高中三角函數(shù)專題練習題含答案

高中三角函數(shù)專題練習題含答案

一、填空題

1.在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為“、b、c,且滿足層-/二區(qū)，則

2.在1BC中，AB=yfj,BC=2y/3,cosZBAC=y,動點。在AABC所在平面內(nèi)且

NBDC卷.給出下列三個結(jié)論：①△BCO的面積有最大值，且最大值為君；②線段

AO的長度只有最小值，無最大值，且最小值為1;③動點。的軌跡的長度為與.其中正

確結(jié)論的序號為.

3.三棱錐尸-ABC中，R4J_平面ABC,直線PB與平面43c所成角的大小為30。，

48=2￡，ZAC3=60。，則三棱錐P-A3C的外接球的表面積為.

4.y=log/sin(x+()的單調(diào)增區(qū)間為.

5.在AA8C中，sinB=2sinC,BC=2.則誣.而的取值范圍為.(結(jié)果用區(qū)

間表示)

6.已知函數(shù)〃x)=2sin(5+］|?>0),若“X)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，且在

(請,上單調(diào)，則0的最大值是______.

7.平面向量￡,b，"滿足卜|=卜_、=卜|=1,F+a-c+^y|fe-c

a-b+\t\-1一__、2

航=。+/，則僅-。)=一?

8.已知空間單位向量不,不，.，,+勾=厘+m=2,+.+W+q=i,則［4的

最大值是___________.

9.若向量石;滿足：+丁=；,則<+；|3+到的最大值是_______

10.已知P是直線3x+4y+13=0上的動點，PA,PB是圓(x-1)?+(y-1)2=1的切線，A,B

是切點，C是圓心，那么四邊形%CB面積的最小值是________.

二、單選題

11.已知函數(shù)f(X)=sin(<OX+§J(0>O^-,7t上恰有3個零點則。的取值范圍是

()

A-匕-8與11)卜(,A向14^B.［「丁11卜八仁「14石17)

1714八11772200

C.D.

33J3333

12.已知A（-l,0）,5（3,0）,。是圓。:爐+/=45上的一個動點，則sinNAP8的最大值

為（)

「V3

A.在L..----D.如

3B-T44

13.若方程/+2x+m2+3m=mcos（x+l）+7有且僅有1個實數(shù)根，則實數(shù)m的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

■4=1一gMA,

14.已知△ABC的內(nèi)角分別為AB,C,且△ABC的內(nèi)切圓面積為4,

26

I,UlULlUU,,,一,

則AB-AC的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

15.如圖所示，已知△ABC,。是A8的中點，沿直線8將△ACO翻折成△ACO,所成

二面角A—CD—B的平面角為a,則（)

ZA'DB>aC.ZA'CB<aD."CBNa

16.如圖所示，在直三棱柱ABC-ABC中，AA,=\,AB=BC=+,cosZABC=-,P

3

是AB上的一動點，則AP+PG的最小值為（）

C.1+6D.3

/v2

%+方=1（。＞6〉0）的左、右焦點，點M在直線

/:%=-〃上運動，若N-M居的最大值為60。，則橢圓。的離心率是（）

1

A，3B-IC.TDT

18.如圖，將矩形紙片ABC。折起一角落（△口F）得到△口/,記二面角A-所-。的大

小為直線4E,4尸與平面88所成角分別為a,夕，則().

A.a+p>0B.(3<0

C.a+/>—D.a+尸>26

19.已知函數(shù)/(x)=3sin(3+0)3>(),|0|<%),/(4)=/(2)-6,且八元)在［2,4］上單調(diào).設(shè)

函數(shù)g(x)=/(XHl,且g(x)的定義域為［-5網(wǎng)，則gW的所有零點之和等于()

A.0B.4C.12D.16

TT

20.已知人、6是橢橢圓和雙曲線共有焦點，尸為兩曲線的一個公共點，且

6

記橢圓和雙曲線的離心率分別G，g,則幺上目的最大值為

816

A.4B.2C.-D.—

33

三、解答題

21.已知函數(shù)/(x)=a(|sinx|+|cosx|)-sin2x-1,aGR.

