高考1卷理科數(shù)學試題及答案

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

考前須知：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.答復選擇題時.，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標號.答復非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題(此題共12小題，每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符

合題目要求的.)

1.設2="^~7+>那么[z|=()

A.0B.-C.1D.72

2

2.集合4={x|x?-x-2>o},那么<4=()

A.-1<x<2}B.{x|-lWxW2}

C.{x|x<—1}U{x|x>2}D.{x|xW_l}U{x|x22}

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農村建設，農村的經(jīng)濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農村

的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經(jīng)濟收入構成比例.得到如下餅圖:

建設前經(jīng)濟收入構成比例建設后經(jīng)濟收入構成比例

那么下面結論中不正確的選項是()

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

4.記S“為等差數(shù)列｛與｝的前"項和.假設3s3=5+邑，4=2,那么為=()

A.-12B.-10C.10D.12

5.設函數(shù)〃x)=x3+(“-1)x2+辦.假設/(X)為奇函數(shù)，那么曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線方

程為()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.在△/BC中，為8c邊上的中線，E為的中點，那么麗=()

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

3一1一1一3一

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

7.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖所示，圓柱外表上的點

B

〃在正視圖上的對應點為4,圓柱外表上的點N在左視圖上的對應點為8,

那么在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()

A.2V17B.2遙C.3D.2

2

8.設拋物線C：V=4x的焦點為尸，過點(-2,0)且斜率為:的直線與C交于N兩點，那么

FMFN=()

A.5B.6C.7D.8

9.函數(shù)〃x)=產'"WO,g(x)=/(x)+x+a,假設g(x)存在2個零點，那么a的取值范圍是1)

Inx,x>0

A.[-1,0)B.[0,+co)C.[-1,+co)D.[1,+8)

10.下列圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑

分別為直角三角形N8C的斜邊8C,直角邊4B,AC,△/BC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑

色局部記為H,其余局部記為W,在整個圖形中隨機取一點，此點取自I,II,111的概率分別記

為Pl，Pl，Py,那么(

B

A.Pi=PzB.p、=P3

C?P2=PiD.Pl=P2+P3

2

11.雙曲線C：r二-/=1,。為坐標原點，尸為C的右焦點，過尸的直線與C的兩條漸近線的交點分

3

別為M,N.假設為直角三角形，那么|A/N|=（）

A.-B.3C.26D.4

2

12.正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，那么a截此正方體所得截面面積

的最大值為（）

A.巫B.述C.逑D.@

4342

二、填空題（此題共4小題，每題5分，共20分）

x—2y-2W0

13.假設x,y滿足約束條件,x-y+l》0，那么z=3x+2y的最大值為.

yW0

14.記5〃為數(shù)列｛a,,｝的前〃項和.假設S“=2怎+1,那么艮=.

15.從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，那么不同的選法共有

種.（用數(shù)字填寫答案）

16.函數(shù)/（X）=2sinx+sin2x,那么/（x）的最小值是.

三、解答題（共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題

考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。）

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

在平面四邊形中，ZADC=90°,乙4=45。，AB=2,BD=5.

⑴求cosN4DB；

⑵假設。C=2五，求8c.

18.112分）

如圖，四邊形Z8CZ）為正方形，E,E分別為49,8c的

中點，以。尸為折痕把折起，使點C到達點P的位置，

且尸尸J_8尸.

⑴證明：平面PEF±平面ABFD；

⑵求DP與平面NBFD所成角的正弦值.

19.112分）

設橢圓C：土+/=1的右焦點為F,過尸的直線/與C交于4,8兩點，點M的坐標為（2,0）.

⑴當/與x軸垂直時，求直線411的方程；

⑵設O為坐標原點，證明：ZOMA=ZOMB.

20.[12分）

某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗

出不合格品，那么更換為合格品，檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果斷定是

否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p(O<p<l),且各件產品是否為不合

格品相互獨立.

⑴記20件產品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求〃p)的最大值點p。；

⑵現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以⑴中確定的為作為p的值.每件產品

的檢驗費用為2元，假設有不合格品進入用戶手中，那么工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)假設不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

21.(12分)

函數(shù)/(x)=--x+tzInx.

⑴討論〃x)的單調性；

X

⑵假設〃x)存在兩個極值點x2,證明：./?)T(J<J-2.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計

分。

22.［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標系xOy中，曲線G的方程為夕=左兇+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立

極坐標系，曲線G的極坐標方程為"+2pcos。-3=0.

⑴求C2的直角坐標方程；

⑵假設G與有且僅有三個公共點，求G的方程.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

/(x)=|x+l|-|ax-l|.

⑴當。=1時，求不等式的解集;

⑵假設xe(O,1)時不等式/(x)>x成立，求a的取值范圍.

