高考數(shù)學重點考點解析第二章 (二)

?MATHEMATICSn

第一章坐標系

【綜合評價】

通過直角坐標系，平面和空間中的點與坐標（有序數(shù)組）、曲線與方程建立了聯(lián)

系，實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，這些數(shù)所表示的幾何含義是不同的，同一曲線在不同坐標

系下的方程也有不同形式.因此我們研究幾何圖形時可以根據(jù)需要選擇不同的坐

標系.本講介紹了極坐標系、柱坐標系和球坐標系，其中極坐標系是重點內(nèi)容,

同學們要認真領(lǐng)會極坐標系下直線和圓的方程，理解它們的特點、意義.

【學習目標】

1.回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用.

2.通過具體例子，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中

刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.

4.能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的

方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程

刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義.

5.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法，并與空間直角坐標

系中刻畫點的位置的方法相比較，體會它們的區(qū)別.

【學習計劃】

內(nèi)容學習重點建議學習時間

坐標系的選擇；直角坐標系下的伸縮

平面直角坐標系2課時

變換

極坐標系極坐標的概念1課時

點的極坐標與直角坐標的互化1課時

直線和圓的極坐標方程1課時

曲線的極坐標方程與直角坐標方程的

1課時

互化

圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程1課時

柱坐標系和球坐標系兩種坐標系的概念2課時

§1平面直角坐標系

歹自主預習課前預習區(qū)

1.坐標系

(1)坐標法：根據(jù)幾何對象的特征,選擇適當?shù)淖鴺讼担⑺姆匠?通過左

程研究它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)系.

(2)坐標法解決幾何問題的“三步曲”：第一步，建立適當坐標系，用坐標和方

程表示問題中涉及的幾何元素,將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題;第二步，通過代數(shù)

運算，解決代數(shù)問題；第三步，把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

2.平面直角坐標系的作用

平面直角坐標系的作用：使平面上的點與坐標(有序?qū)崝?shù)對),曲線與方程建立聯(lián)

系，從而實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合.

3.平面直角坐標系中的伸縮變換

(1)平面直角坐標系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸縮變換就可歸結(jié)為坐標

伸縮變換，這就是用代數(shù)方法研究幾何變換.

(2)平面直角坐標系中的坐標伸縮變換：設點P(x,y)是平面直角坐標系中任意一

7=&,2〉0,

點，在變換7:的作用下,點P(x,y)對應到點P'(x',>'),稱心為

〃>0

平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.

【思維導圖】

【知能要點】

1.回顧坐標系有關(guān)概念，體會坐標系的作用.

2.了解建立坐標系的方法和原則.

x'=Xx,2>0,

3.坐標伸縮變換Q,c

〃>o.

h講練互動課堂講練區(qū)

題型一平面直角坐標系

坐標系是現(xiàn)代數(shù)學中的重要內(nèi)容，它在數(shù)學發(fā)展的歷史上起過劃時代的作用.坐

標系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁.利用坐標系，我們可以方便地

用代數(shù)的方法確定平面內(nèi)一個點的位置，也可以方便地確定空間內(nèi)一個點的位置.

它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達，這

樣便可將抽象的代數(shù)方程用形象的幾何圖形表示出來，又可將先進的代數(shù)方法應

用于幾何學的研究.

建立直角坐標系，數(shù)形結(jié)合，我們可以解決許多數(shù)學問題，如函數(shù)問題就常常需

要借助直角坐標系來解決.

【例1】如圖所示，圓Q與圓。2的半徑都是1，1。1。2尸4,

過動點P分別作圓01、圓。2的切線PM、PN(M、N分別為切

點)，使得|PM=6lPN，試建立適當?shù)淖鴺讼?，求動點P的軌㈤④

跡方程.

分析本題是解析幾何中求軌跡方程問題，由題意建立坐標系，寫出相關(guān)點的坐

標，由幾何關(guān)系式：\PM\=y{2\PN\,即|PM2=2|PN]2,結(jié)合圖形由勾股定理轉(zhuǎn)化

為|POl『—12=2(|pO2|2-]2)設尸也>),由距離公式寫出代數(shù)關(guān)系式，化簡整理

可得.

解以0。2的中點。為原點，。1。2所在的直線為龍軸，建立如圖所示的平面直

角坐標系，則。](—2,0),仍(2,0).

由已知|「知|=啦1尸2，得|PM『=2|PN|2.『

因為兩圓的半徑均為1,所以|「?！阂?=2(|「。2『一1).

