電路與模擬電子技術教學大綱

第三章動態(tài)電路分析下一頁前一頁第3-1頁前往本章目錄

3.1動態(tài)元件3.2電路變量初始值的計算3.3一階電路的零輸入呼應3.4一階電路的零形狀呼應3.5一階電路的完全呼應2.一階電路的零輸入呼應、零形狀呼應和全呼應求解；重點3.穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量求解；1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件確實定；第三章動態(tài)電路分析下一頁前一頁第3-2頁前往本章目錄

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3.1動態(tài)元件許多實踐電路，除了電源和電阻外，還常包含電容和電感元件。這類元件的VCR是微分或積分關系，故稱其為動態(tài)元件。含有動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路，描畫動態(tài)電路的方程是微分方程。一、電容電容元件(capacitor)是一種儲存電能的元件,它是實踐電容器的理想化模型。其電路符號如圖(a)所示。電容上電荷與電壓的關系最能反映這種元件的儲能。1、電容的普通定義一個二端元件，假設在任一時辰t，其電荷q(t)與電壓u(t)之間的關系能用q~u平面上的曲線表征，即具有代數(shù)關系f(u，q)=0那么稱該元件為電容元件，簡稱電容。下一頁前一頁第3-4頁前往本章目錄

電容也分：時變和時不變的，線性的和非線性的。線性時不變電容的外特性(庫伏特性)是q~u平面上一條過原點的直線，且其斜率C不隨時間變化，如圖(a)所示。其表達式可寫為：q(t)=Cu(t)其中C就是電容元件的值，單位為：法[拉](F)。對于線性時不變電容，C為正實常數(shù)。2、電容的VAR(或VCR)當電容兩端的電壓變化時，聚集在電容上的電荷也相應發(fā)生變化，這闡明銜接電容的導線上就有電荷挪動，即有電流流過；假設電容上電壓不變化，電荷也不變化，即電流為零。這與電阻不同。假設電容上電壓與電流參考方向關聯(lián)，如圖(b)，思索到i=dq/dt，q=Cu(t)，有稱電容VAR的微分方式一、電容下一頁前一頁第3-5頁前往本章目錄

對電容伏安關系的微分方式從-∞到t進展積分，并設u(-∞)=0，可得稱電容VAR的積分方式設t=t0為初始察看時辰，上式可改寫為式中稱為電容電壓在t0時辰的初始值(initialvalue),或初始形狀(initialstate)，它包含了在t0以前電流的“全部歷史〞信息。普通取t0=0。假設電容電壓、電流的參考方向非關聯(lián)，如右圖所示。電容VAR表達式可改為＋—u與i非關聯(lián)一、電容下一頁前一頁第3-6頁前往本章目錄

3、電容的功率與儲能當電容電壓和電流為關聯(lián)方向時，電容吸收的瞬時功率為：電容是儲能元件，它不耗費能量。當p(t)>0時，闡明電容是在吸收能量，處于充電形狀；當p(t)<0時，闡明電容是在釋放能量，處于放電形狀。釋放的能量總也不會超越吸收的能量。電容不能產(chǎn)生能量，因此為無源元件。對上式從-∞到t進展積分，即得t時辰電容上的儲能為：式中u(-∞)表示電容未充電時辰的電壓值，應有u(-∞)=0。于是，電容在時辰t的儲能可簡化為：可見：電容在某一時辰t的儲能僅取決于此時辰的電壓，而與電流無關，且儲能≥0。一、電容＋－C0.5Fi例1：求電流i、功率P(t)和儲能W(t)21t/s20u/V電源波形解uS(t)的函數(shù)表示式為:解得電流21t/s1i/A-1

下一頁前一頁第3-7頁前往本章目錄4、舉例一、電容21t/s10WC/J21t/s20p/W-2吸收功率釋放功率

下一頁前一頁第3-8頁前往本章目錄一、電容下一頁前一頁第3-9頁前往本章目錄

21t/s1i/A-1假設知電流求電容電壓，有一、電容下一頁前一頁第3-10頁前往本章目錄

例2：圖(a)所示電容元件，知電容量C=0.5F,其電流波形如圖(b)所示。求電容電壓u和儲能,并畫出它們的波形。由圖(b)所示的電流波形，可寫出解：根據(jù)式(3―3)，電容伏安關系的積分方式為一、電容下一頁前一頁第3-11頁前往本章目錄

