湖南省衡陽一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

湖南省衡陽一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數(shù)列1，，，，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．2．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的P是A．8 B．5 C．3 D．23．已知直線與直線平行，則實數(shù)m的值為（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或34．已知數(shù)列，滿足，若，則（）A． B． C． D．5．甲、乙兩隊準備進行一場籃球賽，根據(jù)以往的經(jīng)驗甲隊獲勝的概率是，兩隊打平的概率是，則這次比賽乙隊不輸?shù)母怕适牵ǎ〢．- B． C． D．6．已知函數(shù)和在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（）A． B． C． D．7．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天9．某興趣小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側(cè)視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A． B． C． D．10．已知、是平面上兩個不共線的向量，則下列關(guān)系式：①；②；③；④.正確的個數(shù)是()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列中，且當時，則數(shù)列的前項和=__________．12．已知為鈍角，且，則__________.13．等差數(shù)列滿足，則其公差為__________．14．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____15．在直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時圓上一點P的位置在，圓在x軸上沿正向滾動．當圓滾動到圓心位于時，的坐標為________．16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和對稱軸；（Ⅱ）討論在上的單調(diào)性．18．在平面立角坐標系中，過點的圓的圓心在軸上，且與過原點傾斜角為的直線相切.(1)求圓的標準方程；(2)點在直線上，過點作圓的切線、，切點分別為、，求經(jīng)過、、、四點的圓所過的定點的坐標.19．已知數(shù)列滿足且，設(shè)，.（1）求；（2）求的通項公式；（3）求.20．設(shè)是一個公比為q的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求q；（2）若數(shù)列前4項的和，令（），求數(shù)列的前n項和.21．已知（1）化簡；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

把數(shù)列化為，根據(jù)各項特點寫出它的一個通項公式.【題目詳解】數(shù)列…可以化為，所以該數(shù)列的一個通項公式為.故選：A【題目點撥】本題考查了根據(jù)數(shù)列各項特點寫出它的一個通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.2、C【解題分析】試題分析：k=1，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不滿足條件k＜4，則退出執(zhí)行循環(huán)體，此時p=3考點：程序框圖3、B【解題分析】

兩直線平行應(yīng)該滿足，利用系數(shù)關(guān)系及可解得m.【題目詳解】兩直線平行，可得（舍去）.選B.【題目點撥】兩直線平行的一般式對應(yīng)關(guān)系為：，若是已知斜率，則有，截距不相等.4、C【解題分析】

利用遞推公式計算出數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的周期，然后利用周期性求出的值.【題目詳解】，且，，，，所以，，則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選：C.【題目點撥】本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項，推導(dǎo)出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、C【解題分析】

因為“甲隊獲勝”與“乙隊不輸”是對立事件，對立事件的概率之和為1，進而即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意，“甲隊獲勝”與“乙隊不輸”是對立事件，因為甲隊獲勝的概率是，所以，這次比賽乙隊不輸?shù)母怕适?故選C【題目點撥】本題主要考查對立事件的概率問題，熟記對立事件的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.6、B【解題分析】

分別根據(jù)和的單調(diào)減區(qū)間即可得出答案．【題目詳解】因為和的單調(diào)減區(qū)間分別是和，所以選擇B【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對三角函數(shù)圖像與性質(zhì)掌握情況.7、C【解題分析】

作出可行域，利用平移法即可求出．【題目詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：當直線平移至經(jīng)過直線與直線的交點時，取得最大值，．故選：C．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題的解法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項和公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．．【題目詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計2.3日蒲、莞長度相等，故選：A．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式在實際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9、D【解題分析】

由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，根據(jù)幾何體的表面積公式，即可求解.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.10、C【解題分析】

根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)對選項進行逐一判斷，即可得到答案．【題目詳解】①.，滿足交換律，正確.②.,滿足分配律，正確.③.,所以不正確.④.,