設P(x,y),則。+2)2+/—1=2[。-2)2+丫2—1],有口益,

即(x—6)2+y2=33,

所以所求軌跡方程為(x—6尸+：/=33(或f+y2—]2X+3=0).

【反思感悟】本題求點的軌跡，考查建坐標系和數(shù)形結(jié)合思想，利用勾股定理、

兩點間距離公式等知識，巧妙探求動點P滿足的條件.

X，變式遷移

1.一種作圖工具如圖①所示.0是滑槽AB的中點，短桿0N可繞0轉(zhuǎn)動，長桿

通過N處錢鏈與0N連接，MN上的栓子?？裳鼗跘3滑動，且DN=ON=1,

MN=3.當栓子。在滑槽4?內(nèi)作往復運動時，帶動N繞。轉(zhuǎn)動一周(。不動時，

N也不動)，M處的筆尖畫出的曲線記為C以。為原點，A3所在的直線為無軸建

立如圖②所示的平面直角坐標系.

試求曲線。的方程.

y),依題意，MD=2DN,且|而=

解設點。(30)(MW2),N(即，y0),M(x,

的=1,

所以(f—x,—y)=2(x()—t,非)，

J(x()—力2+yo=h

且L+M=L

[t-x—2xo-23

即J且〃L2M))=0.

ly=-2y(),

由于當點。不動時，點N也不動，所以，不恒等于0,

于是f=2xo，故xo=本光=一].代入/+*=1,

2222

可得髭+；=1，即所求的曲線。的方程為髭+；=】.

【例2】如圖所示，四邊形ABCO的四個頂點坐標分別為

A(—l,3),僅一3,-2),C(4,-2),。(3,4),求四邊形

ABCD的面積.

分析本例是幫助同學們進一步了解點的坐標.點的坐標還可

以表示點到坐標軸的距離(點A(a,b)到x軸的距離為|可，到y(tǒng)軸的距離為同)，從

而得出某些我們需栗的線段的長度.

將四邊形A8C0分割成兩個三角形和一個梯形，其中8E的長度等于B到y(tǒng)軸的

距離減去A到y(tǒng)軸的距離，AE的長度為A到x軸的距離加上8到x軸的距離，

依此類推可以求出。F,CF,EF的長度,從而求出四邊形ABCO的面積.

解作A—BC,WU8C.垂足分別為E、F.S^ABE=^BEAE=

2X5CFDF1X6

25；SACDF223；

(AE+DF)EF

S梯形AEFD=O

(5+6)X4

=22,

所以四邊形ABC。的面積為5+22+3=30.

【反思感悟】本例是坐標系在幾何圖形中的應用，在求面積時要盡量利用圖形中

的垂直關(guān)系，將原圖形分割求得面積.

”變式遷移

2.一直角梯形的上、下底邊分別為12和15,兩腰分別為3小和6,選擇適當?shù)淖?/p>

標系，表示各頂點坐標及較短對角線的長.

解如圖所示，以。為原點，CO邊所在直線為x軸，建立平

面直角坐標系，

則A(0,35)，B(12,3小)，C(15,0),0(0,0),

\BD\=3\[l9.

題型二坐標伸縮變換

平面幾何圖形的伸縮變換可以歸結(jié)為坐標的伸縮變換，學習中可結(jié)合坐標間的對

應關(guān)系理解.在伸縮變換下，平面直角坐標系保持不變，在同一坐標系下對坐標

進行伸縮變換，展示了坐標法思想.

在伸縮變換下，直線仍然變?yōu)橹本€，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p曲線，而

橢圓可以變?yōu)閳A，圓可以變?yōu)闄E圓.

【例3】在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換

后的圖形.

(l)5x+2y=0；(2)Z+/=1.

分析根據(jù)變換公式，分清新舊坐標即可.

卜=那，(x=2x,,

解(1)由伸縮變換〈.得彳，，

將其代入5x+2y=0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5y+3/=0.

經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線.

⑵將1代入*+y2=l,

]=3y

/儼

得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是T+T=l.

49

經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓.

【反思感悟】伸縮變換栗分清新舊坐標，直接利用公式即可，變換后的新坐標用

x',y'表示.

經(jīng)變式遷移

X'=X,V’2

3.伸縮變換的坐標表達式為，，曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓/+七=1.求曲

[y'=4y.16

線C的方程.

解設P(x,y)為曲線C上任意一點.

把｛1I；代入/+冬=1，得f+y2=i.故曲線0的方程為f+Jn.

【例4】求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線4f+9y2=36變成曲線/+y，2

=1.

分析求滿足圖形變換的伸縮變換，實際上是求出其變換公式，將新舊坐標分

清，代入對應的曲線方程，然后比較系數(shù)就可得了，橢圓伸縮變換之后可得圓或

橢圓.

