高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考點(diǎn)解析第二章 (二)

?MATHEMATICSn

第一章坐標(biāo)系

【綜合評價(jià)】

通過直角坐標(biāo)系，平面和空間中的點(diǎn)與坐標(biāo)（有序數(shù)組）、曲線與方程建立了聯(lián)

系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，這些數(shù)所表示的幾何含義是不同的，同一曲線在不同坐標(biāo)

系下的方程也有不同形式.因此我們研究幾何圖形時(shí)可以根據(jù)需要選擇不同的坐

標(biāo)系.本講介紹了極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，其中極坐標(biāo)系是重點(diǎn)內(nèi)容,

同學(xué)們要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)極坐標(biāo)系下直線和圓的方程，理解它們的特點(diǎn)、意義.

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用.

2.通過具體例子，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中

刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的

方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程

刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.

5.了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)

系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別.

【學(xué)習(xí)計(jì)劃】

內(nèi)容學(xué)習(xí)重點(diǎn)建議學(xué)習(xí)時(shí)間

坐標(biāo)系的選擇；直角坐標(biāo)系下的伸縮

平面直角坐標(biāo)系2課時(shí)

變換

極坐標(biāo)系極坐標(biāo)的概念1課時(shí)

點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1課時(shí)

直線和圓的極坐標(biāo)方程1課時(shí)

曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的

1課時(shí)

互化

圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程1課時(shí)

柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系兩種坐標(biāo)系的概念2課時(shí)

§1平面直角坐標(biāo)系

歹自主預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)區(qū)

1.坐標(biāo)系

(1)坐標(biāo)法：根據(jù)幾何對象的特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的方程,通過左

程研究它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)系.

(2)坐標(biāo)法解決幾何問題的“三步曲”：第一步，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方

程表示問題中涉及的幾何元素,將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題;第二步，通過代數(shù)

運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

2.平面直角坐標(biāo)系的作用

平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對),曲線與方程建立聯(lián)

系，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合.

3.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換

(1)平面直角坐標(biāo)系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸縮變換就可歸結(jié)為坐標(biāo)

伸縮變換，這就是用代數(shù)方法研究幾何變換.

(2)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一

7=&,2〉0,

點(diǎn)，在變換7:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P'(x',>'),稱心為

〃>0

平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.

【思維導(dǎo)圖】

【知能要點(diǎn)】

1.回顧坐標(biāo)系有關(guān)概念，體會(huì)坐標(biāo)系的作用.

2.了解建立坐標(biāo)系的方法和原則.

x'=Xx,2>0,

3.坐標(biāo)伸縮變換Q,c

〃>o.

h講練互動(dòng)課堂講練區(qū)

題型一平面直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)系是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上起過劃時(shí)代的作用.坐

標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁.利用坐標(biāo)系，我們可以方便地

用代數(shù)的方法確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置，也可以方便地確定空間內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置.

它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達(dá)，這

樣便可將抽象的代數(shù)方程用形象的幾何圖形表示出來，又可將先進(jìn)的代數(shù)方法應(yīng)

用于幾何學(xué)的研究.

建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，我們可以解決許多數(shù)學(xué)問題，如函數(shù)問題就常常需

要借助直角坐標(biāo)系來解決.

【例1】如圖所示，圓Q與圓。2的半徑都是1，1。1。2尸4,

過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓01、圓。2的切線PM、PN(M、N分別為切

點(diǎn))，使得|PM=6lPN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌㈤④

跡方程.

分析本題是解析幾何中求軌跡方程問題，由題意建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐

標(biāo)，由幾何關(guān)系式：\PM\=y{2\PN\,即|PM2=2|PN]2,結(jié)合圖形由勾股定理轉(zhuǎn)化

為|POl『—12=2(|pO2|2-]2)設(shè)尸也>),由距離公式寫出代數(shù)關(guān)系式，化簡整理

可得.

解以0。2的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，。1。2所在的直線為龍軸，建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，則。](—2,0),仍(2,0).

由已知|「知|=啦1尸2，得|PM『=2|PN|2.『

因?yàn)閮蓤A的半徑均為1,所以|「。『一1=2(|「。2『一1).

設(shè)P(x,y),則。+2)2+/—1=2[。-2)2+丫2—1],有口益,

即(x—6)2+y2=33,

所以所求軌跡方程為(x—6尸+：/=33(或f+y2—]2X+3=0).

【反思感悟】本題求點(diǎn)的軌跡，考查建坐標(biāo)系和數(shù)形結(jié)合思想，利用勾股定理、

兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，巧妙探求動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件.

