四章節(jié)函數(shù)極限通論

第四章函數(shù)極限通論郇中丹2006-2007學(xué)年第一學(xué)期1基本內(nèi)容§1數(shù)值函數(shù)極限的統(tǒng)一形式§2函數(shù)沿基極限的性質(zhì)§3函數(shù)沿基極限存在的條件2§1.數(shù)值函數(shù)極限的統(tǒng)一形式一元函數(shù)極限的基本形式集合基函數(shù)沿基收斂函數(shù)沿基的無窮極限3一元函數(shù)極限的基本形式微積分研究的基本對象是.基本工具是極限.而一元數(shù)值函數(shù)(m=n=1)是其中的最簡單和最基本情形.在微積分中,A一般是區(qū)間.一元函數(shù)的極限分成下面的六類:在一點(diǎn)的極限、在一點(diǎn)的左極限、在一點(diǎn)的右極限、在

處的極限、在+處的極限、在-處的極限.x0相對于A的空心鄰域={xA|0<|x-x|<d}.4集合基集合基:設(shè)A是非空集合.A的子集族B叫作A的一個(集合)基,如果B滿足如下兩條性質(zhì):B包含無限多個A的非空子集,的元素叫作終端；

b1,b2

B,b3

B,b3b1b2.集合基的例子:1.A=N,B={b={nN|n>k}|kN};2.A=I,x0I,B={b={xA|0<|x-x0|<d}|d>0};3.A=I,x0I,B={b={xA|0<x-x0<d}|d>0};4.A=R,B={b=(c,+)|c>0}.5函數(shù)沿基收斂設(shè):AR,B是A的一個基,lR.沿B收斂到極限l,如果

e>0,bB,xb,|(x)-l|<e.記做

(x)l(沿基B)或例子:1.數(shù)列極限,常用記號;數(shù)列基.2.函數(shù)在一點(diǎn)的極限,常用記號;雙側(cè)基.3.函數(shù)在一點(diǎn)的左極限,常用記號;左側(cè)基.4.函數(shù)在一點(diǎn)的右極限,常用記號;右側(cè)基.5.函數(shù)在+處的極限,常用記號;+側(cè)基.6.函數(shù)在

處的極限,常用記號.基.6函數(shù)沿基的無窮極限設(shè):AR,B是A的一個基,lR.沿基B有極限+,如果c>0,bB,xb,(x)>c.記做(x)

+(沿基B)或類似地可以給出極限為

,或-

的定義.在下面的討論中,如果沒有特殊申明,一般討論所說的極限都是有限極限.7習(xí)題八(I)1.寫出下列極限的定義和相應(yīng)的基:2.驗(yàn)證下列極限8習(xí)題八(II)3.證明:數(shù)列基,雙側(cè)基,左側(cè)基,右側(cè)基,+側(cè)基,-

側(cè)基和基都具有如下性質(zhì):存在可數(shù)多個終端{(lán)bn}滿足(1)若m<n,bnbm;(2)對于任何終端b,n,bnb.sn(x)AA

若bR9§2函數(shù)沿基極限的性質(zhì)函數(shù)的有界性與無窮小量極限基本性質(zhì)10函數(shù)的有界性與無窮小量函數(shù)的有界性:設(shè):AR,DA.如果存在c>0,使得

xD,|(x)|c,就說在D上有界.類似地可以定義有上界和有下界.函數(shù)的終極有界性:設(shè):AR,B是A的一個基.如果存在bB,使得

xb,|(x)|c,就說關(guān)于基B終極有界.類似地可以定義終極有上界和終極有下界.無窮小量:若a(x)0(沿基B),就稱a是沿基B的無窮小函數(shù)或無窮小量.11極限基本性質(zhì)(I)1.惟一性:若函數(shù)沿基B的極限存在,則極限是惟一的.2.極限的終極惟一性:設(shè)存在bB,使得

xb,(x)=g(x).如果

(x)l(沿基B),則g(x)l(沿基B).3.終極有界性:若

(x)l(沿基B),則關(guān)于基B終極有界.12極限基本性質(zhì)(II)4.非零極限的終極保號性:設(shè)(x)l(沿基B).若l>0,則存在bB,使得xb,(x)>l/2.若l<0,則存在bB,使得xb,(x)<l/2.5.無窮小估計(jì):設(shè)a是沿基B的無窮小量,沿基B終極有界.若bB,xb,|b(x)||a(x)(x)|,則b是沿基B的無窮小量.6.極限的算術(shù)性質(zhì):若