￡=忒2>o

解設變換為，’’;可將其代入第二個方程，

[y=〃y,〃>0,

得下》2+〃2,2=L與4*+9/=36比較，

49I】卜'4'

將其變?yōu)榄h(huán)2+荻2=],即§/+*2=],比較系數(shù)得J1/.<]

、[〃=，?[y-^

即將橢圓4f+9y2=36上的所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，可

得到圓%,2+y2=i.

【反思感悟】對于圖形的伸縮變換問題，只要搞清新舊坐標，區(qū)別x,y和x',

y,比較公式中的系數(shù)即可.

M變式遷移

4.在同一平面直角坐標系中，將曲線d—36y2—8x+12=0變成曲線一一了2一44

+3=0,求滿足圖像變化的伸縮變換.

解x2—36y2—8x+12=0可化為

浮%9尸].①

一一y2—4/+3=0可化為

(y-2)2-y2=i.(2)

比較①②兩式得尸一2=虧3,y=3y.故所求伸縮變換為："一中'

一j'=3y.

h課堂達標:當堂達標區(qū)

1.已知一條長為6的線段兩端點A、8分別在x、y軸上滑動，點M在線段A8上,

且AM：MB=\：2,求動點M的軌跡方程.

解(代入法)設A(a,0),B(0,b),M(x,y),

'：\AB\=6,.?./+/=36.①

n+^XO2

x=j=

1+2f_3

〃分4?的比為;2②

b=3y.

22

將②式代入①式，化簡為念+3=1.

2.已知8村位于A村的正西方向1公里處，原計劃經(jīng)過8村沿著北偏東60。的方

向埋設一條地下管線帆但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.

根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū).試問：

埋設地下管線m的計劃需要修改嗎？

解解決這一問題的關(guān)鍵，在于確定遺址W與地下管線機的相對位置，如圖所

示，

y

一

BAx

以A為原點，正東方向和正北方向分別為x軸和y軸的正方向，建立平面直角坐

標系，則A(0,0),B(-l000,0).由W位于A的西北方向及[AW]=400,得W(一

200vL20以尼)，由直線機過8點且傾斜角為90。-60。=30。，得直線機的方程

口r.RH小士心U-20072-73-20072+1000|

是x—000=0.于是，點W到直線機的距禺為---------2--------

=100(5-72-^6)^113.6>100,

所以，埋設地下管線〃，的計劃可以不修改.

3.闡述由曲線y=tanx得到曲線y=3tan2x的變化過程，并求出坐標伸縮變換.

解y=tanx的圖像上點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的;，得到y(tǒng)=tan2x,

再將其縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標不變，得到曲線y=3tan2x.

x>0,

設y'=3tan2x',變換公式為彳

ly=〃y,〃>0.

\X'--X

將其代入y'=3tan2x彳導22

幺=3,ly'=3y.

h教材鏈接J釋疑解惑區(qū)

[P2思考交流]

1.在平面直角坐標系中，圓心坐標為(2,3),5為半徑的圓的方程是什么？

答(x—2)2+&-3)2=25.

2.在平面直角坐標系中，以(a,加為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？

答(x—a)2+(y—b)2=i2.

[P5思考交流]

我國1990年至2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值如表1-2(單位：億元)

表1一2

年份19941995199619971998

生產(chǎn)總值4380057733677957477279553

年份19992000200120022003

生產(chǎn)總值820548940495933102398116694

選擇適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)表1-2畫出統(tǒng)計圖，與同學交流，觀察各自的

特點.

答統(tǒng)計圖

100000?

90000

80000.,

70000.,

60000

50000,

40000,

----：_dfII,'III：a

1994199519961997199819992000200120022003

從表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)可看到，我國的生產(chǎn)總值年年增長，1994?1997年增長較快，

1997~2001年放慢了增長速度，2001年之后又以較快的速度增長.

[P6思考交流]

1.觀察例3(2)中y=sinx的圖像與(1)中y=2sin3光的圖像，討論它們的關(guān)系？

答y=sinx的圖像和y=2sin3x的圖像可以通過伸縮變換相互得到：

縱坐標不變

y=sin元的圖像得y=sin3x的圖像

橫坐標縮短為原來的]

橫坐標不變

------------------->■得>'=2sin3x的圖像，

縱坐標伸長為原來的2倍

橫坐標不變

y=2sin3x的圖像----三Y——j導^=4113光的圖

縱坐標縮短為原來的5

縱坐標不變

像得^=§布》的圖像

.橫坐標伸長為原來的3倍

2.試將上述討論引申為坐標軸單位長度任意伸縮的情況.