X，變式遷移

1.一種作圖工具如圖①所示.0是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿0N可繞0轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿

通過N處錢鏈與0N連接，MN上的栓子?？裳鼗跘3滑動(dòng)，且DN=ON=1,

MN=3.當(dāng)栓子。在滑槽4?內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞。轉(zhuǎn)動(dòng)一周(。不動(dòng)時(shí)，

N也不動(dòng))，M處的筆尖畫出的曲線記為C以。為原點(diǎn)，A3所在的直線為無軸建

立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系.

試求曲線。的方程.

y),依題意，MD=2DN,且|而=

解設(shè)點(diǎn)。(30)(MW2),N(即，y0),M(x,

的=1,

所以(f—x,—y)=2(x()—t,非)，

J(x()—力2+yo=h

且L+M=L

[t-x—2xo-23

即J且〃L2M))=0.

ly=-2y(),

由于當(dāng)點(diǎn)。不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，所以，不恒等于0,

于是f=2xo，故xo=本光=一].代入/+*=1,

2222

可得髭+；=1，即所求的曲線。的方程為髭+；=】.

【例2】如圖所示，四邊形ABCO的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(—l,3),僅一3,-2),C(4,-2),。(3,4),求四邊形

ABCD的面積.

分析本例是幫助同學(xué)們進(jìn)一步了解點(diǎn)的坐標(biāo).點(diǎn)的坐標(biāo)還可

以表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離(點(diǎn)A(a,b)到x軸的距離為|可，到y(tǒng)軸的距離為同)，從

而得出某些我們需栗的線段的長度.

將四邊形A8C0分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形，其中8E的長度等于B到y(tǒng)軸的

距離減去A到y(tǒng)軸的距離，AE的長度為A到x軸的距離加上8到x軸的距離，

依此類推可以求出。F,CF,EF的長度,從而求出四邊形ABCO的面積.

解作A—BC,WU8C.垂足分別為E、F.S^ABE=^BEAE=

2X5CFDF1X6

25；SACDF223；

(AE+DF)EF

S梯形AEFD=O

(5+6)X4

=22,

所以四邊形ABC。的面積為5+22+3=30.

【反思感悟】本例是坐標(biāo)系在幾何圖形中的應(yīng)用，在求面積時(shí)要盡量利用圖形中

的垂直關(guān)系，將原圖形分割求得面積.

”變式遷移

2.一直角梯形的上、下底邊分別為12和15,兩腰分別為3小和6,選擇適當(dāng)?shù)淖?/p>

標(biāo)系，表示各頂點(diǎn)坐標(biāo)及較短對角線的長.

解如圖所示，以。為原點(diǎn)，CO邊所在直線為x軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，

則A(0,35)，B(12,3小)，C(15,0),0(0,0),

\BD\=3\[l9.

題型二坐標(biāo)伸縮變換

平面幾何圖形的伸縮變換可以歸結(jié)為坐標(biāo)的伸縮變換，學(xué)習(xí)中可結(jié)合坐標(biāo)間的對

應(yīng)關(guān)系理解.在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系保持不變，在同一坐標(biāo)系下對坐標(biāo)

進(jìn)行伸縮變換，展示了坐標(biāo)法思想.

在伸縮變換下，直線仍然變?yōu)橹本€，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p曲線，而

橢圓可以變?yōu)閳A，圓可以變?yōu)闄E圓.

【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換

后的圖形.

(l)5x+2y=0；(2)Z+/=1.

分析根據(jù)變換公式，分清新舊坐標(biāo)即可.

卜=那，(x=2x,,

解(1)由伸縮變換〈.得彳，，

將其代入5x+2y=0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5y+3/=0.

經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線.

⑵將1代入*+y2=l,

]=3y

/儼

得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是T+T=l.

49

經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓.

【反思感悟】伸縮變換栗分清新舊坐標(biāo)，直接利用公式即可，變換后的新坐標(biāo)用

x',y'表示.

經(jīng)變式遷移

X'=X,V’2

3.伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為，，曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓/+七=1.求曲

[y'=4y.16

線C的方程.

解設(shè)P(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn).

把｛1I；代入/+冬=1，得f+y2=i.故曲線0的方程為f+Jn.

【例4】求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線4f+9y2=36變成曲線/+y，2

=1.

分析求滿足圖形變換的伸縮變換，實(shí)際上是求出其變換公式，將新舊坐標(biāo)分

清，代入對應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)就可得了，橢圓伸縮變換之后可得圓或

橢圓.

￡=忒2>o

解設(shè)變換為，’’;可將其代入第二個(gè)方程，

[y=〃y,〃>0,

得下》2+〃2,2=L與4*+9/=36比較，

49I】卜'4'

將其變?yōu)榄h(huán)2+荻2=],即§/+*2=],比較系數(shù)得J1/.<]

、[〃=，?[y-^

即將橢圓4f+9y2=36上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，可

得到圓%,2+y2=i.