(x)l1(沿基B),g(x)l2(沿基B),則(x)+g(x)l1+l2(沿基B),(x)g(x)l1

l2(沿基B),(x)/g(x)l1/l2(沿基B)(若l20).13極限基本性質(zhì)(III)7.保序性1:設(shè)

(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)

c,則lc.類似地,若bB,xb,(x)c,則Lc.8.保序性2:設(shè)

(x)l1,g(x)l2(沿基B).若bB,xb,(x)g(x),則l1

l2.9.夾逼性質(zhì)2:設(shè)

(x)l,h(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)g(x)h(x),則g(x)l(沿基B).14習(xí)題九(I)1.設(shè)和g是定義在區(qū)間(a,b)上的函數(shù).給出

中相應(yīng)的基B和相應(yīng)的極限定義.證明:如果g(x)l>0(沿基B),則(x)g(x)+(沿基B).2.計(jì)算下列極限:15習(xí)題九(II)3.計(jì)算下列極限:4.設(shè)

:(0,+)R且對于任何a>0,在(0,a)上有界.證明:如果,則16§3函數(shù)沿基極限存在的條件函數(shù)沿基存在極限的Cauchy準(zhǔn)則Heine收斂性和常見基Cauchy收斂性和Heine收斂性復(fù)合函數(shù)的極限定理無窮小函數(shù)的階大O與小o記號17函數(shù)沿基存在極限的Cauchy準(zhǔn)則Cauchy準(zhǔn)則:函數(shù)

沿基B有極限,當(dāng)且僅當(dāng)

e>0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<e.證明:1.必要性:設(shè)

(x)l(沿基B).任取e>0,則

bB,使得xb,|(x)-l|<e/2.因此,x,yb,|(x)-(y)||(x)-l|+|l

-(y)|<e.2.充分性:設(shè)e>0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<e.先構(gòu)造構(gòu)造出候選極限l,然后證明

(x)l.3.構(gòu)造閉區(qū)間套{Dn}和終端列{b(n)}使其滿足:(1)xb(n),(x)Dn;(2)若n<m,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.(先假定已經(jīng)得到{Dn}和{b(n)})18Cauchy準(zhǔn)則證明(續(xù)I)4.由閉區(qū)間定理,!l

Dn.下面證明

(x)l(沿基B).任取e>0,則存在n使得1/n<e.則xb(n),(x)Dn;由l

Dn,|(x)-l||Dn|1/n<e.5.遞歸構(gòu)造所需閉區(qū)間套{Dn}和終端列{b(n)}:取e=1,則b(1)B,使得x,yb,|(x)-(y)|<1.取定yb(1),則xb(1),|(x)|1+|(y)|.記m(1)=inf{(x)|xb(1)};M(1)=sup{(x)|xb(1)}.取D1=[m(1),M(1)].則M(1)-m(1)supf(x)-inff(y)=supf(x)+sup-f(y)=sup(f(x)-f(y))sup|f(x)-f(y)|1.19Cauchy準(zhǔn)則證明(續(xù)II)假設(shè)完成閉區(qū)間套{Dn}和終端列{b(n)}前k個閉區(qū)間和前k個終端的構(gòu)造使得當(dāng)n,m=1,..,k時,有(1)xb(n),(x)Dn;(2)若n<m,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.對于n=k+1,取e=1/(k+1),則bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<1/(k+1).取b(k+1)=bb(k).m(1)=inf{(x)|xb(k+1)};M(1)=sup{(x)|xb(k+1)}.取Dk+1=[m(1),M(1)].則M(k+1)-m(k+1)1/(k+1).不難驗(yàn)證性質(zhì)(1-3).#20Heine收斂性和常見基Heine收斂性:設(shè)

