二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總

二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總

知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念

形如《心家〕的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代

數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以.是廣為二次根式的前提條

a>0yja

件,如⑻際Ge等是二次根式，而口r等都不是二次根

式。

知識(shí)點(diǎn)二：取值圍

1二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a叁。時(shí)，廠有意義,

是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即

可。

2二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時(shí)，廠沒(méi)

有意義。

知識(shí)點(diǎn)三：二次根式廠〔0〕的非負(fù)性

y]aa>0

廠〔〕表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，廠〔〕是一個(gè)非負(fù)數(shù)，

a>0yjaa>0

即廠01〕。

>a>0

注：因?yàn)槎胃綇S〔〕表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正

0

數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)〔〕的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即L

a>0-Ja>

0c]，這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類

a>0

似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如假設(shè)，那么a=0,b=0;假設(shè)

+^Jb=0

,那么a=0,b=0;假設(shè)，那么a=0,b=0。

J&+同=。/+52=0

知識(shí)點(diǎn)四：二次根式〔〕的性質(zhì)

4a,2

.word.zl.

（向2=a

文字語(yǔ)言表達(dá)為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)六：（出尸與汗的異同點(diǎn)

1、不同點(diǎn)：（g）2與岸表示的意義是不同的，（向2表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方

根的平方，而岸表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（而2中心。，而用

中a可濕正.，°，許但⑹與值都是非負(fù)數(shù)，即函”0,在

因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差異％而—，而*小仁喜

2、一樣點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，廠/F；時(shí)，廠2無(wú)

a>0（&）《aa<0（Ja）

意義，而ry.

=-a

知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算

口〕因式的外移和移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就

可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么

先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以，仔根號(hào)外面

的正因式平方后移到根號(hào)里面.

〔2〕二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次

根式.

〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，將被開(kāi)方數(shù)相乘〔除〕，

所得的積〔商〕仍作積〔商〕的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

嚴(yán)廣,b>OJ;Cb>0,a>0].

.word.zl.

〔4〕有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的

分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

1例題精選】

二次根式有意義的條件:

例1：求以下各式有意義的所有x的取值圍。

⑴/2x;(2)3yx

3

解：口〕要使V3F■有意義，必須32x0,由32x。得x_1

2

當(dāng)X二時(shí)，式子OF在實(shí)數(shù)國(guó)有意義。

2

〔2〕要使/「T有意義，x1為任意實(shí)數(shù)均可,

當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)必「均有意義。

〔3〕要使匹工有意義，必須X

網(wǎng)2|x|20

x1且x2,但x2不在x1的圍。

當(dāng)x1且x2時(shí)，式子懺?在實(shí)數(shù)圍有意義。

lxl2

小練習(xí)：〔1〕當(dāng)x是多少時(shí)，/TT在實(shí)數(shù)圍有意義？

〔2〕當(dāng)x是多少時(shí)，"7+在實(shí)數(shù)圍有意義？②

X1

〔3〕當(dāng)x是多少時(shí)，立三+X2在實(shí)數(shù)圍有意義？

X

〔4〕當(dāng)時(shí)，Jx2JI2x有意義。

2.使式子4(x?有意義的未知數(shù)x有〔〕個(gè).

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)

3.+5,求二的值。

y

4.假設(shè)0T有意義，那么J77=-------

+----

5.假設(shè)1有意義，那么m的取值國(guó)是。

m1

.word.zl.

最簡(jiǎn)二次根式

例2:把以下各根式化為最簡(jiǎn)二次根式:

(1)J96a3ba0,b0

分析：依據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)展化簡(jiǎn)，

口〕被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

〔2〕被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。

解：(1)J96a3bJl6a2.6ab4aJ6aba0,b0

25a2bb5ab

^/ba0,b0

121c4TTC2

同類根式:

例3：判斷以下各組根式是否是同類根式:

⑴產(chǎn);

分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)一樣，那么這幾個(gè)二次根式就叫

做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡(jiǎn)二次根

式。

解：⑴

.word.zl.

分母有理化：

例4:把以下各式的分母有理化：

（1）Lf；（2）_J；

2V2'2書(shū)應(yīng)

分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們

的積不含有二次根式，我們說(shuō)，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，如卷與仁，

書(shū)6與書(shū)&均為有理化因式。

解：

（1）1II1O1.

2丫22M224

（2）V5第2書(shū)*2獷炳

2.典2一艱2曠KU）-

求值：例5：計(jì)算：

⑴廓明正'孝

分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)展二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)容，必須掌握，要特別注意

運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。

解：口〕原式（3隹2*F&）,L

7373

3

.word.zl.