【反思感悟】對于圖形的伸縮變換問題，只要搞清新舊坐標(biāo)，區(qū)別x,y和x',

y,比較公式中的系數(shù)即可.

M變式遷移

4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線d—36y2—8x+12=0變成曲線一一了2一44

+3=0,求滿足圖像變化的伸縮變換.

解x2—36y2—8x+12=0可化為

浮%9尸].①

一一y2—4/+3=0可化為

(y-2)2-y2=i.(2)

比較①②兩式得尸一2=虧3,y=3y.故所求伸縮變換為："一中'

一j'=3y.

h課堂達(dá)標(biāo):當(dāng)堂達(dá)標(biāo)區(qū)

1.已知一條長為6的線段兩端點(diǎn)A、8分別在x、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段A8上,

且AM：MB=\：2,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

解(代入法)設(shè)A(a,0),B(0,b),M(x,y),

'：\AB\=6,.?./+/=36.①

n+^XO2

x=j=

1+2f_3

〃分4?的比為;2②

b=3y.

22

將②式代入①式，化簡為念+3=1.

2.已知8村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過8村沿著北偏東60。的方

向埋設(shè)一條地下管線帆但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.

根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū).試問：

埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃需要修改嗎？

解解決這一問題的關(guān)鍵，在于確定遺址W與地下管線機(jī)的相對位置，如圖所

示，

y

一

BAx

以A為原點(diǎn)，正東方向和正北方向分別為x軸和y軸的正方向，建立平面直角坐

標(biāo)系，則A(0,0),B(-l000,0).由W位于A的西北方向及[AW]=400,得W(一

200vL20以尼)，由直線機(jī)過8點(diǎn)且傾斜角為90。-60。=30。，得直線機(jī)的方程

口r.RH小士心U-20072-73-20072+1000|

是x—000=0.于是，點(diǎn)W到直線機(jī)的距禺為---------2--------

=100(5-72-^6)^113.6>100,

所以，埋設(shè)地下管線〃，的計(jì)劃可以不修改.

3.闡述由曲線y=tanx得到曲線y=3tan2x的變化過程，并求出坐標(biāo)伸縮變換.

解y=tanx的圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;，得到y(tǒng)=tan2x,

再將其縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，橫坐標(biāo)不變，得到曲線y=3tan2x.

x>0,

設(shè)y'=3tan2x',變換公式為彳

ly=〃y,〃>0.

\X'--X

將其代入y'=3tan2x彳導(dǎo)22

幺=3,ly'=3y.

h教材鏈接J釋疑解惑區(qū)

[P2思考交流]

1.在平面直角坐標(biāo)系中，圓心坐標(biāo)為(2,3),5為半徑的圓的方程是什么？

答(x—2)2+&-3)2=25.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，以(a,加為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？

答(x—a)2+(y—b)2=i2.

[P5思考交流]

我國1990年至2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值如表1-2(單位：億元)

表1一2

年份19941995199619971998

生產(chǎn)總值4380057733677957477279553

年份19992000200120022003

生產(chǎn)總值820548940495933102398116694

選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)表1-2畫出統(tǒng)計(jì)圖，與同學(xué)交流，觀察各自的

特點(diǎn).

答統(tǒng)計(jì)圖

100000?

90000

80000.,

70000.,

60000

50000,

40000,

----：_dfII,'III：a

1994199519961997199819992000200120022003

從表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可看到，我國的生產(chǎn)總值年年增長，1994?1997年增長較快，

1997~2001年放慢了增長速度，2001年之后又以較快的速度增長.

[P6思考交流]

1.觀察例3(2)中y=sinx的圖像與(1)中y=2sin3光的圖像，討論它們的關(guān)系？

答y=sinx的圖像和y=2sin3x的圖像可以通過伸縮變換相互得到：

縱坐標(biāo)不變

y=sin元的圖像得y=sin3x的圖像

橫坐標(biāo)縮短為原來的]

橫坐標(biāo)不變

------------------->■得>'=2sin3x的圖像，

縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍

橫坐標(biāo)不變

y=2sin3x的圖像----三Y——j導(dǎo)^=4113光的圖

縱坐標(biāo)縮短為原來的5

縱坐標(biāo)不變

像得^=§布》的圖像

.橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍

2.試將上述討論引申為坐標(biāo)軸單位長度任意伸縮的情況.

答設(shè)函數(shù)y=/（x）與函數(shù)y="/（（ux）（其中to>0,〃>0）圖像之間的關(guān)系為：

縱坐標(biāo)不變.橫坐標(biāo)縮短為原來的工得到

co

V=/（‘?）的圖像<、V

*■'縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍得到」

一向小橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的〃倍

=J的圖像L一一一一一一_

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的-L得到

y=〃/（（yx）的圖像.