其波形如圖(C)所示。由式(3―7)，電容元件儲能為其波形如圖(d)所示。一、電容下一頁前一頁第3-12頁前往本章目錄

5、主要結論〔1〕電容的伏安關系是微積分關系，因此電容元件是動態(tài)元件。而電阻元件的伏安關系是代數(shù)關系，電阻是一個即時〔瞬時〕元件?！?〕由電容VAR的微分方式可知：①恣意時辰，經(jīng)過電容的電流與該時辰電壓的變化率成正比。當電容電流i為有限值時，其du/dt也為有限值，那么電壓u必定是延續(xù)函數(shù)，此時電容電壓是不會躍變的。②當電容電壓為直流電壓時，那么電流i=0，此時電容相當于開路，故電容有隔直流的作用。〔3〕由電容VAR的積分方式可知：在恣意時辰t，電容電壓u是此時辰以前的電流作用的結果，它“記載〞了以前電流的“全部歷史〞。即電容電壓具有“記憶〞電流的作用，故電容是一個記憶元件，而電阻是無記憶元件?！?〕電容是一個儲能元件，它從外部電路吸收的能量，以電場能量的方式儲存于本身的電場中。電容C在某一時辰的儲能只與該時辰t電容電壓有關。一、電容下一頁前一頁第3-13頁前往本章目錄

二、電感電感元件(inductor)是一種儲存磁能的元件。它是實踐電感線圈的理想化模型，其電路符號如圖(a)所示。將導線繞在骨架上就構成一個實踐電感線圈〔也稱電感器〕，如圖(b)。當電流i(t)經(jīng)過線圈時，將產(chǎn)生磁通Φ(t)，其中儲存有磁場能量。與線圈交鏈的總磁通稱為磁鏈(t)。假設線圈密繞，且有N匝，那么磁鏈Ψ(t)=NΦ(t)。電感上磁鏈與電流的關系最能反映這種元件的儲能。1、電感的普通定義一個二端元件，假設在任一時辰t，其磁鏈Ψ(t)與電流i(t)之間的關系能用Ψ~i平面上的曲線表征，即具有代數(shù)關系f(Ψ，i)=0那么稱該元件為電感元件，簡稱電感。下一頁前一頁第3-14頁前往本章目錄

電感也分：時變和時不變的，線性的和非線性的。線性時不變電感的外特性(韋安特性)是Ψ~i平面上一條過原點的直線，且其斜率L不隨時間變化，如圖(a)所示。其表達式可寫為：Ψ(t)=Li(t)其中L就是電感元件的值，單位為：亨[利](H)。磁鏈的單位：韋[伯](Wb)。對于線性時不變電感，L為正實常數(shù)。2、電感的VAR(或VCR)電感中，當電流變化時，磁鏈也發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應電壓。在電流與電壓參考方向關聯(lián)時，假設電壓參考方向與磁通的方向符合右手法那么，根據(jù)法拉第電磁感應定律，感應電壓u(t)與磁鏈的變化率成正比，即：對線性電感，由于Ψ(t)=Li(t)，故有稱電感VAR的微分方式二、電感下一頁前一頁第3-15頁前往本章目錄

對電感伏安關系的微分方式從-∞到t進展積分，并設i(-∞)=0，可得稱電感VAR的積分方式設t=t0為初始察看時辰，上式可改寫為式中稱為電感電流在t0時辰的初始值或初始形狀，它包含了在t0以前電流的“全部歷史〞信息。普通取t0=0。假設電容電壓、電流的參考方向非關聯(lián)，如右圖所示。電容VAR表達式可改為＋—u與i非關聯(lián)二、電感下一頁前一頁第3-16頁前往本章目錄