答設函數(shù)y=/（x）與函數(shù)y="/（（ux）（其中to>0,〃>0）圖像之間的關(guān)系為：

縱坐標不變.橫坐標縮短為原來的工得到

co

V=/（‘?）的圖像<、V

*■'縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的3倍得到」

一向小橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的〃倍

=J的圖像L一一一一一一_

橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的-L得到

y=〃/（（yx）的圖像.

它們的圖像可以通過伸縮變換相互得到.

【規(guī)律方法總結(jié)】

1.建立平面直角坐標系，可以利用未知點滿足條件的坐標形式，求點的軌跡方程.

2.利用平面直角坐標系，可以將平面圖形坐標化，進行證明或計算.

3.在伸縮變換中，要分清新舊坐標，然后代入公式比較系數(shù)即可.

x'=Xx（A>0），

4.在伸縮變換，,、,、、的作用下，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p

[y=fiy（〃>0）

曲線，圓可以變?yōu)闄E圓，橢圓可以變成圓，我們可以把圓作為橢圓的特例.

h課時作業(yè)i課后鞏固區(qū)

一、選擇題

loABCD中三個頂點A、B、C的坐標分別是（一1,2）、（3,0）、（5,1）,則點。

的坐標是（）

A.(9,-1)B.(-3,1)

C.(l,3)D.(2,2)

解析由平行四邊形對邊互相平行，即斜率相等，可求出。點坐標.設。(x,y),

2-0y-l

=

，出產(chǎn)Me,—-l-3x-5*

則J,即j

RAD——匕灰?，2-y0-1

-l-x=3-5'

x=1,

.，故。(1,3).

U=3.

答案C

2.要得到函數(shù)產(chǎn)sin(4x—2的圖像，只需將函數(shù)y=sin4x的圖像()

A.向左平移盍個單位B.向右平移自個單位

C.向左平移g個單位D.向右平移5個單位

解析由尸514龍一號)=5m4，一缶得，只需將尸sin4x的圖像向右平移盍個

單位即可，故選B.

答案B

x'=5x,.

3.在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換，.后，曲線C變?yōu)榍€/十

ly'=3y

4y2=1,則曲線c的方程為()

A.25?+36J2=1B.9f+100)2=1

C.10x+24y=1D.^x2+|y2=l

jx，=5x

解析將，廠代入/+4/=1,

ly=3y

得25/+36/=1,為所求曲線C的方程.

答案A

4.將一個圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是()

A.橢圓B.比原來大的圓

C.比原來小的圓D.雙曲線

解析設圓的方程為(x—a)2+(y一份2=凡

X'=AJC,X=~^X',

變換為《,'化為〈[(A,〃不為零).

【尸⑷,、，—L，

pC^-xa)*2+/(y—〃份2=M,

.(/一瓶)2工(y，一面)2

；，一(Ar)2+(〃〃)21.此方程不可能是雙曲線.

答案D

二、填空題

5.4ABC中，8(—2,0),C(2,0),△ABC的周長為10,則A點的軌跡方程為

解析?.?△ABC的周長為10,

：.\AB\+\AC\+|5C]=10.其中|BC|=4,

即有|AB|+|AC|=6>4.

...A點軌跡為橢圓除去長軸兩端點，

且2a=6,2c=4...a=3,c=2,b1=5.

r2v2

；.A點的軌跡方程為甘+左=1&W0).

答案■+方=1(y*。)

—2%

6.在平面直角坐標系中，方程f+y2=l所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換一‘后

U=3y

的圖形所對應的方程是.

解析代入公式，比較可得Yx'2+tv='2l.

答案￥+號=1

x，—2_丫

7.y=cosx經(jīng)過伸縮變換1,=3y'后曲線方程變?yōu)?

fx—

X,=2JC,

解析由I尸刀，化為<1,

〔尸y

iii

代入y=cosx中得:鏟=cos產(chǎn)，即：V=3cos

答案y'=3cos%'

8.臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內(nèi)的地

區(qū)為危險區(qū)，城市3在A地正東40km處，則城市3處于危險區(qū)內(nèi)的時間為

________h.

解析以A為坐標原點，A8所在直線為x軸，建立平面直角坐[

標系，則8(40,0),以點5為圓心，30為半徑的圓的方程為(x

-40)2+/=302,臺風中心移動到圓8內(nèi)時，城市8處于危險

區(qū)，臺風中心移動的軌跡為直線y=x,與圓5相交于點N,點3到直線y=x

的距離J=^=20V2.