:AR.B是A的一個基.如果對于任何A中滿足下列條件的序列{xn}:bB,n0,n>n0,

xnb,必有數(shù)列{(xn)}收斂,就說

沿基B在Heine意義下收斂.常見基:集合A的基B叫作常見的,如果B有一個可數(shù)子集C={cn},使得

bB,cC,cb.這里要求m,nN,m>n,cmcn.例子:數(shù)列基,雙側(cè)基,左側(cè)基,右側(cè)基,+基,-

基和

基都是常見基.21Cauchy收斂性和Heine收斂性(I)Cauchy收斂性保證Heine收斂性:如果

(x)l(沿基B),則

沿基B在Heine意義下收斂.證明:假設(shè)(x)l(沿基B).任取A中的{xn}滿足:bB,n0,n>n0,

xnb.對于數(shù)列{(xn)},任取e>0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|<e.由{xn}的性質(zhì),則

n0,n>n0,

xnb.因而

m,n>n0,xm,

xnb,所以|(xm)-(xn)|<e.因此{(lán)(xn)}收斂.者就得到沿基B在Heine意義下收斂.#22Cauchy收斂性和Heine收斂性(II)關(guān)于常見基的Heine收斂性保證Cauchy收斂性:設(shè)

沿常見基B在Heine意義下收斂.則

沿基B是Cauchy收斂的.證明:1.反證.假設(shè)

沿基B不是Cauchy收斂的.則存在e>0,使得

bB,x,yb滿足|(x)-(y)|e.特別

nN,xn,yncn滿足|(xn)-(yn)|e.2.定義數(shù)列{zn}:當(dāng)n為偶數(shù)時,zn=xn/2;當(dāng)n為奇數(shù)時,zn=y(n+1)/2.則{(zn)}是發(fā)散的.這是由于

nN,|(z2n+2)-(z2n+1)|=|(xn+1)-(yn+1)|e.23Cauchy收斂性和Heine收斂性(III)3.數(shù)列{zn}滿足bB,n0,n>n0,

znb.這是由于bB,cmb,這樣km,ckcmb,因而n>2m時,znb.4.所以

沿常見基B在Heine意義下不收斂.矛盾.#24復(fù)合函數(shù)的極限性質(zhì)(I)定理1.設(shè)g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一個基.若g(x)l(沿基B),(y)(l)(yl),則(g(x))(l)(沿基B).證明:任取e>0,由(y)(l)(yl),存在d>0,使得

yD,|y-l|<d,必有|(y)(l)|<e.在由g(x)l(沿基B),存在b

B,使得

xb,|g(x)-l|<d.注意g(x)D,則xb,|(g(x))-(l)|<e.所以(g(x))(l)(沿基B).#25復(fù)合函數(shù)的極限性質(zhì)(II)定理2.設(shè)g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一個基.若g(x)l(沿基B),且

bB,g(b)D且xb,

g(x)l,(y)l(yl),則(g(x))l(沿基B).定理3.設(shè)g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一個基.若g(x)+(沿基B),(y)l

(y+),則(g(x))l(沿基B).定理2和定理3的證明留作習(xí)題。26無窮小函數(shù)的階高階無窮小:設(shè)a(x),b(x),g(x)是沿基B的無窮小函數(shù),并且在基的某個終端上b(x)0.如果成立a(x)=b(x)g(x)

就說a(x)是比b(x)高階的無窮小.等價(jià)無窮小:設(shè)a(x)和b(x)是沿基B的無窮小函數(shù),如果a(x)-b(x)是比a(x)或b(x)高階的無窮小,就說a(x)和b(x)是等價(jià)無窮小.記作a~b.命題:設(shè)a(x)和b(x)是沿基B的無窮小函數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)a(x)/b(x)1(沿基B),或b(x)/a(x)1(沿基B).27大O與小o記號設(shè)函數(shù)和g是A上的實(shí)值函數(shù),B是A的一個基,并且g在基B的某個終端上不取零值.設(shè)h=/g.如果h終極有界(沿基B),就說是大Og(沿基B),記作

=O(g)或<<g;如果

<<g且g<<,就說和g有同樣的階(沿基B)