(1)寫出函數(shù)f(x)的最小正周期(不必寫出過程)：

(2)求函數(shù)/(x)的最大值；

(3)當a=l時，若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,kn)(kWN*)上恰有2015個零點，求k的

值.

7T

22.在直角A4BC中，NBAC=},延長C8至點。，使得CB=28O,連接AO.

(1)若AC=4O,求NC4￡)的值；

(2)求角D的最大值.

23.已知函數(shù)〃x)=2>/3sin(x+^)cos(x+^)+2cos2(x+e)(0<9<］)?

(1)求的最小正周期；

(2)若=求當〃力=2時自變量x的取值集合.

24.已知。=(A/3COSCOX,sina)x),B=(sincox,0),0>0,設(shè)/(x)=(4+B)?B+%,%￡/?.

(1)若f(x)圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于求0的取值范圍；

7TTT1

(2)若/")的最小正周期為萬，且當xe時，/(*)的最大值是求/(x)的解析

66J2

式，并說明如何由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=/(x)的圖象.

25.已知AA5C的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為久b、c,且從=02+川，

(1)求證：B=2C；

(2)若A4BC是銳角三角形，求@的取值范圍.

C

26.如圖，在AABC中，NABC=90",AB=G,BC=1,產(chǎn)為A/WC內(nèi)一點，ZBPC=90°.

(2)若NAPB=120",求AAfiP的面積S.

27.在①A/WC面積S.8c=2,②=J這兩個條件中任選一個，補充在下面問題

6

中，求AC.

37r

如圖，在平面四邊形A8CO中，NABC=—，ABAC=ADAC,,CD=2AB=4,

4

求AC.

28.設(shè)函數(shù)/(x)=-cos2x+asinx+a+2(aeR).

(1)求函數(shù)〃x)在R上的最小值；

(2)若不等式/(x)<0在[0,§上恒成立，求”的取值范圍；

(3)若方程/(x)=0在(0,乃)上有四個不相等的實數(shù)根，求。的取值范圍.

29.已知等差數(shù)列｛4｝的公差de(0,m,數(shù)列己｝滿足々=sin(a“),集合

S=｛x[x=a，〃wN*｝.

(1)若4=。，d吟,求集合S；

(2)若4=(,求d使得集合S恰有兩個元素；

(3)若集合S恰有三個元素，bn+T=b?,「是不超過5的正整數(shù)，求7■的所有可能值，并寫

出與之相應(yīng)的一個等差數(shù)列(??｝的通項公式及集合S.

30.已知函數(shù)/(x)=；sin2x-cos2x-i■——.

(1)求/(x)的最小正周期7和［0,汨上的單調(diào)增區(qū)間：

支兀

(2)若2/(x)+(-l)"-,">0對任意的xe和〃eM恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

【參考答案】

一、填空題

2.①③

3.20兀

7T7T

4.(-+2%肛一+2k7r)(keZ)

36

6.13

7.2-6##-6+2

87+3如

16

Q2+3打

8

10.V15

二、單選題

11.C

12.D

13.A

14.A

15.B

16.B

17.C

18.A

19.C

20.A

三、解答題

21.(1)最小正周期為rt.(2)見解析(3)^=1008.

【解析】

(1)由題意結(jié)合周期函數(shù)的定義直接求解即可；

(2)令，=、+,加2耳,tG[l,^2],則當xe0,g時，/(力=〃。)=S一產(chǎn)，

當兀時，f(x)=v(t)=r+at-2,易知〃分類比較丫⑴、丫(四)的大小

即可得解；

(3)轉(zhuǎn)化條件得當且僅當sin2x=0時，f(x)=0,貝ijxd(0,H]時，/(x)有且僅有兩

個零點，結(jié)合函數(shù)的周期即可得解.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)的最小正周期為兀

(2)(x)=o(|sinx|+|cosx|)-sin2x-1

=a小1+卜加2乂-sin2x-l=a小1+小加2況一(sin2x+l),

令t=Jl+|si〃2x|,te[l,y/2],

當xe0,y時，==產(chǎn)(14Y夜)，

當xe(T，兀時，/(%)=v(r)=r2+?r-2(l<r<\/2),

v(f)=af-產(chǎn)_(產(chǎn)+af-2)=-2產(chǎn)+2Mo即.