3、電感的功率與儲能當電感電壓和電流為關聯(lián)方向時，電感吸收的瞬時功率為：電感是儲能元件，它不耗費能量。當p(t)>0時，闡明電桿是在吸收能量，處于充磁形狀；當p(t)<0時，闡明電感是在釋放能量，處于放磁形狀。釋放的能量總也不會超越吸收的能量。電感不能產(chǎn)生能量，因此為無源元件。對上式從-∞到t進展積分，即得t時辰電感上的儲能為：式中i(-∞)表示電感未充磁時辰的電留值，應有i(-∞)=0。于是，電容在時辰t的儲能可簡化為：可見：電感在某一時辰t的儲能僅取決于此時辰的電流，而與電壓無關，且儲能≥0。二、電感下一頁前一頁第3-17頁前往本章目錄

二、電感5、主要結論〔1〕電感元件是動態(tài)元件?！?〕由電感VAR的微分方式可知：①恣意時辰，經(jīng)過電感的電壓與該時辰電流的變化率成正比。當電感電壓u為有限值時，其di/dt也為有限值，那么電流i必定是延續(xù)函數(shù)，此時電感電流是不會躍變的。②當電感電流為直流電流時，那么電壓u=0，即電感對直流相當于短路?！?〕由電感VAR的積分方式可知：在恣意時辰t，電感電流i是此時辰以前的電壓作用的結果，它“記載〞了以前電壓的“全部歷史〞。即電感電流具有“記憶〞電壓的作用，故電感也是一個記憶元件?！?〕電感是一個儲能元件，它從外部電路吸收的能量，以磁場能量的方式儲存于本身的磁場中。電感L在某一時辰的儲能只與該時辰t電感電流有關。下一頁前一頁第3-18頁前往本章目錄

三、電容與電感的串并聯(lián)1、電容串聯(lián)：電容串聯(lián)電流一樣，根據(jù)電容VAR積分方式由KVL，有u=u1+u2+…+un分壓公式特例：兩個電容串聯(lián)，下一頁前一頁第3-19頁前往本章目錄

2、電容并聯(lián)：電容并聯(lián)電壓u一樣，根據(jù)電容VAR微分方式由KCL，有分流公式三、電容與電感的串并聯(lián)下一頁前一頁第3-20頁前往本章目錄

3、電感串聯(lián)：電感串聯(lián)電流一樣，根據(jù)電感VAR微分方式由KVL，有分壓公式三、電容與電感的串并聯(lián)下一頁前一頁第3-21頁前往本章目錄

三、電容與電感的串并聯(lián)4、電感并聯(lián)：電感并聯(lián)電壓u一樣，根據(jù)電感VAR積分方式由KCL，有i=i1+i2+…+in分流公式特例：兩個電感并聯(lián)，下一頁前一頁第3-22頁前往本章目錄

5、電容電感串并聯(lián)闡明電感的串并聯(lián)與電阻串并聯(lián)方式一樣，而電容的串并聯(lián)與電導方式一樣。三、電容與電感的串并聯(lián)1、換路定律下一頁前一頁第5-23頁前往本章目錄3.2電路的初始值求解微分方程時，需求根據(jù)給定的初始條件確定解中待定常數(shù)K。由于電路呼應指電壓和電流，故相應的初始條件為電壓或電流的初始值，即在t=t0時辰的值u(t0)、i(t0)。其中電容電壓uC和電感電流iL的初始值uC(t0)、iL(t0)由電路的初始儲能決議，稱為獨立初始值或初始形狀。其他電壓電流的初始值稱為非獨立初始值，它們將由電路鼓勵和初始形狀來確定?！?〕換路*開關的閉或開動作；*元件參數(shù)突變；*電源數(shù)值突變；統(tǒng)稱為“換路〞電路的初始時辰普通以為是換路時辰。設換路時辰為t=t0，那么換路前瞬間為：換路后瞬間為：解微分方程所需求的初始值？一、獨立初始值下一頁前一頁第3-23頁前往本章目錄

