吉林省乾安七中2024屆數(shù)學高一下期末聯(lián)考試題含解析

吉林省乾安七中2024屆數(shù)學高一下期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．10名工人某天生產同一零件，生產的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）.A． B． C． D．2．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則3．若滿足，且的最小值為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的中點，設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．25 B． C． D．555．已知是偶函數(shù)，且時.若時，的最大值為，最小值為，則（）A．2 B．1 C．3 D．6．若平面∥平面，直線∥平面,則直線與平面的關系為()A．∥ B． C．∥或 D．7．（）A．0 B． C． D．18．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是A． B．C． D．10．已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，當最小時，直線的一般方程為______.12．若滿足約束條件則的最大值為__________．13．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質，相應地，若正項數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列_________也是等比數(shù)列.14．已知棱長都相等正四棱錐的側面積為，則該正四棱錐內切球的表面積為________．15．對于任意實數(shù)x,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是______16．_________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓A：，圓B：.（Ⅰ）求經過圓A與圓B的圓心的直線方程；（Ⅱ）已知直線l：，設圓心A關于直線l的對稱點為，點C在直線l上，當?shù)拿娣e為14時，求點C的坐標.18．2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，按閱讀時間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加?！爸腥A詩詞比賽”．經過比賽后，從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率．19．如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植甲水果的經濟價值是種植乙水果經濟價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的處恰有一可旋轉光源滿足甲水果生長的需要，該光源照射范圍是,點在直徑上，且．（1）若，求的長；（2）設,求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小值及f(x)取到最小值時自變量x的集合；(2)指出函數(shù)y＝f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝sinx的圖象經過哪些變換得到；21．在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，點，分別為，的中點，且，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，分別求出平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，然后進行比較可得選項.【題目詳解】，中位數(shù)為，眾數(shù)為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查統(tǒng)計量的求解，明確平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求解方法是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).2、C【解題分析】

對每一個選項進行判斷，選出正確的答案.【題目詳解】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C【題目點撥】本題考查了不等式的性質，找出反例是解題的關鍵.3、B【解題分析】

首先畫出滿足條件的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標函數(shù)取最小值找出最優(yōu)解，把最優(yōu)解點代入目標函數(shù)即可求出的值．【題目詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：，由，解得：，由得：，顯然直線過時，z最小，∴，解得：，故選B．【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，已知目標函數(shù)最值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型．4、D【解題分析】

根據(jù)向量的加法和平面向量定理，得到和的值，從而得到等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，得到答案.【題目詳解】因為E是平行四邊形ABCD的邊AD的中點，所以，因為，所以，，所以等差數(shù)列的公差，所以.故選：D.【題目點撥】本題考查向量的加法和平面向量定理，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題.5、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性得到原題轉化為直接求的最大和最小值即可.【題目詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖像關于y軸對稱，故得到時，的最大值和最小值，與時的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；根據(jù)對勾函數(shù)的單調性得到函數(shù)的最小值為，，故最大值為，此時故答案為：B.【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的奇偶性和單調性的應用，屬于基礎題。對于函數(shù)的奇偶性，主要是體現(xiàn)函數(shù)的對稱性，這樣可以根據(jù)對稱性得到函數(shù)在對稱區(qū)間上的函數(shù)值的關系，使得問題簡化.6、C【解題分析】

利用空間幾何體，發(fā)揮直觀想象，易得直線與平面的位置關系.【題目詳解】設平面為長方體的上底面，平面為長方體的下底面，因為直線∥平面，所以直線通過平移后，可能與平面平行，也可能平移到平面內，所以∥或.【題目點撥】空間中點、線、面位置關系問題，?？梢越柚L方體進行研究，考查直觀想象能力.7、C【解題分析】試題分析：考點：兩角和正弦公式8、C【解題分析】