求得|MN|=2y3()2=20(km),

故甯=1,所以城市8處于危險區(qū)的時間為1h.

答案1

三'解答題

9.已知Q48CD,求證：|Aq2+|BD|2=2(|/lB|2+|/lD|2).

證明法一坐標法以A為坐標原點。，所在的直線為x軸，建立平面直角

坐標系xOy,

則A(0,0),設8(a,0),C(b,c),

則AC的中點或，品由對稱性知。9一小c),所以|AB|2=\

、)D(b-afc)C(b,c)

ay|/4D|2=(/?—a)2+c2,1/^^^

|4。|2=從+。2,國徐B^O)—x

|BD|2=(Z>-2a)2+c2,

IAb+1明2=4,+2b2+2cz_4ab

—2(2?2+/?2+c2—■2ab),

\ABr+|A￡>|2=2a2+/,2+c2-lab,

Z.|AQ2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).

法二向量法在口ABC。中，AC=AB+AD,

兩邊平方得|=恁『=牯2+疝2+2b.疝，

同理得防2=1防『=或2+交+2放.反:，

以上兩式相加，得

|AC|2+防F=2(麗2+曲2)+2BC-(AB+BA)

=2(|AB|2+|Ab|2),

即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AO『).

(x—1)2

10.通過平面直角坐標系中的平移變換與伸縮變換，可以把橢圓一—+

(g2)：=1變?yōu)橹行脑谠c的單位圓,求上述平移變換與伸縮變換，以及這兩

種變換的合成變換.

\x'=X—\,(x—1)2(y+2)2x，2

解先通過平移變換，一把橢圓一^一十-4一=1變?yōu)闄E圓號+

[y'=x+2949

(x'

Yn——

V，2X.3，Y，2V，2

寧=1.再通過伸縮變換J,,把橢圓勺+==1變?yōu)閱挝粓A一+y"2=].由上

1T

述兩種變換合成的變換是

y+27\

F習題解答J規(guī)范對照區(qū)

習題1一1(第7頁)

A組

1.由兩點式寫直線的方程為35x+36y—41=0.

2.直線]+；=—2與x軸、y軸的交點坐標以及直線的斜率分別為(-12,0)、(0,

3.解△ABC是以NA為直角的直角三角形，且平行于x軸，AC平行于y軸.

的平分線的斜率為1,所在直線方程為x—y+l=O.

BC所在直線的方程為4x+3y—29=0,

f26

x—y+l=O,產(chǎn)r=-7'

解｛標+3)-29=0,得])=鄴

ZA的平分線的長為嚶.

4.解法一由兩點式寫出直線A3的方程為3x+y—6=0.

將點C(4,—6)代入方程3X4+(—6)—6=0,

點C在直線A8上，

...A、B、C在同一條直線上.

法二kAB=-3,kisc=-3

...A、B、C三點在同一條直線上.

5.解與x軸交點令y=0,2x-10=0,x=5,

與y軸交點令x=0,-5y一10=0,y=~2,

SA=1X5X2=5.

6.證明如圖：矩形0A8C.設OA=a,OC=h,以。為原點建立如

C-----\B

圖所示的直角坐標系.I____

_Ax

則0、A、B、C的坐標分別為(0,0),3，0),伍，b),(0,b)\OB\1

=-\]c^+b2,

\AC\=1層+(—a)2=y“2+82,

：.\OB\=\AC\.

結(jié)論得證.

7.解(1)設圓的方程為(x—a)2+y2=J

(―1—a)2+1=^,

代入C、。兩點得

(1—a)2+9=/，

解得a=2,r=y[lQ,

二方程為(x—2)2+y2=io

(2)設圓心為(0,b)m

則5=|/?-6|,8=1或11,

方程為*+&-1)2=25或？+(y—11)2=25.

(3)設方程為(X—3—/2=

?.?過A、3兩點,圓心在2元一＞=3上,

((5—)2+(2—。)2=/,

(3-a)2+(—2—8)2=，，

[2〃一b=3.

解得a=2,b=l,r=yflO.

...方程為(x—2)2+。-1)2=10.

（4）設圓方程為（龍一。尸+^—。）2=/,

"(3—a)2+(2—b)2=r2,

/?=2。，

由題意可得〈c-Q

|2〃一b+5|

J3+4，

二圓的方程為（》-2）2+&-4）2=5或C[+/一=5，

圖略.