它們的圖像可以通過伸縮變換相互得到.

【規(guī)律方法總結(jié)】

1.建立平面直角坐標(biāo)系，可以利用未知點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)形式，求點(diǎn)的軌跡方程.

2.利用平面直角坐標(biāo)系，可以將平面圖形坐標(biāo)化，進(jìn)行證明或計(jì)算.

3.在伸縮變換中，要分清新舊坐標(biāo)，然后代入公式比較系數(shù)即可.

x'=Xx（A>0），

4.在伸縮變換，,、,、、的作用下，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p

[y=fiy（〃>0）

曲線，圓可以變?yōu)闄E圓，橢圓可以變成圓，我們可以把圓作為橢圓的特例.

h課時(shí)作業(yè)i課后鞏固區(qū)

一、選擇題

loABCD中三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（一1,2）、（3,0）、（5,1）,則點(diǎn)。

的坐標(biāo)是（）

A.(9,-1)B.(-3,1)

C.(l,3)D.(2,2)

解析由平行四邊形對邊互相平行，即斜率相等，可求出。點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)。(x,y),

2-0y-l

=

，出產(chǎn)Me,—-l-3x-5*

則J,即j

RAD——匕灰?，2-y0-1

-l-x=3-5'

x=1,

.，故。(1,3).

U=3.

答案C

2.要得到函數(shù)產(chǎn)sin(4x—2的圖像，只需將函數(shù)y=sin4x的圖像()

A.向左平移盍個(gè)單位B.向右平移自個(gè)單位

C.向左平移g個(gè)單位D.向右平移5個(gè)單位

解析由尸514龍一號)=5m4，一缶得，只需將尸sin4x的圖像向右平移盍個(gè)

單位即可，故選B.

答案B

x'=5x,.

3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換，.后，曲線C變?yōu)榍€/十

ly'=3y

4y2=1,則曲線c的方程為()

A.25?+36J2=1B.9f+100)2=1

C.10x+24y=1D.^x2+|y2=l

jx，=5x

解析將，廠代入/+4/=1,

ly=3y

得25/+36/=1,為所求曲線C的方程.

答案A

4.將一個(gè)圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是()

A.橢圓B.比原來大的圓

C.比原來小的圓D.雙曲線

解析設(shè)圓的方程為(x—a)2+(y一份2=凡

X'=AJC,X=~^X',

變換為《,'化為〈[(A,〃不為零).

【尸⑷,、，—L，

pC^-xa)*2+/(y—〃份2=M,

.(/一瓶)2工(y，一面)2

；，一(Ar)2+(〃〃)21.此方程不可能是雙曲線.

答案D

二、填空題

5.4ABC中，8(—2,0),C(2,0),△ABC的周長為10,則A點(diǎn)的軌跡方程為

解析?.?△ABC的周長為10,

：.\AB\+\AC\+|5C]=10.其中|BC|=4,

即有|AB|+|AC|=6>4.

...A點(diǎn)軌跡為橢圓除去長軸兩端點(diǎn)，

且2a=6,2c=4...a=3,c=2,b1=5.

r2v2

；.A點(diǎn)的軌跡方程為甘+左=1&W0).

答案■+方=1(y*。)

—2%

6.在平面直角坐標(biāo)系中，方程f+y2=l所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換一‘后

U=3y

的圖形所對應(yīng)的方程是.

解析代入公式，比較可得Yx'2+tv='2l.

答案￥+號=1

x，—2_丫

7.y=cosx經(jīng)過伸縮變換1,=3y'后曲線方程變?yōu)?

fx—

X,=2JC,

解析由I尸刀，化為<1,

〔尸y

iii

代入y=cosx中得:鏟=cos產(chǎn)，即：V=3cos

答案y'=3cos%'

8.臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地

區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市3在A地正東40km處，則城市3處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為

________h.

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為x軸，建立平面直角坐[

標(biāo)系，則8(40,0),以點(diǎn)5為圓心，30為半徑的圓的方程為(x

-40)2+/=302,臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到圓8內(nèi)時(shí)，城市8處于危險(xiǎn)

區(qū)，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的軌跡為直線y=x,與圓5相交于點(diǎn)N,點(diǎn)3到直線y=x

的距離J=^=20V2.

求得|MN|=2y3()2=20(km),

故甯=1,所以城市8處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為1h.

答案1

三'解答題

9.已知Q48CD,求證：|Aq2+|BD|2=2(|/lB|2+|/lD|2).

