線性代數(shù)與幾何

世紀(jì)高等工科教育數(shù)學(xué)系列課程教材

21

線性代數(shù)與幾何

主編張素娟

副主編李京艷郭志芳

郭秀英胡俊美

內(nèi)容簡介

本系列教材為大學(xué)工科各專業(yè)公共課教材共四冊高等數(shù)學(xué)上下冊線性代數(shù)與幾何概率

,:《》()、《》、《

論與數(shù)理統(tǒng)計第二版編者根據(jù)工科數(shù)學(xué)教改精神在多個省部級教學(xué)改革研究成果的基礎(chǔ)上結(jié)合

()》.,,

多年的教學(xué)實踐編寫而成書中融入了許多新的數(shù)學(xué)思想和方法改正吸收了近年教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問

,,、

題和經(jīng)驗本書為線性代數(shù)與幾何分冊全書共章內(nèi)容包括行列式矩陣向量空間線性方程組

.《》,7,:,,,,

相似矩陣及二次型空間解析幾何線性空間與線性變換每節(jié)后有習(xí)題每章后有綜合習(xí)題并在部分

,,.,,

章節(jié)配有適當(dāng)?shù)膽?yīng)用題數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)文化等內(nèi)容書末附有部分習(xí)題參考答案

、..

本書適合作為普通高等學(xué)校土木工程機械工程電氣自動化工程計算機工程交通工程工程管

、、、、、

理經(jīng)濟管理等本科專業(yè)的教材或教學(xué)參考書也可供報考工科碩士研究生的人員參考

、,.

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

線性代數(shù)與幾何張素娟主編北京中國鐵道

/.—:

出版社有限公司

,2019.8

世紀(jì)高等工科教育數(shù)學(xué)系列課程教材

21

ISBN978--7--113--26112--2

線張線性代數(shù)高等學(xué)校

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①----

教材解析幾何高等學(xué)校教材

②----Ⅳ.①0151.2

②0182

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2019)162668

書名:線性代數(shù)與幾何

作者:張素娟

策劃:李小軍編輯部電話:

責(zé)任編輯:李小軍田銀香

封面設(shè)計:劉穎

責(zé)任校對:張玉華

責(zé)任印制:郭向偉

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

htt:///51eds/

印刷:三河p市宏盛印務(wù)p有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201981201981

開本:印張:字?jǐn)?shù):千

787mm×1092mm1/1614312

書號:

ISBN978--7--113--26112--2

定價:元

33.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

打擊盜版舉報電話

:(010)63549504

世紀(jì)高等工科教育數(shù)學(xué)系列課程教材

21

編委會

主任劉響林

副主任陳慶輝張素娟孫海珍

編委王永亮范瑞琴趙曄李向紅

左大偉陳聚峰郭志芳郭秀英

李京艷趙士欣王亞紅王麗英

李華胡俊美

前言

本書是作者在多年從事教學(xué)改革、教學(xué)研究的基礎(chǔ)上,參照教育部數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)

教學(xué)指導(dǎo)委員會年頒布的《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》(修改稿)

2012

和近年教育部頒布的《全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試》數(shù)學(xué)考試大綱的要求,通過多

年的教學(xué)實踐,結(jié)合編者豐富的教學(xué)經(jīng)驗,并在廣泛征求意見的基礎(chǔ)上編寫而成的

.

其總體結(jié)構(gòu)、編寫思想、難易度的把握等方面有所創(chuàng)新,并得到了教學(xué)檢驗。以科學(xué)

思維、科學(xué)方法貫穿始終,力求做到把現(xiàn)代的教學(xué)思想和方法滲透到整個教材中本

.

書特點:

()以簡明適用為原則,突出了對基本概念、基本方法、基本理論的介紹和訓(xùn)練

1.

()在內(nèi)容選擇與安排上,注意代數(shù)理論體系的系統(tǒng)性與嚴(yán)謹(jǐn)性、空間幾何的直

2

觀性,將空間解析幾何與線性代數(shù)做了有機的結(jié)合,以使讀者能夠?qū)靖拍钣懈?/p>

入的理解

.

()在內(nèi)容體系上努力做到結(jié)構(gòu)設(shè)計合理,重點突出,重視理論聯(lián)系實際

3.

()在重要的章節(jié)附有實際應(yīng)用題,將數(shù)學(xué)建模思想巧妙地滲透其中,以調(diào)動學(xué)

4

生學(xué)習(xí)的積極性,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

.