〔2〕、換路定律(SwitchingLaw)下一頁前一頁第5-24頁前往本章目錄3.2電路的初始值假設電容電流iC和電感電壓uL在t=t0時為有限值，那么換路前后瞬間電容電壓uC和電感電流iL是延續(xù)的〔不發(fā)生躍變〕，即有uC(t0+)=uC(t0-) iL(t0+)=iL(t0-)〔3〕、闡明〔1〕*：除電容電壓和電感電流外，其他各處電壓電流不受換路定律的約束，換路前后能夠發(fā)生躍變。〔2〕換路定律可以從能量的角度來了解：由于wC(t)=0.5Cu2C(t)、wL(t)=0.5Li2L(t)，假設uC或iL發(fā)生躍變，那么wC或wL也發(fā)生躍變，由于功率p=dw/dt，因此能量的躍變意味著功率為∞，這在實踐電路中是不能夠的。但在某些理想情況下，有能夠?！?〕通常t0=0。此時uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)一、獨立初始值下一頁前一頁第3-24頁前往本章目錄

2、獨立初始值〔初始形狀〕的求解下一頁前一頁第5-25頁前往本章目錄〔1〕求出uC(0-)和iL(0-)。〔2〕利用換路定律求得 uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)例1：電路如圖，知t<0時，開關S是閉合的，電路已處于穩(wěn)定。在t=0時，開關S翻開，求初始值uC(0+)和iL(0+)。解：t<0時，電路在直流電源作用下并已處于穩(wěn)態(tài)，闡明電路各處電壓、電流均為直流。電容可視為開路，電感視為短路。得t=0-時的等效電路如圖容易求得：iL(0-)=8/(2+6)=1AuC(0-)=6iL(0-)=6V由換路定律得：uC(0+)=uC(0-)=6V iL(0+)=iL(0-)=1A3.2電路的初始值一、獨立初始值下一頁前一頁第3-25頁前往本章目錄

3、非獨立初始值求解

根本思緒：先求出獨立初始值，然后再由獨立初始值求出非獨立初始值。下一頁前一頁第5-26頁前往本章目錄當初始形狀求出后，根據(jù)置換定理，在t=0+時辰，將電容用電壓等于uC(0+)的電壓源替代，電感用電流等于iL(0+)的電流源替代，獨立源均取t=0+時辰的值。此時得到的電路是一個直流電源作用下的電阻電路，稱為0+等效電路,如圖(b)。由該電路求得各電流、電壓就是非獨立初始值。3.2電路的初始值二、非獨立初始值下一頁前一頁第3-26頁前往本章目錄

下一頁前一頁第5-27頁前往本章目錄例：電路如圖，知t<0時，開關S處于位置1，電路已達穩(wěn)態(tài)。在t=0時，開關S至位置2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。解(1)計算uC(0-)和iL(0-)t=0-時的等效電路如圖iL(0-)=2×10/(2+3)=4AuC(0-)=3iL(0-)=12V(2)換路定律uC(0+)=uC(0-)=12V，iL(0+)=iL(0-)=4A(3)開關至位置2，畫出0+等效電路如圖iR(0+)=12/4=3AiC(0+)=-iR(0+)–4=-7AuL(0+)=12-3×4=0V3.2電路的初始值二、非獨立初始值下一頁前一頁第3-27頁前往本章目錄

2、初始值計算步驟總結：下一頁前一頁第5-28頁前往本章目錄〔1〕由t=0-時的等效電路，求出uC(0-)和iL(0-)〔特別留意：直流穩(wěn)態(tài)時，L相當于短路，C相當于開路〕。〔2〕根據(jù)換路定律，確定初始形狀uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)?！?〕畫出0+等效電路，利用電阻電路分析方法，求出各非獨立初始值。3、電容電壓、電感電流發(fā)生強迫躍變的情況〔了解〕指出：換路定律僅在電容電流和電感電壓為有限值時才成立。在某些理想情況下，電容電流和電感電壓可以為∞，uC和iL能夠強迫躍變。能夠情況：①換路后，電路中存在有全部由電容組成的回路或由電容和理想電壓源組成的回路，那么，電容電壓能夠發(fā)生躍變。②換路后，電路中存在節(jié)點或閉合曲面，與它相連支路全部由含電感的支路或理想電流源支路組成，那么，電感電流能夠發(fā)生躍變。在發(fā)生強迫躍變的情況下，可根據(jù)電荷守恒和磁鏈守恒的原理確定有關初始值。q(0+)=q(0-),Ψ(0+)=Ψ(0-)3.2電路的初始值二、非獨立初始值下一頁前一頁第3-28頁前往本章目錄