"㈤皿=X)3=max{v(l),v(V2)),

v(l)=6f-l,v^\[2^=y/2a,

，當〃K-1-及時，/(x)最大值為aT;當/(x)最大值為加〃.

(3)當°=1時，f(x)=+|5m2x|-sin2x-1,

若/(x)=0,則Jl+卜沅2x|=sin2x+1即卜=sin?2犬+2sin2x,

??.當且僅當sin2x=0時，f(x)=0,

TV

Axe(0,n]時，f(x)有且僅有兩個零點分別為n,

.*.2015=2x1007+1,

."./c=1008,

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的綜合問題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.

22.(1)Z.CAD=—；(2).

36

【解析】

【分析】

(1)在4版中，由正弦定理得，段=宜;，再結(jié)合在直角AABC中，

sinasinD

AB=BCsinC,然后求解即可；

(2)由正弦定理及兩角和的余弦可得

2tanD=tan3cos2a+sinla=7tan2￡)+1sin(2a+(p),然后結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即

可.

【詳解】

解：(1)設(shè)NS4Z>=a,在4的中，由正弦定理得，段=--

sinasinD

而在直角AA5C中，AB=BCsinC,所以”=絲過工，

sincrsmD

因為AC=AO,所以C=O,

|TT24

又因為CB=23￡),所以sina=彳，所以a=?,所以

263

(2)設(shè)NBAO=a,

在4的中，由正弦定理得，且乙=「空，

sinasmD

而在直角AABC中，AB=BCcosZABC=BCcos(tr+￡>),

嚴以BD8Ccos(a+。)BC(cosacosD-sinasinD)

sinasinDsinD

因為CB=2BD,所以sinD=2sinacosacosD-2sin2asinD,

八2sinacosasin2a

Qr1rPltanD=----------------=--------------

l+2sin-a2-cos2a

即2tanO=tan￡)cos2a+sin2a=Jtan?0+1sin(2cr+e),

根據(jù)三角函數(shù)有界性得，41及呵0,￡|解得OctanOW也,

3

所以角。的最大值為？

【點睛】

本題考查了正弦定理，重點考查了三角函數(shù)的有界性，屬中檔題.

23.(1)T；(2){xx=-^+Zzr或x=?+k乃(ZeZ)}

【解析】

【分析】

(1)由輔助角公式可得/(x)=2sin(2x+?+29)+l,再求周期即可;

(2)由=l求出夕=1，再解方程2sin(2x+2]+l=2即可.

【詳解】

解：(1)〃%)=2gsin(x+e)cos(x+0)+2cos2(x+9)=>^sin2(x+^)+cos2(x+^)+l

=2sin(2x+?+2夕)+1,

/\rr，27r

則〃X)的最小正周期為7=同=%

(2)因為/圖=1,所以2sin(2xq+?+2s)+l=l,即葛+20=.伙eZ),

解得夕=竽-*&wZ).

因為7T所以夕=自TT.

因為/'(x)=2,所以2sin(2x+￡|+l=2,即sin(2x+?)=g,

則21+2=工+2%4或2工+工=2+2%乃(攵GZ),

3636

rrjr

解得x=—五+&乃或1=1+2乃(ZEZ).

故當f(x)=2時，自變量x的取值集合為卜或x=?+Fk€Z)}.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換，重點考查了解三角方程，屬中檔題.

24.(1)0<^<1；(2)〃x)=sin(2xq)；平移變換過程見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平面向量的坐標運算,表示出“X)的解析式，結(jié)合輔助角公式化簡三角函數(shù)式.結(jié)合

相鄰兩條對稱軸間的距離不小于^■及周期公式，即可求得。的取值范圍；

(2)根據(jù)最小正周期，求得。的值.代入解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)與Ax)的最大值

是巳即可求得f(x)的解析式.再根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換,即可描述變換過程.