()為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,在部分章節(jié)加入了與內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)

5

文化等內(nèi)容,作為閱讀材料供學(xué)生選讀

.

()在每節(jié)后配有精心選編的習(xí)題,各章后配有綜合習(xí)題,書末附有部分習(xí)題參

6

考答案書中帶“”的部分為選學(xué)內(nèi)容

.*.

全書內(nèi)容包括:行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、相似矩陣及二次型、空間解

析幾何、線性空間與線性變換等本書適合作為普通高等院校工科各專業(yè)公共數(shù)學(xué)課

.

的教材或教學(xué)參考書,也可供報考工科碩士研究生的人員參考

.

本書由張素娟任主編,李京艷、郭志芳、郭秀英、胡俊美任副主編。編者及分工如

下:李京艷(第章及第章),胡俊美(第章),郭志芳(第章及第章),郭秀英(第

17236

章及第章),胡俊美還編寫了拓展閱讀部分的內(nèi)容張素娟負(fù)責(zé)總體方案的設(shè)計、

45.

具體內(nèi)容安排及統(tǒng)稿工作在編寫過程中,得到了劉響林、李向紅、陳慶輝、王永亮等

.

同事的大力支持石家莊鐵道大學(xué)的許多任課教師提出了許多寶貴意見,在此一并表

.

示感謝

.

由于編者水平有限,書中疏漏和不足在所難免,不妥之處敬請讀者指正

.

編者

年月

20196

目錄

第1章行列式………………

1

行列式的概念……………………

§1.11

二階、三階行列式n階行列式

1.1.1(1)1.1.2(4)

習(xí)題

1.1(8)

行列式的性質(zhì)與計算……………

§1.29

行列式的性質(zhì)行列式按行(列)展開

1.2.1(9)1.2.2(13)

*拉普拉斯展開定理習(xí)題

1.2.3(19)1.2(21)

克萊姆法則………………………

§1.322

習(xí)題

1.3(26)

*實際應(yīng)用………………

27

綜合習(xí)題………………

127

拓展閱讀克萊姆法則的由來…………

30

第2章矩陣………………

33

矩陣的概念………………………

§2.133

矩陣的概念一些特殊矩陣

2.1.1(33)2.1.2(34)

習(xí)題

2.1(36)

矩陣的運算

§2.2(36)

矩陣的加法數(shù)與矩陣相乘

2.2.1(36)2.2.2(37)

矩陣與矩陣相乘矩陣的轉(zhuǎn)置

2.2.3(38)2.2.4(42)

方陣的行列式共軛矩陣

2.2.5(43)2.2.6(43)

習(xí)題

2.2(44)

逆矩陣……………

§2.345

逆矩陣的定義可逆矩陣的性質(zhì)

2.3.1(45)2.3.2(47)

矩陣方程習(xí)題

2.3.3(48)2.3(49)

分塊矩陣…………

§2.450

分塊矩陣的概念分塊矩陣的加法

2.4.1(50)2.4.2(51)

數(shù)與分塊矩陣相乘分塊矩陣相乘

2.4.3(51)2.4.4(52)

分塊矩陣的轉(zhuǎn)置習(xí)題

2.4.5(53)2.4(54)

矩陣的初等變換與初等矩陣……………………

§2.555

矩陣的初等變換初等矩陣

2.5.1(55)2.5.2(58)

習(xí)題

2.5(62)

矩陣的秩…………

§2.663

ⅵ線性代數(shù)與幾何

|

習(xí)題

2.6(65)

*實際應(yīng)用………………

66

綜合習(xí)題………………

267

拓展閱讀矩陣論的創(chuàng)立人凱萊西爾維斯特……

———、69

第3章向量空間…………

72

空間向量及其坐標(biāo)表示…………

§3.172

空間直角坐標(biāo)系向量的概念

3.1.1(72)3.1.2(73)

向量的線性運算

3.1.3(74)

向量的坐標(biāo)表示方向角方向余弦

3.1.4(75)

向量線性運算的坐標(biāo)表示

3.1.5(77)

習(xí)題

3.1(78)

向量的數(shù)量積向量積*混合積……………

§3.279

向量在軸上的投影向量的數(shù)量積

3.2.1(79)3.2.2(79)

向量的向量積*向量的混合積

3.2.3(81)3.2.4(85)

習(xí)題

3.2(86)

n維向量向量組的線性相關(guān)性………………

§3.387

n維向量的概念及其線性運算向量組的線性相關(guān)性

3.3.1(87)3.3.2(88)