絕密★啟用前

2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學試題參考答案

一、選擇題

1.C2,B3.A4.B5.D

6.A

7.B8,D

9.C10.A11,B12.A

二、填空題

3G

13.614.-6315.1616.

三、解答題

17.解:

(1)在中，由正弦定理得一組二=———

sinN/sinAADB

52所以sin4DB=E

由題設知,

sin45°sinAADB5

由題設知，AADB<90°,所以cosN4)8

(2)由題設及(1)知,cosZ.BDC=sinZ.ADB=與

5

在△8。中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BD-DCcosNBDC

25+8-2x5x2及x正

=25.

所以8c=5.

18.解：

(1)由已知可得，BF工PF，8F1EF，所以BF_L平面尸￡尸

又平面力匆力，所以平面PM1平面48戶D.

—7—

（2）作PH

LEF,垂足為H.由（1）得,

平面

ABFD.

藝為坐標原點，話的方向為y軸正方

向，S為單位長，建立如圖所示的空間直角

坐標系H-訪

由（1）可得，QEJLPE.又DP=2,DE=\,

所以PE=6.又尸尸=],EF=2,故PELPF.

可得PH=①,

,EH=~.

22

冷,0(-1,-|,0),DP=(l,|,y),而=(0,0,爭為平面

則//(0,0.0),P(0,0

的法向量.

一一3

設。P與平面Z8FD所成角為9,貝IJsin9=|竺t|=4=坐

\HP\\DP\J34

所以。尸與平面48ED所成角的正弦值為且.

4

19.解：

（1）由己知得尸（1,0）,/的方程為x=l.

由己知可得，點4的坐標為（1,三）或（1,-5-）.

所以的方程為y=-冬+&或>=爭-&.

（2）當/與x軸重合時，NOM4=NOM?=0。.

當/與x軸垂直時，?！盀?8的垂直平分線，所以/OM4=NOM5,

當/與x軸不重合也不垂直時，設I的方程為y=左（x-1）（女=0），,必），，

則石<及，X[<6，直線M4，"6的斜率之和為攵必+38=；^豆+護工?

由必二腦一左，%二生一女得

_2kx、x?-3〃（芭+乙）+4k

%+理=―（--2）（--之）一

—8—

將…(…)代入t+得

(2*1+1)^-4*Jx+2P-2-0.

所以，玉+弓=_^___2--2

2A、I'H赤丁

則26'-3*(』+x0+4小”'-4*-］找'+馱'+軟=0

2A3+1

“'血七'+"2=0，故Mf,的傾斜角互補,所以NOM4=NaWB.

綜上，40MA=ZOMB.

20.解：

(I)20件產品中恰有2件不合格品的概率為/(p)=Ci1P限此

/'(")=cD'-i8p"i-0此=2c：op(i-〃)"(i-io0.

令/=得。=0.1.當pw(0,0.I)時,f'(p)>Q；當pw(O.Ll)時.f'(p)<0

所以/(P)的最大值點為％=0.1.

(2)由(I)知，p=0.l...>

(i)令y表示余下的180件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知y-8(180.0.1).

A'=2OX2+25K,即X=40+25y.，:

所以￡T=￡(40+25，)=40+25￡丫=490.

(ii)如果對余下的產品作檢驗,則這一箱產品所需要的檢驗翁為400元.

由于￡￥>400.故應該對余下的產品作檢驗.

21.解：

<I)/(x)的定義域為(0.+?)，/'(x)=--7-I+—=--—空上L'.

(i)若。W2.則/'(M近0,當且僅當"2,x=l時，(x)=0,所以/(x)在(0,+?)

單調遞減.

(ii)若”2,令人外=0得，x=笆三或一呼三.

當-0,邛Mu(銬mM)時，AxXO：

當工￡退二星三,”與二)時，r(x)>o,所以/(X)在(°,七亞,

2Z2

”且已，+?)單調遞減，在(巴二《三,”率&)單調遞增.

222

—9—

(2)由“)知，/(x)存在兩個極值點當且僅當a>2?

由于〃x)的兩個極值點目,與滿足--石+1=0,所以痞=1，不妨改為<三，

則三>1.由于

四上公以1i+jN-lnx：__2+。處二g_=-2+a請匕?’

玉_fxrx-xxi~x2-----X2

r2x2xi

所以<a_2等價于,-x,+2Inx2<0.

玉-/七'

設函數(shù)g(x),-x+21nx,由⑴知，g(x)在(0,一)單調遞減，又g⑴=°，從

X

而當xw(l,y)時，g(x)<0.

所以工一工+21門,<0,即/區(qū)f任

A.'MF

22.解：

(1)由x=℃ose,y=psin8得G的直角坐標方程為

(x+1)2+,2=4.

(2)由(1)知G是圓心為4(T,0)，半徑為2的圓.

由題設知，G是過點8(0,2)且關于y軸對稱的兩