【詳解】

Va=(>/3coscox,sincox),b=(sincox,0)

a+b=(V3coscox+sincox,sincox)

/./(x)=(a+b)'b+k=y/3sincoxcoscox+sin2a)x+k

5/3.c1-COS2Gx7G.e1c1.

=——sin2cox+-------------+k=——sin2cox——cos2Gx+—+A

22222

/C/1

I6j2

(1)由題意可知(=

226y2

69<1

又?！?,

0<69<1

71

(2)?"=一，

co

CJO=1

：./(x)=sin2x

7T71

VXG

66

c兀7171

2X——E

6~2?_

.??當2工_工二工即x=工時

666

/（X）max=/15|=si吟+&+；=%+「：

VO7O22

k=——

2

/.f（x）=sin（2x-[

將y=sinx圖象上所有點向右平移己個單位，得到y(tǒng)=sin（x-的圖象；再將得到的圖象上

所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膅倍，縱坐標不變，得到V=sin（2x-7卜勺圖象（或?qū)=sinx圖

象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膅倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將得到的圖象

上所有點向右平移合個單位，得到＞=sin（2x-3的圖象）

【點睛】

本題考查了正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,根據(jù)最值求三角函數(shù)解析式，三角函數(shù)圖象平移

變換過程,屬于中檔題.

25.（1）證明見解析；（2）（1,2）

【解析】

【分析】

（1）由。2=/+ac,聯(lián)立。2=/+/-2ac-cos3,得。=c+2c-cos5,然后邊角轉(zhuǎn)化，利

用和差公式化簡，即可得到本題答案；

（2）利用正弦定理和B=2C,得4=2COS2C+1,再確定角C的范圍，即可得到本題答案.

C

【詳解】

解：(1)銳角AABC中，b2=c2+ac故由余弦定理可得：Z?2=a2+c2-2accosB,

c2+ac=a2+c2-2ac?cosB，

：.CT=ac+2ac-eosB，即a=c+2ccos6,

/.利用正弦定理可得：sinA=sinC+2sinCcosB,

即sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=sinC+2sinCcosB,

/.sinBcosC=sinC+sinCeosB,

可得：sin(B-C)=sinC,

J可得：B-C=C,或3-。+。=乃(舍去)，

:.B=2C.

(2)

sinAsin(B+C)sin(2C+C)。MCMI人n「

?/—a=----=----------=-----------=2cos-C+cos2c=2cos2C4-1A+8+C=;r,

csinCsinCsinC

A8,。均為銳角，由于：3C+A=%,

jrjr

.\0<2C<-,0<C<-.

24

再根據(jù)Jv3C,可得

2o

「冗

—7CvC<—,

64

c

【點睛】

本題主要考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，其中涉及到利用三角函數(shù)求取值范圍的問題.

26.(1)—；(2)—.

214

【解析】

【分析】

(1)求出BP=jBC2-BC2=4cBp=q、ZABP=。，A4BP中由余弦定理即可求得

236

PA；

ABPB、行

(2)設(shè)NPR4=。，利用正弦定理表示出$布120。=sin(60、a)'求得tana=]-,利用

面積公式即可得解.

【詳解】

(1)在MBC中，NABC=90,AB=G,BC=1,4C=2

P為AABC內(nèi)一點,NBPC=90",PC=—,所以BP=dBC?-PC?=",

22

Bp2BC2pc2

△CBP中，由余弦定理得：cosZCBP=+-=1

2BPBC2

jrjr

所以NC8P=',NA8P=2

AABP中，由余弦定理得：”=J6+B產(chǎn)一2AB?BPcosNPBA

34-2X^4XT=T;

（2）ZAPB=\2（）,,設(shè)NPBA=ae0，T,NP8C=90°-a,NPAB=60°-a,

在Rt\PBC41,PB=BC-sina=sina,

ABPB

在APBA中'由正弦定理120°-sin（60。-a）'

sina

即2=sina=V3cosa-sina,

sin（60°-a）＞

所以tana=,sina=,PB=

2V7V7

A/WP的面積S=-AB-PBsina=—xy[3x^^x^r=^^-

22V7V714

【點睛】

此題考查解三角形，對正余弦定理的綜合使用，涉及兩角差的正弦公式以及同角三角函數(shù)

關(guān)系的使用，綜合性較強.