換路后外加鼓勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電壓和電流。1、一階RC電路的零輸入呼應知uC(0－)=U0特征根特征方程RCp+1=0那么uR=Ri零輸入呼應iK(t=0)+–uRC+–uCR下一頁前一頁第3-29頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應動態(tài)電路能量來源于兩部分：一是外加鼓勵，另一是電路的初始儲能(初始形狀)。代入初始值uC(0+)=uC(0－)=U0A=U0下一頁前一頁第3-30頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應tU0uC0令=RC,稱為一階電路的時間常數(shù)〔1〕電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；從以上各式可以得出：延續(xù)函數(shù)I0ti0躍變〔2〕呼應與初始形狀成線性關系，其衰減快慢與RC有關；下一頁前一頁第3-31頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應暫態(tài)過程與時常數(shù)τ之間的關系上述RC電路的放電過程的快慢取決于時常數(shù)τ，它越大，表達電壓電流的暫態(tài)變化越慢，反之，越快。留意：僅與電路內參數(shù)有關，與鼓勵和初始形狀無關。不同t值對應的呼應t0τ2τ3τ4τ5τ…∞y(t)=e-t/τe0=1e-1=0.368e-2=0.135e-3=0.05e-4=0.018e-5=0.007…0工程上，普通以為，經(jīng)過3τ~5τ的時間后，暫態(tài)呼應已根本終了。下一頁前一頁第3-32頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應+uC45F－i1例知圖示電路中的電容本來充有24V電壓，求K閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC零輸入呼應問題，有：i3K3+uC265F－i2i1t>0等效電路分流得：下一頁前一頁第3-33頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應一階電路演示sab零形狀呼應零輸入呼應電源經(jīng)過電阻對電容充電電容經(jīng)過電阻放電

0零形狀呼應零輸入呼應充電放電充電

2.一階RL電路的零輸入呼應特征方程Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR下一頁前一頁第3-36頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應-RI0uLttI0iL0從以上式子可以得出：延續(xù)函數(shù)躍變〔1〕電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；〔2〕呼應與初始形狀成線性關系，其衰減快慢與L/R有關；下一頁前一頁第3-37頁前往本章目錄

令=L/R,稱為一階RL電路時間常數(shù)3.3一階電路的零輸入呼應例：電路如下圖，知R=4Ω，L=0.1H，US=24V，開關在t=0翻開，求t≥0時的電流iL，其中電壓表的內阻RV=10kΩ，量程為100V，問開關翻開時，電壓表有無危險？下一頁前一頁第3-38頁前往本章目錄解因t=0-時，電感相當與短路，故u(0-)=0。而iL(0+)=iL(0-)=Us/R=24/4=6A換路后，等效電路如圖(b)。由KVL方程有uL–u=0將uL=LdiL/dt和u=-RViL代入上式得令τ=L/RV=10-5s，方程變?yōu)楣孰妷罕頁Q路后瞬間要接受-60kV的高壓，而其量程只需100V，因此電壓表立刻被打壞。u(t)=-RViL(t)=-10×103×=-60kV

3.3一階電路的零輸入呼應小結4.一階電路的零輸入呼應和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入呼應是由儲能元件的初值引起的呼應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)RC電路=RC,RL電路=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。3.同一電路中一切呼應具有一樣的時間常數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC(0+)=uC(0－)RC電路RL電路下一頁前一頁第3-39頁前往本章目錄

3.3一階電路的零輸入呼應動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加輸入鼓勵作用所產(chǎn)生的呼應。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齊次線性常微分方程解答方式為：1.RC電路的零形狀呼應零形狀呼應齊次方程通解非齊次方程特解下一頁前一頁第3-40頁前往本章目錄