習(xí)題

3.3(94)

向量組的極大無關(guān)組和秩………

§3.494

向量組的極大無關(guān)組向量組的秩

3.4.1(95)3.4.2(95)

矩陣的行(列)秩與矩陣的秩的關(guān)系

3.4.3(96)

習(xí)題

3.4(98)

*向量空間………………………

§3.598

向量空間的概念向量空間的基與維數(shù)

3.5.1(99)3.5.2(100)

習(xí)題

3.5(101)

綜合習(xí)題……………

3102

拓展閱讀向量與向量空間的歷史…………………

103

第4章線性方程組………………………

106

齊次線性方程組………………

§4.1106

線性方程組的一般形式消元法

4.1.1(106)4.1.2Gauss(107)

齊次線性方程組有非零解的條件

4.1.3(109)

齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

4.1.4(109)

習(xí)題

4.1(114)

非齊次線性方程組……………

§4.2115

非齊次線性方程組解的判定定理

4.2.1(115)

非齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)

4.2.2(116)

目錄

|ⅶ

習(xí)題

4.2(122)

綜合習(xí)題………………

4123

拓展閱讀高斯的數(shù)學(xué)成就……………

125

第5章相似矩陣及二次型………………

127

向量的內(nèi)積長度與正交………

§5.1、127

內(nèi)積及性質(zhì)向量的長度及性質(zhì)

5.1.1(127)5.1.2(128)

正交向量組及正交化過程歐幾里得()空間

5.1.3(128)5.1.4Euclid(131)

正交矩陣及正交變換

5.1.5(131)

習(xí)題

5.1(132)

方陣的特征值與特征向量……………………

§5.2133

特征值及特征向量的概念及求法

5.2.1(133)

特征值與特征向量的性質(zhì)

5.2.2(136)

習(xí)題

5.2(138)

相似矩陣………………………

§5.3138

相似矩陣的概念及性質(zhì)矩陣可對角化的條件

5.3.1(138)5.3.2(139)

習(xí)題

5.3(140)

實對稱矩陣的對角化…………

§5.4140

習(xí)題

5.4(144)

二次型…………

§5.5144

二次型的概念及標(biāo)準(zhǔn)形

5.5.1(145)

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

5.5.2(148)

*用配方法求可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

5.5.3(149)

習(xí)題

5.5(150)

正定二次型……………………

§5.6150

慣性定理正定二次型

5.6.1(150)5.6.2(151)

習(xí)題

5.6(153)

*實際應(yīng)用………………

153

綜合習(xí)題………………

5155

拓展閱讀歐幾里得……………………

157

第6章空間解析幾何……………………

159

曲面及其方程…………………

§6.1159

曲面及其方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面

6.1.1(159)6.1.2(160)

柱面

6.1.3(162)

習(xí)題

6.1(163)

空間曲線及其方程……………

§6.2163

空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程

6.2.1(163)6.2.2(164)

ⅷ線性代數(shù)與幾何

|

空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

6.2.3(165)

習(xí)題

6.2(167)

平面及其方程…………………

§6.3167

平面的點法式方程平面的一般式方程

6.3.1(167)6.3.2(168)

兩平面的夾角點到平面的距離

6.3.3(169)6.3.4(170)

習(xí)題

6.3(171)

空間直線及其方程……………

§6.4172

空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程

6.4.1(172)

空間直線的一般方程兩直線的夾角

6.4.2(173)6.4.3(175)

直線與平面的夾角平面束

6.4.4(175)6.4.5(177)

習(xí)題

6.4(178)

常見的二次曲面………………

§6.5179

常見的二次曲面*二次曲面方程的化簡

6.5.1(179)6.5.2(183)

二次曲線方程的化簡

6.5.3(185)

習(xí)題

6.5(187)

綜合習(xí)題………………

6187

拓展閱讀解析幾何的開創(chuàng)者笛卡兒……………

———188

*第7章線性空間與線性變換…………

190

線性空間………………………

§7.1190

線性空間的定義線性空間的性質(zhì)

7.1.1(190)7.1.2(191)

線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)基變換與坐標(biāo)變換

7.1.3(192)7.1.4(193)

子空間

7.1.5(195)

習(xí)題

7.1(196)

線性變換………………………

§7.2197

線性變換的定義線性變換的基本性質(zhì)

7.2.1(197)7.2.2(198)

線性映射(變換)的核與象線性變換的運算

7.2.3(198)7.2.4(199)

線性變換的矩陣表示

7.2.5(200)

習(xí)題

7.2(202)

綜合習(xí)題………………

7203

部分習(xí)題參考答案…………

205

參考文獻……………………

216

第1章行列式

行列式概念的建立源于求解線性方程組的實際需要它作為一個重要的數(shù)學(xué)工具

,,

在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域和其他眾多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域如物理學(xué)力學(xué)工程技術(shù)等都有著廣

(、、)

泛的應(yīng)用

.