率@/FF/3

(2)原式6促曠共76

#3Jo-O◎

J15

&*7372V3V2

3730675

化簡(jiǎn)：

例6:化簡(jiǎn)：

⑴a47ab4b

/23

分析：應(yīng)注意口〕式a0,b0,⑵a0,所以abVb2,a4b可看作

百24的2可利用乘法公式來(lái)進(jìn)展化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。

62出五2加

解：(1)原式------廠—C廣--------42加-

Ja2小

Va2VbJa2y/b2

1m2Vb

O2心a4b

例7：化簡(jiǎn)練習(xí)：

(1)7st?s0

(2沖2|J怖軍

解：⑴st30

st?0,而s0

t30,即t0

原式Jso?—'tQFt0

.word.zl.

223

2aO

J6

原式V62

76

23

225

化簡(jiǎn)求值：

例8::a◎一,b?、企求:ab3a3b的值。

22

分析：如果把a(bǔ),b的值直接代入計(jì)算a3,b3的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到

O艱與出艱■互為有理化因子可計(jì)算ab,a.b,然后將求值式子化為ab與a-b的

形式。

解：ab*邛&?a.b3"?事版J

''2-2--2-4

ab3a3bab(b2a2)

abab22ab

將ab與a-b的值代入,

'J322.1131155

4442428

小結(jié)：顯然上面的解法非常簡(jiǎn)捷，在運(yùn)算過(guò)程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)

算能力。類似的解法在許多問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)和積累。

例9：在實(shí)數(shù)圍因式分解：

2x2—4;【提不】先提取2,再用平方差公式.【答案】2〔x+JJ〕QX-^2]..卻

-2x2—3.

醺示】先將小看成整體，利用*+px+q=Cx+aJIx+bJ其中a+b=p,ab=q分解.再

用平方差公式分解X2-3.【答案】CX2+1J〔X+Q〕〔x-0〕.

.word.zl.

例10、綜合應(yīng)用:

如下圖的RsABC中，ZB=90。，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)場(chǎng)沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng);

同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)場(chǎng)沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問(wèn)：幾秒后△PBQ的面積為

35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？〔結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示〕

【專項(xiàng)訓(xùn)練】：

一、選擇題：在以下所給出的四個(gè)選擇中，只有一個(gè)是正確的。

1、y/r~\2a1成立的條件是:

A.a1B.a1C.a1D.a1

把月化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為：

2、

A.軀B,企C的D.#

那999

3、以下根式中，最簡(jiǎn)二次根式為：

C.AD.戶

A.74xB.Jx244)2

4、t<l,化簡(jiǎn)1tJt22tl得:

A.22tB.2tC.2D,0

5、以下各式中，正確的選項(xiàng)是：

A."27B.JQ720.7

C.J7272D.J0.720.7

6,以下命題中假命題是：

A.設(shè)x0,則Jx2xB.設(shè)x0,則-1

Jx2

.word.zl.

2

C.設(shè)X0,則JjiTXD.設(shè)x0,則JxTX2

7、與2#是同類根式的是：

A.炳B.372C.VT8D./75

8、以下各式中正確的選項(xiàng)是：

A.尿FpB.27325/3

C.3a4^x3a4bD.

1、化簡(jiǎn)J一一

|a24a4

.]v——廣求：5xyy2

92、.Xx-,y20X2

拓展訓(xùn)練

一、分式，平方根，絕對(duì)值；

1--（/成立的條件是

2-當(dāng)a時(shí)，叵1;當(dāng)a時(shí)，叵10

aa

3?假設(shè)辰a,那么a；假設(shè)廬巴那么a.

4?把x1J1根號(hào)外的因式移入根號(hào)，結(jié)果為o

5?把-35根號(hào)外的因式移到根號(hào)，結(jié)果為。

6.x<y,那么化簡(jiǎn)yx呼—y）2~為

b\廠、/3a+是同類二次根式，那么a=____,b=_____。

D假設(shè)Y4b與立

.word.zl.

1求母尸為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)a的值為

二、根式，絕對(duì)值的和為0；

L假設(shè)一J2b3"=0,那么嚴(yán)釜

a3

2.31i。求b2a的算術(shù)平方根。

衽AABC中，a,b,c為三角形的三邊，那么2cab=

y18x8x1I求代數(shù)式xy勺值。

7.d『-24*

&如果廣H+g+2'那么2中

三、分式的有理化

③y,x；

~+~

四、X整數(shù)局部與小數(shù)局部

1.的整數(shù)局部是,小數(shù)局部是O

4.f1,x的整數(shù)局部為a,小數(shù)局部為b,求'b?的值。

23ab

五、根式，分式的倒數(shù);

11

l.x+=4,求x-的值。

XX

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2.叵I1

3.假設(shè)X-2x+l=O,求+/的值;

六、轉(zhuǎn)換完全平方公式;

b

l.a2b24a2b50求J的值

J-k2f

3&y是實(shí)數(shù)，祗*+丫2_6丫+9=0,假設(shè)axy-3x=y,求a的值;

1、

5、0<x<l,化簡(jiǎn):[(x4—jf*)2A

J*

6、化簡(jiǎn):

1,525,22;2,,743：

yli1T

七、技巧性運(yùn)算

1.111

I22334

2、的結(jié)果是

3572n2n1

Wb那么a，

4、abbaC2abbeac的值是,

xy95：2,xy925那么xy的值是

J/百J，

6、xy5,xy,求X2xyy?的值

2

附：中考類型

1、在實(shí)數(shù)圍，X有意義，那么X的取值圍是〔〕；

A.x>0?B.x<0C.x>0

D.x<0

2、使二次根式x2有意義的x的取值圍是C〕;

A.x24"^x2C.x<2D.x>2;

3一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a,那么和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是〔〕；

.word.zl.

