內(nèi)角，故必有B=A-B,

即A=23.

綜上，知/=8S+c)的充要條件是A=2R

［結(jié)論探究］如果把例2中問題改為“求證A,B,。成等差數(shù)列的充要條件

是8=60。"，怎樣證明?

證明充分性：

在△ABC中，A+B+C=180°,

又,.?8=60°,/.A+C=120°.

：.A+C=2B.：.A,B,C成等差數(shù)列.

必要性：

A,B,C成等差數(shù)列，：.A+C=2B.

又?.,A+3+C=180°,即38=180°,

."=60°.

綜上得A,B,C成等差數(shù)列的充要條件是8=60。.

拓展提升

充要條件的證明

證明“充要條件”一般應(yīng)分兩個步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，

但千萬要注意“誰”是“誰”的充分條件，“誰”是“誰”的必要條件.盡管證

明充要條件問題中前者是后者的充分條件，也可以是必要條件，但還是不能把步

驟顛倒了.一般地，證明成立的充要條件為q”時，在證充分性時應(yīng)以夕為“已

知條件”，〃是該步中要證明的“結(jié)論”即qtp；證明必要性時則以〃為“已知

條件”，即p0/

4

【跟蹤訓(xùn)練2]求證：OWaV,是不等式a^—ax+l—aX）對一切實數(shù)x

都成立的充要條件.

4

證明充分性：當0<。<5時，

判別式/=/一4。（1一。）=54一4。=a（5a-4）<0,

則ax2—ax+1—6f>0對一切實數(shù)尢都成立.

而當4=0時，不等式ax2—ax+1—a>0可變成l>0.

顯然當。=0時，不等式aj^—ax+1—tz>0對一切實數(shù)x都成立.

必要性：因為a^—ax+\—a>Q對一切實數(shù)元都成立，

[<7>0,

所以Q=0或彳9

A=a4〃（1一a）V0,

4

解得

4

故是不等式ar2—or+l—6/>0對一切實數(shù)x都成立的充要條件.

探究3求充要條件

例3求關(guān)于x的方程OX2+2X+1=0至少有一個負實根的充要條件.

[解]當。=0時，符合要求.

當時，顯然方程沒有零根，若方程有兩個異號的實根，則由根與系數(shù)的

，/=4—4心0,

1

關(guān)系可知a<0；若方程有兩個負實根，則>0解得0<aWL

綜上所述，若方程o?+2x+l=0至少有一個負實根，則aWl.

反之，若則方程加+2》+1=0至少有一個負實根.

因此，關(guān)于x的方程o?+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是aW1.

拓展提升

探求充要條件的兩種方法

(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條

件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明.

(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程

同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和

必要性分開來證.

【跟蹤訓(xùn)練3]圓^+/=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是

答案—事

得!=葭解得

解析當圓/+尸=1與直線y="+2有一個公共點時，有

左=域.結(jié)合圖形可知，圓與直線沒有公共點的充要條件是一小必<小.

1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法.

2.充要條件的證明與探求

(1)充要條件的證明分充分性和必要性的證明，在證明時要注意兩種敘述方式

的區(qū)別：

①〃是4的充要條件，則由〃今q證的是充分性，由4np證的是必要性；

②p的充要條件是q，則p=>q證的是必要性，由q=>p證的是充分性.

(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變

形轉(zhuǎn)化過程都可逆，也可以直接求出充要條件.

卜隨堂達標自測

1.“9=兀"是"曲線y=sin(2x+s)過坐標原點”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當夕=兀時，y=sin(2x+jt)=-sin2x,此時曲線過坐標原點；但曲線y

=sin(2x+s)過坐標原點時，s=E(%WZ),“夕=兀"是"曲線y=sin(2x+g)過

坐標原點”的充分而不必要條件.故選A.

2.2)2=0”是“%。-2)=0”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析f+(y—2)2=0,即x=0且y=2,：.x(y—2)=0.反之，x。-2)=0,即

x=0或y=2,W+(y—2)2=0不一定成立.

3.設(shè)光eR,則“x＞l”是“爐＞1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析因為x￡R,“介1”臺“爐＞1"，所以“x＞l”是“爐＞1”的充要條件.

4.“a=—1”是“直線依+3y+3=0與直線x+(a—2)y+l=0平行”的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

fa(a-2)=3X1,

解析由兩直線平行，可得解得a=-1；當a=—1時，

[aX1W3X1,

兩直線的方程分別為x-3y—3=0和x-3y+l=0,可知兩直線平行.故“。=一

1"是"直線ox+3y+3=0與直線x+(a—2)y+1=0平行”的充要條件.

5.已知x,y都是非零實數(shù)，且x＞y,求證：的充要條件是孫＞0.

