選修4-4簡單曲線的極坐標(biāo)方程

3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式復(fù)習(xí)1、極坐標(biāo)系的四要素2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的正方向。(1)、直角坐標(biāo)是(x,y)極坐標(biāo)是(ρ,θ)(2)、極坐標(biāo)是(ρ,θ)直角坐標(biāo)是(x,y)第一頁第二頁，共26頁。(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程f(x,y)=0的解;(2)以這個方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上.

在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C可以用方程f(x,y)=0表示，曲線與方程滿足如下的關(guān)系:在極坐標(biāo)中,曲線Ｃ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)是否符合方程f(,)=0；xyOM(x,y)rCx2+y2=r2第二頁第三頁，共26頁。曲線的極坐標(biāo)方程一、定義：如果曲線Ｃ上的點(diǎn)與方程f(,)=0有如下關(guān)系(１)曲線Ｃ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中至少有一個)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線Ｃ上。

則曲線Ｃ的方程是f(,)=0。第三頁第四頁，共26頁。xyOM(x,y)2Cx2+y2=22M(ρ,θ)M(2,θ)ρ=2兩種方程能不能互化第四頁第五頁，共26頁。探究:如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，你能用一個等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？ xC(a,0)O1、圓的極坐標(biāo)方程第五頁第六頁，共26頁。C(a,0)OxM(,)θ

)1.(..........cos2),(,＝即中以外的任意一點(diǎn)，那么OM

AM。

，為圓上除點(diǎn)設(shè)＝，那么解：圓經(jīng)過極點(diǎn)O。設(shè)圓與極軸的另一個交點(diǎn)是Aa|OA|cosqOM在RtDAMOAOMOA)1()0,2(),2,0(的坐標(biāo)滿足等式可以驗(yàn)證，點(diǎn)aAOpqrqr=A能否寫出對應(yīng)直角坐標(biāo)方程兩種方程能不能互化第六頁第七頁，共26頁。C(a,0)Ox圓的極坐標(biāo)方程：M(,)θ

思路分析：（1）任取一點(diǎn)，標(biāo)出

與

（2）找出邊角共存的三角形（3）列出三角形的邊角關(guān)系式（4）對特殊點(diǎn)作檢驗(yàn)第七頁第八頁，共26頁。例1、已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？求下列圓的極坐標(biāo)方程(１)中心在極點(diǎn)，半徑為3；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半徑為a；(３)中心在(a,/2)，半徑為a；

＝3

＝a

若r＝aC(a,0)OxM(,)θ

A

＝2acosθ

AC(a,/2)OxM(,)

＝2asin第八頁第九頁，共26頁。(４)中心在Ｃ(a,

０)，半徑為aθ

AC(a,

０)OxM(,)第九頁第十頁，共26頁。練習(xí)3以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是Cθ

AC(a,

０)OxM(,)第十頁第十一頁，共26頁。第十一頁第十二頁，共26頁。第十二頁第十三頁，共26頁。第十三頁第十四頁，共26頁。第十四頁第十五頁，共26頁。第十五頁第十六頁，共26頁。

極坐標(biāo)方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個圓的圓心距是多少例1:第十六頁第十七頁，共26頁。直線的極坐標(biāo)方程第十七頁第十八頁，共26頁。答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)

與

之間的關(guān)系，然后列出方程

(,)=0

，再化簡并討論。怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？第十八頁第十九頁，共26頁。例題1：求過極點(diǎn)，傾角為的射線的極坐標(biāo)方程。oMx﹚分析：如圖，所求的射線上任一點(diǎn)的極角都是，其極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為新課講授第十九頁第二十頁，共26頁。1、求過極點(diǎn)，傾角為的射線的極坐標(biāo)方程。易得思考：2、求過極點(diǎn)，傾角為的直線的極坐標(biāo)方程。第二十頁第二十一頁，共26頁。和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補(bǔ)這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為和第二十一頁第二十二頁，共26頁。例題2、求過點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)為直線L上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OMox﹚AM在中有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。a第二十二頁第二十三頁，共26頁。求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、根據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于的方程，并化簡；5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。o﹚AMa第二十三頁第二十四頁，共26頁。例題3設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。

oxMP﹚﹚θ解：如圖