證明法一坐標(biāo)法以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。，所在的直線為x軸，建立平面直角

坐標(biāo)系xOy,

則A(0,0),設(shè)8(a,0),C(b,c),

則AC的中點(diǎn)或，品由對稱性知。9一小c),所以|AB|2=\

、)D(b-afc)C(b,c)

ay|/4D|2=(/?—a)2+c2,1/^^^

|4。|2=從+。2,國徐B^O)—x

|BD|2=(Z>-2a)2+c2,

IAb+1明2=4,+2b2+2cz_4ab

—2(2?2+/?2+c2—■2ab),

\ABr+|A￡>|2=2a2+/,2+c2-lab,

Z.|AQ2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).

法二向量法在口ABC。中，AC=AB+AD,

兩邊平方得|=恁『=牯2+疝2+2b.疝，

同理得防2=1防『=或2+交+2放.反:，

以上兩式相加，得

|AC|2+防F=2(麗2+曲2)+2BC-(AB+BA)

=2(|AB|2+|Ab|2),

即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AO『).

(x—1)2

10.通過平面直角坐標(biāo)系中的平移變換與伸縮變換，可以把橢圓一—+

(g2)：=1變?yōu)橹行脑谠c(diǎn)的單位圓,求上述平移變換與伸縮變換，以及這兩

種變換的合成變換.

\x'=X—\,(x—1)2(y+2)2x，2

解先通過平移變換，一把橢圓一^一十-4一=1變?yōu)闄E圓號+

[y'=x+2949

(x'

Yn——

V，2X.3，Y，2V，2

寧=1.再通過伸縮變換J,,把橢圓勺+==1變?yōu)閱挝粓A一+y"2=].由上

1T

述兩種變換合成的變換是

y+27\

F習(xí)題解答J規(guī)范對照區(qū)

習(xí)題1一1(第7頁)

A組

1.由兩點(diǎn)式寫直線的方程為35x+36y—41=0.

2.直線]+；=—2與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的斜率分別為(-12,0)、(0,

3.解△ABC是以NA為直角的直角三角形，且平行于x軸，AC平行于y軸.

的平分線的斜率為1,所在直線方程為x—y+l=O.

BC所在直線的方程為4x+3y—29=0,

f26

x—y+l=O,產(chǎn)r=-7'

解｛標(biāo)+3)-29=0,得])=鄴

ZA的平分線的長為嚶.

4.解法一由兩點(diǎn)式寫出直線A3的方程為3x+y—6=0.

將點(diǎn)C(4,—6)代入方程3X4+(—6)—6=0,

點(diǎn)C在直線A8上，

...A、B、C在同一條直線上.

法二kAB=-3,kisc=-3

...A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上.

5.解與x軸交點(diǎn)令y=0,2x-10=0,x=5,

與y軸交點(diǎn)令x=0,-5y一10=0,y=~2,

SA=1X5X2=5.

6.證明如圖：矩形0A8C.設(shè)OA=a,OC=h,以。為原點(diǎn)建立如

C-----\B

圖所示的直角坐標(biāo)系.I____

_Ax

則0、A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,0),3，0),伍，b),(0,b)\OB\1

=-\]c^+b2,

\AC\=1層+(—a)2=y“2+82,

：.\OB\=\AC\.

結(jié)論得證.

7.解(1)設(shè)圓的方程為(x—a)2+y2=J

(―1—a)2+1=^,

代入C、。兩點(diǎn)得

(1—a)2+9=/，

解得a=2,r=y[lQ,

二方程為(x—2)2+y2=io

(2)設(shè)圓心為(0,b)m

則5=|/?-6|,8=1或11,

方程為*+&-1)2=25或？+(y—11)2=25.

(3)設(shè)方程為(X—3—/2=

?.?過A、3兩點(diǎn),圓心在2元一＞=3上,

((5—)2+(2—。)2=/,

(3-a)2+(—2—8)2=，，

[2〃一b=3.

解得a=2,b=l,r=yflO.

...方程為(x—2)2+。-1)2=10.

（4）設(shè)圓方程為（龍一。尸+^—。）2=/,

"(3—a)2+(2—b)2=r2,

/?=2。，

由題意可得〈c-Q

|2〃一b+5|

J3+4，

二圓的方程為（》-2）2+&-4）2=5或C[+/一=5，

圖略.

8.解以底邊中點(diǎn)為原點(diǎn)，底邊所在直線為九軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)△ABC,

底邊8C=8,高為AO=5,

則5(-4,0),C(4,0),0(0,0),A(0,5),

設(shè)圓的方程為(x—af+Cy—b)2=J

((—4—4)2+川=J,

22

則｛(4-a)+b=^9

la2+(5-b)2=J,

/94i2

得“=0,b=正/=而

...圓方程為幺+/一卷?_1681

=100'

9.解川為|+恒2川=2+14=16=2小。=8,

Fi(-6,0),尸2(6,0),c=6,.?.層=28.