設與的夾角為，計算出、、的值，再利用公式結合角的取值范圍可求出的值.【題目詳解】設與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【題目點撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算平面向量的夾角，解題的關鍵就是計算出、、的值，考查計算能力，屬于中等題.9、A【解題分析】試題分析：對A，函數(shù)在上為增函數(shù)，符合要求；對B，在上為減函數(shù)，不符合題意；對C，為上的減函數(shù)，不符合題意；對D，在上為減函數(shù)，不符合題意.故選A.考點：函數(shù)的單調性，容易題.10、B【解題分析】根據(jù)橢圓可以知焦點為，離心率，故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設直線的截距式方程為，利用該直線過可得，再利用基本不等式可求何時即取最小值，從而得到相應的直線方程．【題目詳解】設直線的截距式方程為，其中且．因為直線過，故．所以，由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，故當取最小值時，直線方程為：．填．【題目點撥】直線方程有五種形式，常用的形式有點斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的軸的直線沒有點斜式、斜截式和截距式，垂直于軸的直線沒有截距式，注意根據(jù)題設所給的條件選擇合適的方程的形式，特別地，如果考慮的問題是與直線、坐標軸圍成的直角三角形有關的問題，可考慮利用截距式.12、【解題分析】

作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知當時，.【題目詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標函數(shù)的最大值必在頂點處取得，易知當時，.【題目點撥】線性規(guī)劃問題是高考中常考考點，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標函數(shù)的最值，主要結合方式有：截距型、斜率型、距離型等.13、【解題分析】

利用類比推理分析，若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列也是等比數(shù)列．【題目詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，則當時，數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質，若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當時，數(shù)列也是等比數(shù)列．故答案為：【題目點撥】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．14、【解題分析】

根據(jù)側面積求出正四棱錐的棱長，畫出組合體的截面圖，根據(jù)三角形的相似求得四棱錐內切球的半徑，于是可得內切球的表面積．【題目詳解】設正四棱錐的棱長為，則，解得．于是該正四棱錐內切球的大圓是如圖△PMN的內切圓，其中，．∴．設內切圓的半徑為，由∽，得，即，解得，∴內切球的表面積為．【題目點撥】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．15、【解題分析】

對a分類討論，利用判別式，即可得到結論．【題目詳解】（1）a﹣2=0，即a=2時，﹣4＜0，恒成立；（2）a﹣2≠0時，，解得﹣2＜a＜2，∴﹣2＜a≤2故答案為：．【題目點撥】對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個方面研究：一是，開口；二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關系；三是，判別式，決定于x軸的交點個數(shù)；四是，區(qū)間端點值.16、3【解題分析】

分式上下為的二次多項式,故上下同除以進行分析.【題目詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【題目點撥】本題考查了分式型多項式的極限問題，注意：當時,三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（Ⅱ）或【解題分析】

（Ⅰ）由已知求得，的坐標，再由直線方程的兩點式得答案；（Ⅱ）求出的坐標，再求出以及所在直線方程，設，利用點到直線的距離公式求出到所在直線的距離，代入三角形面積公式解得值，進而可得的坐標.【題目詳解】（Ⅰ）將圓：化為：，所以，圓：化為：，所以，所以經過圓與圓的圓心的直線方程為：，即.（Ⅱ）如圖，設，由題意可得，解得，即，∴，所在直線方程為，即，設，則到所在直線的距離，由，解得或，∴點的坐標為或.【題目點撥】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查點關于直線的對稱點的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）a=0.06，平均值為12.25小時（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設為A，B，C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)所以可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值為小時．（2）易得從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設為，則從該6人中選拔2人的基本事件有：共15種，其中來自不同的組別的基本事件有：，共11種，∴這2人來自不同組別的概率為.【題目點撥】本題考查平均數(shù)、概率的求法，考查古典概型、頻率分布直方圖等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．19、（1）1或3（2）【解題分析】

試題分析：（1）在中,因為，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或（2）該空地產生最大經濟價值等價于種植甲種水果的面積最大，所以用表示出，再利用三角函數(shù)求最值得試題解析：（1）連結，已知點在以為直徑的半圓周上，所以為直角三角形，因為，，所以，，在中由余弦定理，且，所以，解得或，（2）因為，，所以，所以，在中由正弦定理得：所以，在中，由正弦定理得：所以，若產生最大經濟效益，則的面積最大，，因為，所以所以當時，取最大值為，此時該地塊產生的經濟價值最大考點：①解三角形及正弦定理的應用②三角函數(shù)求最值20、（1），此時自變量的集合是（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖形變換規(guī)律，即可得到?！绢}目詳解】(1)，此時，，即，，即此時自變量的集合是.（2）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，最后再把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象．【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的性質應用，以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律的應用。21、（1）見解析（2）【解題分析】

(1)取中點，連接，，構造平行四邊形，由線線平行得到線面平行；（2）根