8.解以底邊中點為原點，底邊所在直線為九軸建立平面直角坐標系.設△ABC,

底邊8C=8,高為AO=5,

則5(-4,0),C(4,0),0(0,0),A(0,5),

設圓的方程為(x—af+Cy—b)2=J

((—4—4)2+川=J,

22

則｛(4-a)+b=^9

la2+(5-b)2=J,

/94i2

得“=0,b=正/=而

...圓方程為幺+/一卷?_1681

=100'

9.解川為|+恒2川=2+14=16=2小。=8,

Fi(-6,0),尸2(6,0),c=6,.?.層=28.

橢圓標準方程為言+&=L

10.解(1)由題意知〃2=8,=5,

22

橢圓方程為^'+^=1.

oJ

⑵由題意知a=3Z?

b=l,橢圓方程：方-+￡=1；

當焦點在x軸上時?=3,

當焦點在y軸上時b=3,a=9,橢圓方程:

（3）由題意知。=24，

92

設橢圓方程為/十5=1,P（小，一加）在橢圓上.

解得d=20,廿=8,

22

橢圓方程為言+}=1.

11.略

B組

1.證明?圓直徑的端點是A（x”>1）,8（X2,）2）

圓心坐標為第色中，

半徑為三三亙妥五三

...圓的方程為Q—空f+Q—空2

（即一檢）？+（）'1一）'2）2

—4'

2ZI.I（汨十》2）\2、」（6+>2）2

九一只九1十X2）十4+y一〉。1+”）+4

(X|—X2)2+2

4

2

2_z,(Xl+X2)2(XL.=)：2_,z,i,x,,<yi+.V2)

xx(%i-iX2)?44+)y(y\'y2)I4

(丁|—>2)2「

4=°，

x2—x(xi+x2)+xi》2+y2-y(yi+竺)+%竺=0，

—

(%—%i)(x—x2)+(y-yi)Cvy2)=0,

，圓的方程為(X—X1)(X—X2)+Cv—y)(y—m)=0.

[(x-3)2+(廠5)2=4,

x-1f+(廠5)

2=1

得x-1=0，

直線方程為x—1=0.

3.解以地球球心與距地最近點所在直線為x軸，以最近點與最遠點的中點為原

點建立平面直角坐標系.

貝U2。=6636+8196=14832,a=7416,?2=54997056,

c=8196-7416=780,，/=54388656.

22

???橢圓方程為豆蘇演+54388656=L

§2極坐標系

2.1極坐標系的概念

2.2點的極生標與直角生標的互化

守自主預習課前預習區(qū)

1.極坐標系的概念,

(1)極坐標系的建立：如圖在平面內(nèi)取一個定點。，叫作極點,

從。點引一條射線Ox,叫作極軸,選定一個單位長度和角的0時節(jié)公Wk；

正方向(通常取逆時針方向).這樣就確定了一個平面極坐標系,簡稱為極坐標系.

(2)極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定：對于平面內(nèi)任意一點M,用。表示線段OM

的長,。表示以Ox為始邊、0M為終邊的角度,。叫作點M的極徑,8叫作點M

的極角,有序?qū)崝?shù)對(p,叫作點M的極坐標,記作MS，0).

當點M在極點時，它的極徑閆b極角。可以取任意值.

2.極坐標和直角坐標的互化

(1)互化的前提條件：①極坐標系中的極點與直角坐標系

中的原點重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標系取相同的長度單位.

02=f+y2,

x=〃cos仇

(2)互化公式：，

y=〃sin夕；tan3=^(xWO)

------x--------

【思維導圖】

直角坐標系*點f坐標

八互化

極坐標系*點極坐標

【知能要點】

1.極坐標系的四要素.

2.點的極坐標的寫法.

3.極坐標和直角坐標的互化.

守講練互動!課堂講練區(qū)

題型一極坐標系的概念與點的極坐標

1.極坐標系的概念

極坐標系的建立有四個要素：①極點；②極軸；③單位長度；④角度單位和它的

正方向.四者缺一不可.

極坐標系就是用長度和角度來確定平面內(nèi)點的位置.

2.點的極坐標

每一個有序?qū)崝?shù)對S，。)確定一個點的位置.其中，p是點M的極徑，。是點M的

極角.

平面上給定一點，可以寫出這個點的無數(shù)多個極坐標.根據(jù)點的極坐標S，。)的定

義，對于給定的點S，。)有無數(shù)個極坐標，可分為兩類，一類為S，。+2E)

(Aez),另一類為(一/),。+2左兀+兀)(AeZ).

