北師大版九年級上第一章 特殊平行四邊形3 正方形的性質(zhì)與判定“江南聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

正方形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)正方形的判定新知導(dǎo)入如圖，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開．怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？新知講解議一議：滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．正方形的判定定理：

（1）定理1：對角線相等的菱形是正方形.（2）定理2：對角線垂直的矩形是正方形.（3）定理3：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.（4）定理4：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.請你證明以上定理.新知講解判定方法：

(1)從四邊形出發(fā)：①有四條邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形；②對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形．(2)從平行四邊形出發(fā)：①有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；②對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．(3)從矩形出發(fā)：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對角線互相垂直的矩形是正方形．(4)從菱形出發(fā)：①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；②對角線相等的菱形是正方形．新知講解例已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形．

∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.∴∠EBC＝∠ECB.∴EB＝EC.

證明：例題講解∴

BECF是菱形(菱形的定義)．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形(有一個(gè)角是直角的菱形是

正方形)．例題講解1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，不添加任何輔助線，請?zhí)砑右粋€(gè)條件__________________________，使四邊形ABCD是正方形．(填一個(gè)即可)∠BAD＝90°（答案不唯一）例題講解練一練：2在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，連接EF，則下列三種說法：①如果EF＝AD，那么四邊形AEDF是矩形；②如果EF⊥AD，那么四邊形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形，其中正確的有(

)A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)B例題講解新知講解正方形：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.它的中心是對稱中心，有4條對稱軸，分別是兩條對角線和每組對邊中點(diǎn)連線所在直線.正方形的對稱性知識點(diǎn)例

如圖,正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動點(diǎn)，則PF+PE的最小值為_______.導(dǎo)引:找到點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M，連接EM,計(jì)算EM的長即可.如圖,在AD上取一點(diǎn)M，使AM=2,點(diǎn)M即為點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn).連接EM，過M點(diǎn)作MN⊥BC于N，由題意可知EN=BN－BE=AM－BE=2－1，易得MN＝4，∴EM＝

新知講解正方形是特殊的平行四邊形，正方形關(guān)于它的對角線所在直線對稱.求兩線段和的最小值，往往要通過軸對稱的方式將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)，通過兩點(diǎn)間線段最短求得兩線段和的最小值