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為言+&=L

10.解(1)由題意知〃2=8,=5,

22

橢圓方程為^'+^=1.

oJ

⑵由題意知a=3Z?

b=l,橢圓方程：方-+￡=1；

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)?=3,

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)b=3,a=9,橢圓方程:

（3）由題意知。=24，

92

設(shè)橢圓方程為/十5=1,P（小，一加）在橢圓上.

解得d=20,廿=8,

22

橢圓方程為言+}=1.

11.略

B組

1.證明?圓直徑的端點(diǎn)是A（x”>1）,8（X2,）2）

圓心坐標(biāo)為第色中，

半徑為三三亙妥五三

...圓的方程為Q—空f+Q—空2

（即一檢）？+（）'1一）'2）2

—4'

2ZI.I（汨十》2）\2、」（6+>2）2

九一只九1十X2）十4+y一〉。1+”）+4

(X|—X2)2+2

4

2

2_z,(Xl+X2)2(XL.=)：2_,z,i,x,,<yi+.V2)

xx(%i-iX2)?44+)y(y\'y2)I4

(丁|—>2)2「

4=°，

x2—x(xi+x2)+xi》2+y2-y(yi+竺)+%竺=0，

—

(%—%i)(x—x2)+(y-yi)Cvy2)=0,

，圓的方程為(X—X1)(X—X2)+Cv—y)(y—m)=0.

[(x-3)2+(廠5)2=4,

x-1f+(廠5)

2=1

得x-1=0，

直線方程為x—1=0.

3.解以地球球心與距地最近點(diǎn)所在直線為x軸，以最近點(diǎn)與最遠(yuǎn)點(diǎn)的中點(diǎn)為原

點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

貝U2。=6636+8196=14832,a=7416,?2=54997056,

c=8196-7416=780,，/=54388656.

22

???橢圓方程為豆蘇演+54388656=L

§2極坐標(biāo)系

2.1極坐標(biāo)系的概念

2.2點(diǎn)的極生標(biāo)與直角生標(biāo)的互化

守自主預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)區(qū)

1.極坐標(biāo)系的概念,

(1)極坐標(biāo)系的建立：如圖在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)。，叫作極點(diǎn),

從。點(diǎn)引一條射線Ox,叫作極軸,選定一個(gè)單位長度和角的0時(shí)節(jié)公Wk；

正方向(通常取逆時(shí)針方向).這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系,簡稱為極坐標(biāo)系.

(2)極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,用。表示線段OM

的長,。表示以O(shè)x為始邊、0M為終邊的角度,。叫作點(diǎn)M的極徑,8叫作點(diǎn)M

的極角,有序?qū)崝?shù)對(p,叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作MS，0).

當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑閆b極角?？梢匀∪我庵?

2.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

(1)互化的前提條件：①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系

中的原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位.

02=f+y2,

x=〃cos仇

(2)互化公式：，

y=〃sin夕；tan3=^(xWO)

------x--------

【思維導(dǎo)圖】

直角坐標(biāo)系*點(diǎn)f坐標(biāo)

八互化

極坐標(biāo)系*點(diǎn)極坐標(biāo)

【知能要點(diǎn)】

1.極坐標(biāo)系的四要素.

2.點(diǎn)的極坐標(biāo)的寫法.

3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

守講練互動(dòng)!課堂講練區(qū)

題型一極坐標(biāo)系的概念與點(diǎn)的極坐標(biāo)

1.極坐標(biāo)系的概念

極坐標(biāo)系的建立有四個(gè)要素：①極點(diǎn)；②極軸；③單位長度；④角度單位和它的

正方向.四者缺一不可.

極坐標(biāo)系就是用長度和角度來確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置.

2.點(diǎn)的極坐標(biāo)

每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對S，。)確定一個(gè)點(diǎn)的位置.其中，p是點(diǎn)M的極徑，。是點(diǎn)M的

極角.

平面上給定一點(diǎn)，可以寫出這個(gè)點(diǎn)的無數(shù)多個(gè)極坐標(biāo).根據(jù)點(diǎn)的極坐標(biāo)S，。)的定

義，對于給定的點(diǎn)S，。)有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)，可分為兩類，一類為S，。+2E)

(Aez),另一類為(一/),。+2左兀+兀)(AeZ).

在極坐標(biāo)S，。)中，一般限定02。.當(dāng)〃=0時(shí)，就與極點(diǎn)重合，此時(shí)。不確定.給

定點(diǎn)的極坐標(biāo)S，陰，就唯一地確定了平面上的一個(gè)點(diǎn).但是，平面上的一個(gè)點(diǎn)的

極坐標(biāo)并不是唯一的，它有無窮多種形式.由此可見，平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)

不是一一對應(yīng)關(guān)系.這是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同之處.如果限定2>o,0或。<2兀，

則除極點(diǎn)外，平面上的點(diǎn)就與它的極坐標(biāo)構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系.