在極坐標S，。)中，一般限定02。.當〃=0時，就與極點重合，此時。不確定.給

定點的極坐標S，陰，就唯一地確定了平面上的一個點.但是，平面上的一個點的

極坐標并不是唯一的，它有無窮多種形式.由此可見，平面上的點與它的極坐標

不是一一對應關(guān)系.這是極坐標與直角坐標的不同之處.如果限定2>o,0或。<2兀，

則除極點外，平面上的點就與它的極坐標構(gòu)成一一對應的關(guān)系.

【例1】寫出圖中A、B、C、。、E、F、G各點的極坐標（p〉0,0或82兀）.

解對每個點我們先看它的極徑的長，再確定它的極角，因此這些點的極坐標為

A（7,1）,8（4,竽）,《5,卷）d6,華）,E（9,0）,F（3,n）,《9,劣.

【反思感悟】（1）寫點的極坐標要注意順序：極徑"在前，極角。在后，不能把

順序搞錯了.

（2）點的極坐標是不唯一的，但若限制p>0,0^e<2n,則除極點外，點的極坐標

是唯一確定的.

N,變式遷移

1.寫出下列各點的極坐標.

【例2】在極坐標系中，作出下列各點:

A(2,野，B(6,-120°),C(L哥，O(4,一竽)，E(4,0),F(2.5,180°).

解各點描點如圖所示.

【反思感悟】知道點的極坐標S，。)，我們可以先根據(jù)極角。確定方向(射線),

然后根據(jù)0來確定距離，進而描出s，。)的對應點.

紿變式遷移

2.在極坐標系中，寫出點A,B,C的極坐標，并標出點。(3,春，44,引，

F(2,離所在的位置.

解由圖可得點A,

77r2L5TT

12212

5TTIT

6

UTTTT

12n

TTx

131T23n

1212

7ITIlir

守

7ir6

57r

47r

T

171T37T191T

12~212

點。，E,E的位置如上圖所示.

【例3】在極坐標中，若等邊△ABC的兩個頂點是A（2,胃，02,苧），那么頂

點C的坐標可能是（）

C.（2小，Ji）D.（3,兀）

解析如圖所示，由題設可知4、8兩點關(guān)于極點0對稱，

即。是AB的中點.

又|AB|=4,△ABC為正三角形，10cl=2小，ZAOC=^,C

對應的極角空或夕=卜，=一?，即c點極坐標為卜小，第或

乙*1*14\/

答案B

【反思感悟】在找點的極坐標時，把圖形畫出來，可以幫助我們解決問題，從圖

形中很容易找到極角和極徑.這一點跟直角坐標系中的方法是一致的，數(shù)形結(jié)合.

紿變式遷移

3.點M的極坐標是（一2,一看它關(guān)于直線6=］的對稱點坐標是（）

B-（-2,芝|

解析當"<0時，我們找它的極角應按反向延長線上去找.描廿a丹

M-2,烹）力，（2,方

點（-2,一方時，先找到角一的終邊.又因為戶=-2<0,所\唔一

以再沿反向延長線上找到離極點2個單位的點即是點（一2,

直線。=看就是由極角為方的那些點的集合.

故從一2,關(guān)于直線8專的對稱點為M（2,款但是選擇支沒有這樣的坐

標.

又因為M（2,野的坐標還可以寫成2,高，故選B.

答案B

題型二兩點間的距離公式

一般地，設A3,仇），B（p2,02）,由余弦定理可得到兩點間的距離公式|AB|=

1屆+/—2cos（仇一。2）?

【例4】已知A、8兩點的極坐標分別是（2,哥，（4,引，求A、8兩點間的距

離和△A08的面積.

解求兩點間的距離可用如下公式：

S/、A0B=gbi"2sin（仇一。2）|=；2X4Xsin（^y-^|=^X2X4=4.

【反思感悟】求兩點間距離可以直接套用公式，求三角形面積時可以結(jié)合公式S

=y-absin?？紤].

獷變式遷移

4.若△ABC的三個頂點為A（5,乳

,判定△ABC的形狀.

解/25+64—2X8X5cos^=^/49=7,

^9+64—2X8X3Xcos^=7,

BC=

4兀

AC=25+9-2-3-5cosy=7,

...△ABC為等邊三角形.

題型三極坐標與直角坐標的互化

我們把極軸與平面直角坐標系xOy的正半軸重合，且兩種坐標

系取相同的長度單位，設P(x,y)是平面上的任一點，如圖所

x-pcos0,

示，則.°①

j=psin0.

p=ylx2+y2,

從①可得V②

tan0—(x#0)

龍

①與②是平面直角坐標系與極坐標系中同一點的直角坐標(x,y)與極坐標S，8)

之間的換算公式.

【例5】(1)把點M的極坐標(一5,令)化成直角坐標;

(2)把點N的直角坐標(一小，一1)化成極坐標.