證明證法一：充分性：由肛＞0及x＞y,得W＞白，即=＜:?

A-V人)‘(z

必要性：由:</得:一（<0，即^^<0.

因為x>y,所以y—x<0,所以xy>0.

所以人的y充要條件是孫>0.

證法二：-<-4=>---<o<=>---<o.

xyxy孫

由條件x>y<^y—x<Q,故由~~~^<0臺孫>0.

孫

所以丹臺肛〉0,

即:々的充要條件是盯>0.

xy

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.已知直線。，匕分別在兩個不同的平面a,夕內(nèi).則“直線。和直線匕相

交”是“平面a和平面夕相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若直線a,。相交，設(shè)交點為P,則PGa,PGb又aUa,bup,所以

pea,P",故a,4相交.反之，若a,夕相交，則a,匕可能相交，也可能異

面或平行.故“直線a和直線〃相交”是“平面a和平面尸相交”的充分不必要

條件.

2.給定兩個命題p,q.若^p是q的必要而不充分條件，則p是癡的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析??p是q的必要而不充分條件，;應(yīng)今㈱p,但㈱p?4,其逆否命

題為pn㈱q,但㈱q沙P，而原命題與其逆否命題是等價命題.故選A.

3.已知函數(shù)人x）=Acos（ox+夕）（4>0,<o>0,0GR）,則"於）是奇函數(shù)"是"夕

或的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析/（九）是奇函數(shù)時，s=?+E伙GZ）；8=]時，?r）=Acos[cox+2）=一

JT

Asin①x,為奇函數(shù).所以“外幻是奇函數(shù)”是“9=1’的必要不充分條件.故選

4.已知直線/i：or+（a+l）y+1=0,h-.x+ay+2=0,則"a=-2"是"h

_L/2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析直線/i_U2的充要條件是a+a（a+l）=0,解得。=0或。=一2,所以

%=—2"是"/山2”的充分不必要條件.

5.已知不等式印一相<1成立的充分不必要條件是g令4，則實數(shù)機的取值范

圍是（）

答案B

解析由題易知不等式|工一加|<1的解集為｛x|zn—｝,從而有｛川形一

l<x<m+1}

m+1>^,

214

]解得一于林司，

而機+1=；與加一1=1■不同時成立，

14

.??加=-]及m=§亦滿足題意，

14

/.一5?用忘不故選B.

6.設(shè)｛z｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為外貝『力<0”是“對任意的正整數(shù)

鹿，。2〃-1+。2〃<0”的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

n22222

解析由題意得，an=a\qaini+a2n=a\q"+a\q"'=a\q"(\

+q).若q<0,因為1+q的符號不確定，所以無法判斷3』十。2〃的符號；反之，

若。2"-1+。2"<0,即a)"-2(］+/<0,可得q<—1<().故七<0"是“對任意的正整數(shù)

n,。2"-1+。2"<0"的必要而不充分條件.選C.

二'填空題

7.設(shè)函數(shù)_/W=內(nèi)+/OWxWl),則a+2b>0是>U)>0在［0,1］上恒成立的

條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必

要”)

答案必要不充分

伏0)>0,他〉0,

解析由八二

卜1)>0U+^>0,

：.a+2b>Q.

而僅有a+2b>0,無法推出40)>0和11)>0同時成立.

8.已知a,8為兩個非零向量，有以下命題：

①屋=52；②a力=尻；③⑷=|切且?！◤钠渲锌梢宰鳛閍=b的必要不充分條

件的命題是.(將所有正確命題的序號填在題中橫線上)

答案①②③

解析顯然Q時①②③均成立，即必要性成立.

當屋=萬2時，(a+b)-(a~b)=0,不一定有。=岳

當a山=配時，b(a—b)=Q,不一定有a=b；

|a|=例且a〃萬時，a=b或a=一方，即①②③都不能推出a=Z>.

9.若函數(shù)7U)=2X—(F—3>2r，則％=2是函數(shù)次X)為奇函數(shù)的條

件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案充分不必要

解析當一=2時，義力=2'—(>-3>2七=2'—2七,此時函數(shù)人x)為奇函數(shù)；

反之，當函數(shù)寅幻為奇函數(shù)時，有兀Q+火一x)=2、一(3—3>2-，+2r—(好一3>2,

=(4一%2)(2*+2")=0,則有3=4,即左=±2；故％=2是函數(shù)?r)為奇函數(shù)的充

分不必要條件.

三'解答題

10.下列各題中，〃是q的什么條件？

(l)p：lgx2=0,<7：x=1；

(2)p：b=c,q：ab=ac(a,b,cWO)；

(3)p：且y?l,q：尤+>22；

(4)p：x,y不全為