【例1】寫出圖中A、B、C、。、E、F、G各點(diǎn)的極坐標(biāo)（p〉0,0或82兀）.

解對每個(gè)點(diǎn)我們先看它的極徑的長，再確定它的極角，因此這些點(diǎn)的極坐標(biāo)為

A（7,1）,8（4,竽）,《5,卷）d6,華）,E（9,0）,F（3,n）,《9,劣.

【反思感悟】（1）寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑"在前，極角。在后，不能把

順序搞錯(cuò)了.

（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)是不唯一的，但若限制p>0,0^e<2n,則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)

是唯一確定的.

N,變式遷移

1.寫出下列各點(diǎn)的極坐標(biāo).

【例2】在極坐標(biāo)系中，作出下列各點(diǎn):

A(2,野，B(6,-120°),C(L哥，O(4,一竽)，E(4,0),F(2.5,180°).

解各點(diǎn)描點(diǎn)如圖所示.

【反思感悟】知道點(diǎn)的極坐標(biāo)S，。)，我們可以先根據(jù)極角。確定方向(射線),

然后根據(jù)0來確定距離，進(jìn)而描出s，。)的對應(yīng)點(diǎn).

紿變式遷移

2.在極坐標(biāo)系中，寫出點(diǎn)A,B,C的極坐標(biāo)，并標(biāo)出點(diǎn)。(3,春，44,引，

F(2,離所在的位置.

解由圖可得點(diǎn)A,

77r2L5TT

12212

5TTIT

6

UTTTT

12n

TTx

131T23n

1212

7ITIlir

守

7ir6

57r

47r

T

171T37T191T

12~212

點(diǎn)。，E,E的位置如上圖所示.

【例3】在極坐標(biāo)中，若等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A（2,胃，02,苧），那么頂

點(diǎn)C的坐標(biāo)可能是（）

C.（2小，Ji）D.（3,兀）

解析如圖所示，由題設(shè)可知4、8兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)0對稱，

即。是AB的中點(diǎn).

又|AB|=4,△ABC為正三角形，10cl=2小，ZAOC=^,C

對應(yīng)的極角空或夕=卜，=一?，即c點(diǎn)極坐標(biāo)為卜小，第或

乙*1*14\/

答案B

【反思感悟】在找點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，把圖形畫出來，可以幫助我們解決問題，從圖

形中很容易找到極角和極徑.這一點(diǎn)跟直角坐標(biāo)系中的方法是一致的，數(shù)形結(jié)合.

紿變式遷移

3.點(diǎn)M的極坐標(biāo)是（一2,一看它關(guān)于直線6=］的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）

B-（-2,芝|

解析當(dāng)"<0時(shí)，我們找它的極角應(yīng)按反向延長線上去找.描廿a丹

M-2,烹）力，（2,方

點(diǎn)（-2,一方時(shí)，先找到角一的終邊.又因?yàn)閼?-2<0,所\唔一

以再沿反向延長線上找到離極點(diǎn)2個(gè)單位的點(diǎn)即是點(diǎn)（一2,

直線。=看就是由極角為方的那些點(diǎn)的集合.

故從一2,關(guān)于直線8專的對稱點(diǎn)為M（2,款但是選擇支沒有這樣的坐

標(biāo).

又因?yàn)镸（2,野的坐標(biāo)還可以寫成2,高，故選B.

答案B

題型二兩點(diǎn)間的距離公式

一般地，設(shè)A3,仇），B（p2,02）,由余弦定理可得到兩點(diǎn)間的距離公式|AB|=

1屆+/—2cos（仇一。2）?

【例4】已知A、8兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是（2,哥，（4,引，求A、8兩點(diǎn)間的距

離和△A08的面積.

解求兩點(diǎn)間的距離可用如下公式：

S/、A0B=gbi"2sin（仇一。2）|=；2X4Xsin（^y-^|=^X2X4=4.

【反思感悟】求兩點(diǎn)間距離可以直接套用公式，求三角形面積時(shí)可以結(jié)合公式S

=y-absin。考慮.

獷變式遷移

4.若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（5,乳

,判定△ABC的形狀.

解/25+64—2X8X5cos^=^/49=7,

^9+64—2X8X3Xcos^=7,

BC=

4兀

AC=25+9-2-3-5cosy=7,

...△ABC為等邊三角形.

題型三極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

我們把極軸與平面直角坐標(biāo)系xOy的正半軸重合，且兩種坐標(biāo)

系取相同的長度單位，設(shè)P(x,y)是平面上的任一點(diǎn)，如圖所

x-pcos0,

示，則.°①

j=psin0.

p=ylx2+y2,

從①可得V②

tan0—(x#0)

龍

①與②是平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系中同一點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)與極坐標(biāo)S，8)

之間的換算公式.