3.4一階電路的零形狀呼應特解〔強迫分量，穩(wěn)態(tài)分量〕與輸入鼓勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和構造決議全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始條件uC(0+)=0定積分常數(shù)A的通解通解〔自在分量，暫態(tài)分量〕的特解下一頁前一頁第3-41頁前往本章目錄

3.4一階電路的零形狀呼應ti0-USuC‘〔1〕電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構成：從以上式子可以得出：延續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量〔強迫分量〕暫態(tài)分量〔自在分量〕+下一頁前一頁第3-42頁前往本章目錄

3.4一階電路的零形狀呼應〔2〕呼應變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決議；大，充電慢，小充電就快?！?〕電源提供的能量一半耗費在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。tuc0uC“US例t=0時,開關K閉合，知uC〔0－〕=0，求〔1〕電容電壓和電流，〔2〕uC＝80V時的充電時間t。解50010F+-100VK+－uCi(1)這是一個RC電路零形狀呼應問題，有：〔2〕設經(jīng)過t1秒，uC＝80V

下一頁前一頁第3-43頁前往本章目錄3.4一階電路的零形狀呼應2.RL電路的零形狀呼應iLK(t=0)US+–uRL+–uLR知iL(0－)=0，電路方程為：tuLUStiL00

下一頁前一頁第3-44頁前往本章目錄3.4一階電路的零形狀呼應例t=0時,開關K翻開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是一個RL電路零形狀呼應問題，先化簡電路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0

下一頁前一頁第3-45頁前往本章目錄3.4一階電路的零形狀呼應1、全呼應下一頁前一頁第3-46頁前往本章目錄定義：電路在外加鼓勵和初始形狀共同作用下所產(chǎn)生的呼應，稱為全呼應。我們可以將初始形狀〔初始儲能〕看作電路的內部鼓勵。對于線性電路，根據(jù)疊加定理，全呼應又可以分解為全呼應=零輸入呼應+零形狀呼應，即y(t)=yx(t)+yf(t)因此，對于初始形狀不為零，外加鼓勵也不為零的電路。初始形狀單獨作用時〔獨立源置0〕時產(chǎn)生的呼應就是零輸入呼應分量；而外加鼓勵單獨作用時[即令uC(0+)=0]時求得的呼應就是零形狀呼應分量。3.5一階電路的完全呼應——三要素公式

下一頁前一頁第3-47頁前往本章目錄一種直流電源鼓勵下一階電路呼應的簡便計算方法—三要素法?！?〕、三要素公式的推出由于一階電路只含一個動態(tài)元件，換路后，利用戴維南定理，將任何一階電路簡化為如圖兩種方式之一。列出以電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為呼應的方程，整理后有假設用y(t)表示呼應，用f(t)表示外加鼓勵，上述方程一致表示為τ為時常數(shù)，對RC電路，τ=RC；對RL電路，τ=L/R。2、三要素公式

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式下一頁前一頁第3-48頁前往本章目錄y(t)=yh(t)+yp(t)特征根s=-1/τ，yh(t)=Ke-t/τ，y(t)=Ke-t/τ+yp(t)設全呼應y(t)的初始值為y(0+)，代入上式得y(0+)=K+yp(0+)，K=y(0+)-yp(0+)得全呼應y(t)=[y(0+)-y(∞)]e-t/τ+y(∞)=y(0+)e-t/τ+y(∞)(1-e-t/τ)，t≥0對于一階電路，只需設法求得初始值y(0+)、時常數(shù)τ和微分方程的特解yp(t)，就可直接寫出電路的呼應y(t)。假設鼓勵f(t)為直流時，yp(t)=A代入上式，有y(t)=[y(0+)-A]e-t/τ+A通常τ>0〔稱電路為正τ電路〕，當t→∞時，電路穩(wěn)態(tài)，A=y(∞)穩(wěn)態(tài)值。直流鼓勵時一階電路的呼應為三要素公式y(tǒng)(t)=[y(0+)-yp(0+)]e-t/τ+yp(t)

