四動態(tài)方程線性變換

Thursday,January11,20241第四節(jié)動態(tài)方程的線性變換Thursday,January11,20242

若是系統(tǒng)的一個狀態(tài)向量，總可以找到一個非奇異的線性變換陣，有。那末，也是系統(tǒng)的一個狀態(tài)變量，經(jīng)過這種滿秩變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣不變（前面已經(jīng)證明）。由于非奇異矩陣的選擇不是唯一的，所以不是唯一的。一、狀態(tài)變量模型的非唯一性二、特征根和特征向量我們稱為特征多項式，它的n個根為的特征值。由解出的向量稱為對應(yīng)的特征向量。[定義]：若是n階方陣，如果數(shù)和n維非零向量使關(guān)系式 成立（或），那末，數(shù)稱為方陣的特征值，非零向量稱為的對應(yīng)于的特征向量。Thursday,January11,20243[例6-4-1]：求的特征值和特征向量。[解]：當(dāng)時，由：得：同理，當(dāng)時，Thursday,January11,20244[例6-4-2]：，求特征值和特征向量。[解]：特征值為當(dāng)時，由，得：Thursday,January11,20245若有個互異的特征根，則必可化為對角陣，即，對角線元素為特征根的值。其轉(zhuǎn)換陣為

，其中為對應(yīng)的特征向量。[說明]：，那末：我們知道，若，則是對應(yīng)的特征向量。所以，轉(zhuǎn)換矩陣是由的特征向量組成的。三、動態(tài)方程的約當(dāng)標(biāo)準型（對角型）Thursday,January11,20246[例6-4-3]將轉(zhuǎn)換為對角陣，并求轉(zhuǎn)換矩陣。[解]：在例6-4-2中，已經(jīng)求出了的特征值為：其對應(yīng)的特征向量分別為：所以轉(zhuǎn)換陣為：即有：Thursday,January11,20247特例：若方陣是可控標(biāo)準型，且特征根互異，則轉(zhuǎn)換陣是范得蒙矩陣。

若有相同的特征根時，分兩種情況：①m個相同的特征值對應(yīng)的特征向量完備，即m個相同的特征值對應(yīng)m個獨立的特征向量。這種情況較少見。轉(zhuǎn)換陣的求法同上。Thursday,January11,20248即：

前面m項是對應(yīng)m重特征根的m個互相獨立的特征向量；后面n-m個是互異特征根的特征向量。這時陣可轉(zhuǎn)換為如下形式的約當(dāng)標(biāo)準型。Thursday,January11,20249②m個相同的特征值對應(yīng)的特征向量不完備，即m個相同的特征值不存在m個獨立的特征向量。這時不能將之化為對角陣而只能轉(zhuǎn)換為約當(dāng)陣。（設(shè)有m個重根）m行n-m行(約當(dāng)塊)Thursday,January11,202410

陣的求法分為兩塊，一塊是互異部分，算法同上；另一塊是重根部分。設(shè)

的求法：由此可求得：上式中，為重根對應(yīng)的特征向量(廣義特征向量)； 為互異特征根對應(yīng)的特征向量。Thursday,January11,202411[例]：試將下列狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準型：[解]：求特征值：

（二重根）時的特征向量為：另一廣義的特征向量：

時特