【例5】(1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)(一5,令)化成直角坐標(biāo);

(2)把點(diǎn)N的直角坐標(biāo)(一小，一1)化成極坐標(biāo).

解(l)x=-5cos^=—2>/3?y=-5sin^=—

.?.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(一|\「，-j).

(2)p(-A/3)2+(—1)2=2,tan6=3-

7

又?.?點(diǎn)N在第三象限，"〉0....最小正角0=^7i.

故點(diǎn)N的極坐標(biāo)是(2,看，

【反思感悟】把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，直接代入公式即可；把直角坐標(biāo)化為極坐

標(biāo)，通常有不同的表示法(極角相差2兀的整數(shù)倍)，一般只要取8G[0,2K),p>0

即可.

紿變式遷移

5.若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(4,引，求它的直角坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)8和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2,-2)和(0,-15),求它們的極坐標(biāo)e>0,

0??！?兀)

解⑴x=4co爵=2,y=4sin,=-24.

???直角坐標(biāo)為(2,一2小).

____—2\F52、歷7兀

⑵0=、4+4=2啦,sind=2啦=—2，仇=2蛆=2，，仇=了，

.?.(2,-2)的極坐標(biāo)為(26，引，

P2=15,sin&=-1，cos。2=°，

.\^2=y,.,.(0,—15)的極坐標(biāo)為(15,

尹課堂達(dá)標(biāo)j當(dāng)堂達(dá)標(biāo)區(qū)____________________________________________________________________

1.在極軸上與點(diǎn)(4蛆，3的距離為5的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(P，0),則

y^p2+(4A/2)2—2X4-\/2pcos^=5.

即p2-8p+7=0,解得p=l或〃=7....所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0).

答案(1,0)或(7,0)

2.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(—3,35B(3y[3,3).

將A、B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).

解直接根據(jù)互化公式，可得A的極坐標(biāo)為(6,|兀)，

B的極坐標(biāo)為(6,點(diǎn)).

3.某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖所示.

北

----東

用點(diǎn)。、A、B、C、。、E、產(chǎn)分別表示校門，器材室，公寓，教學(xué)樓，圖書館,

車庫，花園，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo).(限定0W*2兀且

極點(diǎn)為(0,0))

解以點(diǎn)。為極點(diǎn)，。4所在的射線為極軸。式單位長度為1m）,建立極坐標(biāo)

系，如圖所示.

由QB|=600m,NAO3=30°,ZOAB=90°,得|A8|=300m,\OA\=30（h[3m,

同樣求得|。。|=2|0月=300\&,所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為0（0,0）,A（300\「，

0）,?600,即，C[300,電，。（30所，彳），￡（300,兀），/^150^2,?）.

4.已知點(diǎn)Q（p，，），分別按下列條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo).

（1）點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)；

⑵點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線的對稱點(diǎn).

解（1）由于尸、。關(guān)于極點(diǎn)對稱，得它們的極徑|OP|=QQ,極角相差（2Z+

1）兀伏GZ）.所以，點(diǎn)尸的極坐標(biāo)為S，（2左+1）兀+。）或（一"，2E+0）伙@Z）.

TT

（2）由尸、。關(guān)于直線。=]對稱，得它們的極徑|OP|=|OQ|,點(diǎn)P的極角夕滿足夕

=兀-6+2E（左GZ）,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為S，（2左+1）兀一。）或（一p,2kn-ff）（kGZ）.

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[Pio練習(xí)]

在極坐標(biāo)中，點(diǎn)S，。）與點(diǎn)（一"，兀一。）有什么關(guān)系？

答關(guān)于極軸對稱.

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為S，。），為直觀，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以x軸的正

方向與極軸建立直角坐標(biāo)系，不難看出與M點(diǎn)關(guān)于y軸對稱

的點(diǎn)M\的坐標(biāo)為（p，兀一。）

M關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)知2的坐標(biāo)為（一"，代一6）

則也與M關(guān)于極軸對稱，如圖所示.

【規(guī)律方法總結(jié)】

1.建立極坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)的位置和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無

數(shù)種表示.規(guī)定2>o,0W，<2兀，則除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)一一對應(yīng).

2.利用極坐標(biāo)可以刻畫點(diǎn)的位置，有時(shí)比直角坐標(biāo)方便，在臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)、測量、航

空、航海中主要采用這種方法.

3.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并且取相同的長度單位，

平面內(nèi)一點(diǎn)的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)可以進(jìn)行互化.

課時(shí)作業(yè)J課后鞏固區(qū)

一、選擇題

1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（一啦，啦），那么它的極坐標(biāo)可表示為（）

A.（2,B（2,中）C.（2,y）