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式〔2〕、三要素公式闡明下一頁前一頁第3-49頁前往本章目錄〔1〕適用范圍：直流鼓勵下一階電路中恣意處的電流和電壓；〔2〕三要素：y(0+)表示該呼應〔電壓或電流〕的初始值，y(∞)表示呼應的穩(wěn)定值，τ表示電路的時間常數(shù)?！?〕三要素法不僅可以求全呼應，也可以求零輸入呼應和零形狀呼應分量?！?〕假設初始時辰為t=t0，那么三要素公式應改為y(t)=[y(t0+)-y(∞)]e-(t-t0)/τ+y(∞)，t≥t0

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式〔3〕、三要素的計算〔歸納〕下一頁前一頁第3-50頁前往本章目錄1、初始值y(0+)步驟〔1〕0-等效電路，計算uC(0-)和iL(0-)，〔2〕換路定律得uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)〔3〕畫0+等效電路，求其它電壓、電流的初始值。2、穩(wěn)態(tài)值y(∞)換路后t→∞時，電路進入直流穩(wěn)態(tài)，此時，電容開路，電感短路。步驟：〔1〕換路后，電容開路，電感短路，畫出穩(wěn)態(tài)等效電阻電路?！?〕穩(wěn)態(tài)值y(∞)。3、時常數(shù)τ對于一階RC電路，τ=R0C；對于一階RL電路，τ=L/R0；R0是換路后從動態(tài)元件C或L看進去的戴維南等效內阻。

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式3、舉例下一頁前一頁第3-51頁前往本章目錄例1如圖(a)所示電路，IS=3A，US=18V，R1=3Ω，R2=6Ω，L=2H，在t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，當t=0時開關S閉合，求t≥0時的iL(t)、uL(t)和i(t)。解〔1〕求iL(0+)=iL(0-)=US/R1=6A〔2〕畫0+等效電路，如圖(b)。列節(jié)點方程得uL(0+)=6V，i(0+)=uL(0+)/6=1A〔3〕畫∞等效電路，如圖(c)。顯然有uL(∞)=0，i(∞)=0，iL(∞)=18/3+3=9A〔4〕計算時常數(shù)τ。R0=3//6=2Ωτ=2/2=1sτ=L/R0，

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式下一頁前一頁第3-52頁前往本章目錄〔5〕代入三要素公式得。

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式下一頁前一頁第3-53頁前往本章目錄解(1)首先求出uC(0-)。S接于1，電路直流穩(wěn)態(tài)。(2)當0<t<2s時，開關S接于“2〞，此時電路處于零輸入形狀，故穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=0；時間常數(shù)τ1=R2C=4×0.5=2(s)，由換路定律，有uC(0+)=uC(0-)=4V；代入三要素公式有uC(t)=4e-t/2(V)，0<t<2s,uC(2-)=4e-1=1.47(V)(3)當t>2s時，開關S閉合至“3〞，由換路定律有uC(2+)=uC(2-)=1.47V此時電路的穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=(R2//R3)Is=2×2=4(V),時常數(shù)τ2=(R2//R3)C=1suC(t)=4-2.53e-(t-2)(V)，t≥2s

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式例2如下圖電路，US=5V，IS=2A，R1=1Ω，R2=R3=4Ω，C=0.5F，在t<0時開關S位于“1〞，電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關S由“1〞閉合到“2〞，經(jīng)過2s后，開關S又由“2〞閉合到“3〞。求t≥0時的電壓uC(t)。下一頁前一頁第3-54頁前往本章目錄解(1)首先求出iL(0-)。S接于1，電路直流穩(wěn)態(tài)。電感短路，利用分流公式得：iL(0+)=iL(0-)=3A(2)求解零形狀呼應iLf(t)和uf(t)。零形狀呼應是初始形狀為零，僅由獨立源所引起的呼應；故iLf(0+)=0，電感相當于開路。畫出其0+等效電路，如圖(b)所示，所以uf(0+)=uf(∞)=iLf(∞)=uf(∞)/R3=3/3=1(A)R0=(Ω)τ=L/R0=0.5siLf(t)=1-e-2t(A)，uf(t)=3+3e-2t(V)，t≥0

3.5一階電路的完全呼應——三要素公式例3如圖(a)所示電路，R1=6Ω，R2