，可正可負可為0，所以④不正確.故選：C【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬于中檔題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先利用累乘法計算，再通過裂項求和計算.【題目詳解】，數(shù)列的前項和故答案為：【題目點撥】本題考查了累乘法，裂項求和，屬于數(shù)列的?？碱}型.12、.【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【題目詳解】由為鈍角，且，所以，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同時考查了象限角的三角函數(shù)的符號，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再根據(jù)即可得到公差的值.【題目詳解】，解得.，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.14、【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可得到答案?！绢}目詳解】設(shè)抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學(xué)校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【題目點撥】本題考查分層抽樣，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題。15、【解題分析】

設(shè)滾動后圓的圓心為C，切點為A，連接CP．過C作與x軸正方向平行的射線，交圓C于B（2，1），設(shè)∠BCP=θ，則根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標為（1+cosθ，1+sinθ），再根據(jù)圓的圓心從（0，1）滾動到（1，1），算出，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡可得P的坐標為，即為向量的坐標．【題目詳解】設(shè)滾動后的圓的圓心為C，切點為，連接CP，過C作與x軸正方向平行的射線，交圓C于，設(shè)，∵C的方程為，∴根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標為，∵單位圓的圓心的初始位置在，圓滾動到圓心位于，，可得，可得，，代入上面所得的式子，得到P的坐標為，所以的坐標是.故答案為：.【題目點撥】本題考查圓的參數(shù)方程,平面向量坐標表示的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合找到變量的角度，屬于中等題.16、1【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，，∴，解得＝1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);，(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【解題分析】

(1)先由題意得到，再化簡整理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）所以最大值為，由，，所以對稱軸，（2）當時，，從而當，即時，單調(diào)遞增當，即時，單調(diào)遞減綜上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.18、（1）（2）經(jīng)過、、、四點的圓所過定點的坐標為、【解題分析】

(1)先算出直線方程，根據(jù)相切和過點，圓心在軸上聯(lián)立方程解得答案.(2)取線段的中點，經(jīng)過、、、四點的圓是以線段為直徑的圓，設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，將圓方程表示出來，聯(lián)立方程組解得答案.【題目詳解】(1)由題意知，直線的方程為，整理為一般方程可得由圓的圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，由題意有，解得：，，故圓的標準方程為.(2)由圓的幾何性質(zhì)知，，，取線段的中點，由直角三角形的性質(zhì)可知，故經(jīng)過、、、四點的圓是以線段為直徑的圓，設(shè)點的坐標為，則點的坐標為有則以為直徑的圓的方程為：，整理為可得.令，解得或，故經(jīng)過、、、四點的圓所過定點的坐標為、.【題目點撥】本題考查了圓的方程，切線問題，四點共圓，定點問題，綜合性強，技巧性高，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19、（1），，，；（1），；（3）.【解題分析】

（1）依次代入計算，可求得；（1）歸納出，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）用裂項相消法求和，然后求極限．【題目詳解】（1）∵且，∴，即，，，，，，，，，∴；（1）由（1）歸納：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°n=1，n=1時，由（1）知成立，1°假設(shè)n=k（k>1）時，結(jié)論成立，即bk=1k1，則n=k+1時，ak=bk-k=1k1-k，，ak+1=(1k+1)(k+1)，∴bk+1=ak+1+(k+1)=(1k+1)(k+1)+(k+1)=1(k+1)1，∴n=k+1時結(jié)論成立，∴對所有正整數(shù)n，bn=1n1．（3）由（1）知n1時，，∴，．【題目點撥】本題考查用歸納法求數(shù)列的通項公式，考查用裂項相消法求數(shù)列的和，考查數(shù)列的極限．在求數(shù)列通項公式時，可以根據(jù)已知的遞推關(guān)系求出數(shù)列的前幾項，然后歸納出通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明，這對學(xué)生的歸納推理能力有一定的要求，這也就是我們平常所學(xué)的從特殊到一般的推理方法．20、（1），（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，得到，解得答案.（2）討論和兩種情況，利用錯位相減法計算得到答案.【題目詳解】（1）因為是一個公比為q的等比數(shù)列，所以.因為，，成等差數(shù)列，所以即