東北四市一模試題2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

東北四市一模試題2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在下列結(jié)論中，正確的為（）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B．向量與向量的長(zhǎng)度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒(méi)有方向的2．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若對(duì)恒成立，則正整數(shù)構(gòu)成的集合是（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．4．集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．在中，點(diǎn)滿足，則（）A． B．C． D．6．從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對(duì)立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品7．若，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．8．已知：，，若函數(shù)和有完全相同的對(duì)稱軸，則不等式的解集是A． B．C． D．9．從一批產(chǎn)品中取出兩件產(chǎn)品，事件“至少有一件是次品”的對(duì)立事件是A．至多有一件是次品 B．兩件都是次品C．只有一件是次品 D．兩件都不是次品10．已知集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，其中，則的值為________.12．已知，若數(shù)列滿足，，則等于________13．設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則=________.14．設(shè),則的值是____.15．在中，，則______．16．等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包，然后以5元/個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格全部賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購(gòu)進(jìn)了80個(gè)面包，以x（單位：個(gè)，）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤(rùn).（1）求食堂面包需求量的平均數(shù)；（2）求T關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率.18．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若存在，使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．在某市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，全市共有名學(xué)生參加了本次考試，其中示范性高中參加考試學(xué)生人數(shù)為人，非示范性高中參加考試學(xué)生人數(shù)為人.現(xiàn)從所有參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，作檢測(cè)成績(jī)數(shù)據(jù)分析.（1）設(shè)計(jì)合理的抽樣方案（說(shuō)明抽樣方法和樣本構(gòu)成即可）；（2）依據(jù)人的數(shù)學(xué)成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)本次檢測(cè)全市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；20．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域；（3）令，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大?。唬?）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】A.單位向量的方向任意，所以當(dāng)起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心的單位圓上，終點(diǎn)不一定相同，所以選項(xiàng)不正確；B.向量與向量是相反向量，方向相反，長(zhǎng)度相等，所以選項(xiàng)正確；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說(shuō)向量就是有向線段，所以選項(xiàng)不正確；D.規(guī)定零向量的方向任意，而不是沒(méi)有方向，所以選項(xiàng)不正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解題分析】

先分析出，即得k的值.【題目詳解】因?yàn)橐驗(yàn)樗?所以,所以正整數(shù)構(gòu)成的集合是.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最小值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解題分析】

利用特殊值，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得到正確選項(xiàng).【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，由此排除D選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除A選項(xiàng).綜上所述，本小題選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】，則，所以，元素個(gè)數(shù)為2個(gè)。故選C。5、D【解題分析】

因?yàn)椋?，即；故選D.6、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)立事件的概念，選出正確選項(xiàng).【題目詳解】從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，“至少有一件次品”的對(duì)立事件為兩件全是正品.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查對(duì)立事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

通過(guò)反例、作差法、不等式的性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【題目詳解】若，，則，錯(cuò)誤；，則，錯(cuò)誤；，，則，錯(cuò)誤；，則等價(jià)于，成立，正確.本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

，所以因此，選B.9、D【解題分析】試題分析：根據(jù)對(duì)立事件的定義，至少有n個(gè)的對(duì)立事件是至多有n﹣1個(gè)，由事件A：“至少有一件次品”，我們易得結(jié)果．解：∵至少有n個(gè)的否定是至多有n﹣1個(gè)又∵事件A：“至少有一件次品”，∴事件A的對(duì)立事件為：至多有零件次品，即是兩件都不是次品．故答案為D．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是互斥事件和對(duì)立事件，互斥事件關(guān)鍵是要抓住不可能同時(shí)發(fā)生的要點(diǎn)，對(duì)立事件則要抓住有且只有一個(gè)發(fā)生，可以轉(zhuǎn)化命題的否定，集合的補(bǔ)集來(lái)進(jìn)行求解．10、A【解題分析】

首先求得集合，根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由兩角差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式，即可求出的值．【題目詳解】，所以，因?yàn)?，故．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩角差的正弦公式的逆用以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．12、【解題分析】

根據(jù)首項(xiàng)、遞推公式，結(jié)合函數(shù)的解析式，求出的值，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期數(shù)列，求出周期，利用數(shù)列的周期性可以求出的值.【題目詳解】，所以數(shù)列是以5為周期的數(shù)列，因?yàn)?0能被5整除，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的周期性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、【解題分析】

由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+π）=f（x）+sinx，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f（x）=0，∴f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=0+=．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．14、【解題分析】

根據(jù)二倍角公式得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解．【題目詳解】解：由題意知：故，即．故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

由已知求得，進(jìn)一步求得，即可求出．【題目詳解】由，得，即，，則，，，則．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查應(yīng)用兩角和的正切公式作三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值．16、【解題分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【題目詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列求和，同時(shí)也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）84；（2）；（3）【解題分析】

（1）每個(gè)小矩形的面積乘以該組中間值，所得數(shù)據(jù)求和就是平均數(shù)；（2）根據(jù)需求量分段表示函數(shù)關(guān)系；（3）根據(jù)（1）利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即，即，求出其頻率，即可估計(jì)概率.【題目詳解】（1）估計(jì)食堂面包需求量的平均數(shù)為：（2）解：由題意，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，即T關(guān)于x的函數(shù)解析式（3）解：由題意，設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事件A，由（1）知，利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即，即，由直方圖可知，當(dāng)時(shí)，所求概率為【題目點(diǎn)撥】此題考查頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，計(jì)算頻率，以及建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng).18、（1），．（2）【解題分析】

（1）利用降次公式和輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.（2）首先求得當(dāng)時(shí)的值域.利用換元法令，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.【題目詳解】（1）由（）解得（）．所以所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，．（2）當(dāng)時(shí)，，，即．令（），則關(guān)于的方程在上有解，即關(guān)于的方程在上有解．當(dāng)時(shí)，．所以，則．因此所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查根據(jù)方程的根存在求參數(shù)的取值范圍，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）92.4【解題分析】

（1）根據(jù)總體的差異性選擇分層抽樣，再結(jié)合抽樣比計(jì)算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人數(shù)；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積所得結(jié)果，再全部相加可得出本次測(cè)驗(yàn)全市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．【題目詳解】（1）由于總體有明顯差異的兩部分構(gòu)成，故采用分層抽樣，由題意，從示范性高中抽取人，從非師范性高中抽取人；（2）由頻率分布直方圖估算樣本平均分為推測(cè)估計(jì)本次檢測(cè)全市學(xué)生數(shù)學(xué)平均分為【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣以及計(jì)算頻率分布直方圖中的平均數(shù)，著重考查學(xué)生對(duì)幾種抽樣方法的理解，以及頻率分布直方圖中幾個(gè)樣本數(shù)字的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【解題分析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；（2）由題意得，對(duì)兩邊同時(shí)平方得，求出的取值范圍即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.【題目詳解】（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)榱?，由，可得，所以，，故即，所以函?shù)在定義域上單調(diào)遞增.（2）由，，故，，當(dāng)時(shí)，，有，可得：，故，由，可得，故函數(shù)的值域?yàn)?，?）由（2）知，則，令，則，令，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，又由函數(shù)單調(diào)遞增，可得函數(shù)也只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，又，，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒(méi)有零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明、值域的求解和零點(diǎn)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討論思想，屬于中檔題.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解題分析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得