解(l)x=-5cos^=—2>/3?y=-5sin^=—

.?.點M的直角坐標是(一|\「，-j).

(2)p(-A/3)2+(—1)2=2,tan6=3-

7

又?.?點N在第三象限，"〉0....最小正角0=^7i.

故點N的極坐標是(2,看，

【反思感悟】把極坐標化成直角坐標，直接代入公式即可；把直角坐標化為極坐

標，通常有不同的表示法(極角相差2兀的整數(shù)倍)，一般只要取8G[0,2K),p>0

即可.

紿變式遷移

5.若以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.

(1)已知點A的極坐標為(4,引，求它的直角坐標；

(2)已知點8和點C的直角坐標為(2,-2)和(0,-15),求它們的極坐標e>0,

0??！?兀)

解⑴x=4co爵=2,y=4sin,=-24.

???直角坐標為(2,一2小).

____—2\F52、歷7兀

⑵0=、4+4=2啦,sind=2啦=—2，仇=2蛆=2，，仇=了，

.?.(2,-2)的極坐標為(26，引，

P2=15,sin&=-1，cos。2=°，

.\^2=y,.,.(0,—15)的極坐標為(15,

尹課堂達標j當堂達標區(qū)____________________________________________________________________

1.在極軸上與點(4蛆，3的距離為5的點的坐標是.

解析設所求點的坐標為(P，0),則

y^p2+(4A/2)2—2X4-\/2pcos^=5.

即p2-8p+7=0,解得p=l或〃=7....所求點的坐標為(1,0)或(7,0).

答案(1,0)或(7,0)

2.在直角坐標系中，已知點A(—3,35B(3y[3,3).

將A、B兩點的直角坐標化為極坐標.

解直接根據(jù)互化公式，可得A的極坐標為(6,|兀)，

B的極坐標為(6,點).

3.某大學校園的部分平面示意圖如圖所示.

北

----東

用點。、A、B、C、。、E、產(chǎn)分別表示校門，器材室，公寓，教學樓，圖書館,

車庫，花園，建立適當?shù)臉O坐標系，寫出各點的極坐標.(限定0W*2兀且

極點為(0,0))

解以點。為極點，。4所在的射線為極軸。式單位長度為1m）,建立極坐標

系，如圖所示.

由QB|=600m,NAO3=30°,ZOAB=90°,得|A8|=300m,\OA\=30（h[3m,

同樣求得|。。|=2|0月=300\&,所以各點的極坐標分別為0（0,0）,A（300\「，

0）,?600,即，C[300,電，。（30所，彳），￡（300,兀），/^150^2,?）.

4.已知點Q（p，，），分別按下列條件求出點P的極坐標.

（1）點P是點Q關(guān)于極點O的對稱點；

⑵點P是點Q關(guān)于直線的對稱點.

解（1）由于尸、。關(guān)于極點對稱，得它們的極徑|OP|=QQ,極角相差（2Z+

1）兀伏GZ）.所以，點尸的極坐標為S，（2左+1）兀+。）或（一"，2E+0）伙@Z）.

TT

（2）由尸、。關(guān)于直線。=]對稱，得它們的極徑|OP|=|OQ|,點P的極角夕滿足夕

=兀-6+2E（左GZ）,

所以點P的坐標為S，（2左+1）兀一。）或（一p,2kn-ff）（kGZ）.

h教材鏈接J釋疑解惑區(qū)____________________________________________________________________

[Pio練習]

在極坐標中，點S，。）與點（一"，兀一。）有什么關(guān)系？

答關(guān)于極軸對稱.

設M點坐標為S，。），為直觀，以極點為原點，以x軸的正

方向與極軸建立直角坐標系，不難看出與M點關(guān)于y軸對稱

的點M\的坐標為（p，兀一。）

M關(guān)于極點對稱的點知2的坐標為（一"，代一6）

則也與M關(guān)于極軸對稱，如圖所示.

【規(guī)律方法總結(jié)】

1.建立極坐標系可以確定點的位置和直角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐標有無

數(shù)種表示.規(guī)定2>o,0W，<2兀，則除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標一一對應.

2.利用極坐標可以刻畫點的位置，有時比直角坐標方便，在臺風預報、測量、航

空、航海中主要采用這種方法.

3.以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并且取相同的長度單位，

平面內(nèi)一點的直角坐標和極坐標可以進行互化.

課時作業(yè)J課后鞏固區(qū)

一、選擇題

1.點P的直角坐標為（一啦，啦），那么它的極坐標可表示為（）

A.（2,B（2,中）C.（2,y）