27.見解析

【解析】

選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出AC的長；

選擇②：在A48C,A4CD中，分別運用正弦定理，可以求接求出AC的長；

【詳解】

解：選擇①：

S^=~ABBCsmAABC=--2BC-sin—=2

BC24

所以8c=2&;

由余弦定理可得

AC2=AB2+BC2-2ABBC-COSZABC

=4+8-2x2x272=20

所以AC=6J=2?

選擇②

TTTT

^ZBAC=ZCAD=0,則0＜。＜一，ZBCA=--0

44f

AC2

ACAB

在AABC中,即sin2.（萬A

sin——0

sinZABCsinNBCA414

4

ACCD

在AACZ)中,--------，艮J.%sin^

sinZADCsinZCADsin-

6

2

所以AC=

sin。

2_6

所以sin〃.(7T,解得2sinO=cos。,

sin-0

(4)

又o<e<f,所以sine=更，

45

所以AC=y=2石.

sin"

【點睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學運算能力.

2,a>2;

2

="

28.(1)/(-v)min----+</+l,-2<a<2;(2)a6(-<?,—1)(3)—\<a<2-2>j2

2a+2,a<-2.

【解析】

【分析】

(1)通過換元法將函數(shù)變形為二次函數(shù)，同時利用分類討論的方法求解最大值；

(2)恒成立需要保證/。)叫<0即可，對二次函數(shù)進行分析，根據(jù)取到最大值時的情況得

到。的范圍；

(3)通過條件將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個零點求。的范圍，這里將所有滿

足條件的不等式列出來，求解出。的范圍.

【詳解】

解：⑴令sinx=r,則f(x)=g(r)=r+a,+“+1,對稱軸為f=-￡.

①-恭-1,即a>2,/(x)17g(T)=2.

②一1即一2?。工2,/(X)min=g(一9=一5+。+1?

③一］>1,即。v—2,/U)min=g(l)=2?+2.

2,a>2;

2

綜上可知，f(x)min=--^-+a+i,-2<a<2;

2a+2,ci<—2.

(2)由題意可知，/U)inas<0,/(x)=g?)=/+。+“+1,re[0,l]的圖象是開口向上的拋

物線，最大值一定在端點處取得，所以有

g(O)=a+l<。，

aG

g(l)=2a+2<0,

(3)令sinx=r,xe(0,T).由題意可知，當0<f<l時，sinx=f有兩個不等實數(shù)解，所以

原題可轉(zhuǎn)化為g(，)=/+af+a+l=0在(0,1)內(nèi)有兩個不等實數(shù)根.所以有

,A=a2-4(a+l)>0,=>-l<a<2-2>/2

g(0)=a+l>0,

g⑴=2a+2>0,

【點睛】

(1)三角函數(shù)中，形如/(x)=qsin2x+〃sinx+c或者，(x)=acos2x+Z>cosx+c都可以采

用換元法求解函數(shù)最值；

(2)討論二次函數(shù)的零點的分布，最好可以采用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，這樣很大程度

上減少了遺漏條件的可能.

29.(1)(2)2乃或乃；(3)7=3或4,7=3時，a“=,〃，

22J33

S='-哼，￥，o}；T=4時，a?=~n<5={0,1,-1}

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出，進而求出幻，再根據(jù)周期性求解；(2)由集合S

的元素個數(shù)，分析數(shù)列他J的周期，進而可求得答案；(3)分別令7=1,2,3,4,5進

行驗證，判斷T的可能取值，并寫出與之相應(yīng)的一個等差數(shù)列伍"的通項公式及集合S

【詳解】

⑴???等差數(shù)列{%}的公差江(0,捫