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正方形的性質(zhì)與判定第2課時正方形的判定新知導入如圖,將一張長方形紙對折兩次,然后剪下一個角,打開.怎樣剪才能剪出一個正方形?新知講解議一議:滿足什么條件的矩形是正方形?滿足什么條件的菱形是正方形?請證明你的結(jié)論,并與同伴交流.正方形的判定定理:
(1)定理1:對角線相等的菱形是正方形.(2)定理2:對角線垂直的矩形是正方形.(3)定理3:有一個角是直角的菱形是正方形.(4)定理4:有一組鄰邊相等的矩形是正方形.請你證明以上定理.新知講解判定方法:
(1)從四邊形出發(fā):①有四條邊相等,四個角都是直角的四邊形是正方形;②對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形.(2)從平行四邊形出發(fā):①有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形;②對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形.(3)從矩形出發(fā):①有一組鄰邊相等的矩形是正方形;②對角線互相垂直的矩形是正方形.(4)從菱形出發(fā):①有一個角是直角的菱形是正方形;②對角線相等的菱形是正方形.新知講解例已知:如圖,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證:四邊形BECF是正方形.
∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.
證明:例題講解∴
BECF是菱形(菱形的定義).在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形(有一個角是直角的菱形是
正方形).例題講解1如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,不添加任何輔助線,請?zhí)砑右粋€條件__________________________,使四邊形ABCD是正方形.(填一個即可)∠BAD=90°(答案不唯一)例題講解練一練:2在△ABC中,點D,E,F(xiàn)分別在BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA,連接EF,則下列三種說法:①如果EF=AD,那么四邊形AEDF是矩形;②如果EF⊥AD,那么四邊形AEDF是菱形;③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是正方形,其中正確的有(
)A.3個B.2個C.1個D.0個B例題講解新知講解正方形:既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.它的中心是對稱中心,有4條對稱軸,分別是兩條對角線和每組對邊中點連線所在直線.正方形的對稱性知識點例
如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上的一點,BE=1,F(xiàn)為AB上的一點,AF=2,P為AC上一個動點,則PF+PE的最小值為_______.導引:找到點F關于直線AC的對稱點M,連接EM,計算EM的長即可.如圖,在AD上取一點M,使AM=2,點M即為點F關于直線AC的對稱點.連接EM,過M點作MN⊥BC于N,由題意可知EN=BN-BE=AM-BE=2-1,易得MN=4,∴EM=
新知講解正方形是特殊的平行四邊形,正方形關于它的對角線所在直線對稱.求兩線段和的最小值,往往要通過軸對稱的方式將同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點,通過兩點間線段最短求得兩線段和的最小值
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