本章主要介紹n階行列式的概念性質(zhì)行列式按行列展開拉普拉斯展

、、()、(Laplace)

開定理以及解線性方程組的克萊姆法則

(Cramer).

行列式的概念

§1.1

1.1.1二階、三階行列式

1.二階行列式

引例用消元法解二元線性方程組

axaxb

111+122=1

{axaxb.(1.1)

211+222=2

解以a乘第一個方程以a乘第二個方程然后兩式相減消去x得

22,12,,2

aa-aax=ba-ab

(11221221)1122122.

類似消去x得

1

aa-aax=ab-ba

(11221221)2112121.

當(dāng)aa-aa時即有

11221221≠0,

ba-abab-ba

x=122122x=112121

1aaaa,2aaaa

1122-12211122-1221.

aa

這就是二元線性方程組的解公式為了便于記憶我們引入記號1112D

(1.1),,:aa,

2122

并規(guī)定

aa

D=1112=aa-aa

aa11221221,(1.2)

2122

稱D為二階行列式其中aaaa稱為行列式的元素這四個元素排成兩行兩列

,11,12,21,22.,

橫排稱行豎排稱列元素aij的右下角有兩個下標(biāo)i和j第一個下標(biāo)i稱為行標(biāo)它表示

,.,,

元素所在的行第二個下標(biāo)j稱為列標(biāo)它表示元素所在的列如a是位于第一行第二列

,,.12

上的元素而a是位于第二行第一列上的元素從行列式的左上角到右下角的連線稱為

,21.

行列式的主對角線從行列式的右上角到左下角的連線稱為行列式的次對角線

,.

從式可知二階行列式是兩項的代數(shù)和一項是主對角線上兩元素的乘積取正

(1.2),,,

2線性代數(shù)與幾何

|

號另一項是次對角線上兩元素的乘積取負(fù)號此規(guī)律可用對

;,.

角線法則來記憶如圖所示二階行列式D等于實線上兩

,1.1,

元素的乘積減去虛線上兩元素的乘積

.圖

據(jù)此定義可計算出1.1

,

baab

D=112=ba-abD=111=ab-ba

1ba122122,2ab112121.

222212

這樣當(dāng)D時方程組的解公式便可以簡潔明了地表示為

≠0,(1.1)

DD

x=1x=2

1D,2D.

其中分母D是由方程組的系數(shù)按它們原來在方程組中的次序所排成的二階行列

,(1.1)

式稱為方程組的系數(shù)行列式Dj是將系數(shù)行列式D的第j列元素依次用方程組右

,(1.1);

端的常數(shù)項替換后所得的二階行列式j(luò)=

(1,2).

例1.1求解二元線性方程組

x+x=

31721

{x+x=-.

51823

解方程組的系數(shù)行列式

D=37=×-×=-

387511≠0,

58

而

D=17=×-×-=

1-187(3)29,

38

D=31=×--×=-

2-3(3)1514.

53

DD

所以方程組的解為x=1=-29x=2=14

1D,2D.

1111

2.三階行列式

與二元線性方程組類似對于含三個未知量xxx的線性方程組

,1,2,3

?ìax+ax+ax=b

?1111221331

íax+ax+ax=b

2112222332()

?1.3

?axaxaxb

311+322+333=3

可同樣逐次消元消去xx可得

,2,3

aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaax

(112233122331132132112332122133132231)1

=baa+aab+aba-baa-aba-aab

122331223313232123321223313223.

將上式中x的系數(shù)記為D則當(dāng)D時有

1,≠0,

x=1baa+aab+aba-baa-aba-aab

1D(122331223313232123321223313223).

類似可得

x=1aba+baa+aab-aab-baa-aba

2D(112331233113213112331213313231),

第1章行列式3

|

x=1aab+aba+baa-aba-aab-baa

3D(112231223112132112321221312231).

這是三元線性方程組的解公式顯然要記住這個公式相當(dāng)困難為便于方程組的求

(1.3).,,

aaa