要用=====正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例(整理版)

1.2正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測(cè)量:①距離問題、②高度問題、③角度問題、④計(jì)算面積問題、⑤航海問題、⑥物理問題等.2.實(shí)際問題中的常用角（1）仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線

叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線

叫俯角（如圖①）.

上方下方(2)方位角指從

方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）.正北（3）坡度：坡面與水平面所成的角的度數(shù).問題1.A、B兩點(diǎn)在河的兩岸(B點(diǎn)不可到達(dá))，要測(cè)量這兩點(diǎn)之間的距離。測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m).分析：所求的邊AB的對(duì)角是已知的,又知三角形的一邊AC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出邊AC的對(duì)角,根據(jù)正弦定理,可以計(jì)算出邊AB.解：根據(jù)正弦定理，得答：A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米。例2、A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離的方法。分析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)C到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在?ADC和?

BDC中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離ABCD30°45°30°60°分析：在△ABD中求AB在△ABC中求AB練習(xí)選定兩個(gè)可到達(dá)點(diǎn)C、D；

→測(cè)量C、D間的距離及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大??；→利用正弦定理求AC和BC；

→利用余弦定理求AB.測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離方案：形成規(guī)律在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線,如例1中的AC，例2中的CD.基線的選取不唯一，一般基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.形成結(jié)論題型一與距離有關(guān)的問題要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距km的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求

A、B之間的距離.

分析題意，作出草圖，綜合運(yùn)用正、余弦定理求解.題型分類深度剖析解如圖所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得

求距離問題要注意：（1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.(3)閱讀課本第11頁和第12頁的例1,例2的距離測(cè)量方法.[例2].在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°,則塔高為 （）

解析作出示意圖如圖，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，則BD=AD·tan∠BAD=A題型二與高度有關(guān)的問題

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；（2）依題意畫出示意圖；（3）分析與問題有關(guān)的三角形；（4）運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問題的答案；（5）注意方程思想的運(yùn)用；（6）要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí).[例3].在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向,距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10

nmile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

分析如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D

處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.題型三與角度有關(guān)的問題則有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.解:設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，[例4]如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.題型四正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用解設(shè)∠POB=θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得PC2=