A.a1B.a21C.Ja21D.F1

Tj2

4、在電路中,一個(gè)電阻的阻值R和它消耗的電功率P由電功率計(jì)算公式P可得它兩端

-R-

的電壓U為〔〕；

A.UB.U

C.U產(chǎn)D.U

R

5、使代數(shù)式有意義的x的取值圍是〔

x4

A、x3;B、x>3;C、x4;D、xN3且x4;

6函數(shù)y的自變量x的取值圍是［]

A.x0B.x>2

C.x2D.x2

J2x+'J中自變量的取值圍是

函數(shù)yx〔〕

X3

A.x<2;B.x3;C.x2且x3;D.x<2fix3；

二、二次根式的運(yùn)算問(wèn)題

7、〔09市〕二次根式'（3）2的值是〔〕；

A.3B.3或3C.9D.3

8、市2021年）下面計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕；

D.C

3C.

9、（09年市以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕；

A.立立式B.立立

1C.**3**2**5D.2<〈

10、（09市計(jì)算石2的結(jié)果等于.

11、黔東南州2021年）

12、（09省計(jì)算：右￡.

.word.zl.

13、(09年襄樊市計(jì)算：JW2g.

備用題、〔09市〕計(jì)算：產(chǎn)戶.

三、二次根式與絕對(duì)值、0指數(shù)塞等的混合運(yùn)算

14、(09黔東南州方程|4x8|產(chǎn)ym0,當(dāng)y0時(shí)，m的取值圍是［〕；

A、0m1;B、m>2;C、m2;D、m<2;

15、109市〕當(dāng)x2時(shí)，代數(shù)式產(chǎn)的值是

16、109市〕計(jì)算:(1)2009

17、(09市計(jì)算：?31(71)0竽

四、二次根式與整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題：

1

18、〔09市〕先化簡(jiǎn)，再求值：(a3)(a3)a(a6),其中a5

2

19、〔09市〕：x1,y1求以下各式的值.

口〕X22xyy2;〔2〕X2y2-

20、〔09威海市〕

先化簡(jiǎn)，再求值：(ab)2(ab)(2ab)3a2,其中a23,b32.

不V

i2323

i、xly求：X23xyy珀勺值；

2V325

F77

15

2、：xjy,計(jì)算：口〕3x212xy3y2〔2〕7x232xy7y2

2名2

五、二次根式與分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題:

21'◎黔東南州】先化簡(jiǎn)，再求值：\221：:'其中*

22、(09求代數(shù)式的值：短2x*22x4，其中x22.

X24x2

3

23、〔09市〕先化簡(jiǎn)、再求值：一其中

尸a2),a33O

2a4a2

.word.zL

24、109黔東南州〕先化簡(jiǎn)，再求值：*X22x1X21,其中*/2;

"x~Zx_2"x~r7

六、二次根式的探究規(guī)律問(wèn)題：

25、我們看幾個(gè)等式：J2341=1x4+l=5;『3451=2x5+1=11;

J4561=3x6+1=19;仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一

規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜測(cè)下面的結(jié)果：

①45671=.

V

②20062007200820091=〔〕x()()；

4

③n(n1)(n2)(n3)1=.

202rl4,4分〕設(shè)2=19-1,a在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，那么這兩個(gè)整數(shù)是〔

]

A.1和2B12和3C,3和4D.4和5

〔2021,5,4分〕如果(2a1)212a,那么〔〕

A.a<14.應(yīng)C.a>1D.及1

2222

2021,14,5務(wù)〕a、b為兩不準(zhǔn)續(xù)的整數(shù)，￡a28%,那么ab.

2021江，加試1,6分〕假設(shè)m2011,那么仁2m42011m3的值是.

20121

〔202112,4分〕當(dāng)x2時(shí)，11=

—X2X

V---------

2021江，加試3,6分〕63m(n5%3m6(m3)理，那么mn.

2021涼山州，25,5分〕1a、b引有理數(shù)，m、n分另減最7的整數(shù)局部和小數(shù)局部，且

amnbn21,那么2ab

2021黃岡，3,3分〕要使式子一2有意義，那么a的取值圍為

L

以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔iw

.word.zl.

1

A.yJ-TT3B.(7i3.14()1C.2D.73

2

假設(shè)/IJ—*gx+y）2,那么x-y的值為（)(09)

(A)-l.(B)l.(C)2.(D)3.

化簡(jiǎn)