華師大版 八年級下第18章 平行四邊形18.1 平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)數(shù)學(xué)華師大版八年級下新知導(dǎo)入生活中的平行四邊形新知講解有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形的定義你能從以下圖形中找出平行四邊形嗎？兩組對邊分別平行，是平行四邊形的一個(gè)主要特征．23145新知講解平行四邊形相對的邊稱為對邊，相對的角稱為對角．如圖：線段AC、BD就是□ABCD的對角線．ADCB平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫平行四邊形的對角線．如圖：四邊形ABCD是平行四邊形．記作：□ABCD．

讀作：平行四邊形ABCD．幾何語言：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形的表示法及相關(guān)概念新知講解如圖，作一個(gè)平行四邊形．步驟：1、任意畫一條直線m；2、在直線m上任取點(diǎn)A，在直線m外任取點(diǎn)B，連結(jié)AB；3、過點(diǎn)B作直線m的平行線n，在直線n上任取點(diǎn)C；4、過點(diǎn)C作直線AB的平行線，交直線m于點(diǎn)D，就得到□ABCD

．這樣畫出來的四邊形為什么是平行四邊形？新知講解在□ABCD

中，連結(jié)AC、BD，它們的交點(diǎn)記為點(diǎn)O．將□ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°．觀察旋轉(zhuǎn)后的□ABCD與原圖形是否重合？由此你能得到什么結(jié)論？你還能從中得出□ABCD的一些邊角關(guān)系嗎？旋轉(zhuǎn)后的□ABCD與原圖形重合，所以平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)O就是對稱中心．AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，∠B=∠D．新知講解平行四邊形的對邊相等，對角相等．已知：四邊形ABCD是平行四邊形．求證：AD=BC，AB=CD，∠A=∠D，∠ABC=∠CDA．提示：可連接BD，試證______≌______．轉(zhuǎn)化思想：四邊形問題三角形問題轉(zhuǎn)化△ABD△CDB新知講解已知：□ABCD（如圖）．求證：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠ABC=∠CDA．即∠ABC＝∠CDA．證明：連結(jié)BD．∵AB∥CD，AD∥BC（平行四邊形的對邊平行），∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C．又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3．∴△ABD≌△CDB．

在△ABD和△DCE中，

∵，新知講解平行四邊形的性質(zhì)定理1平行四邊形的對邊相等．平行四邊形的性質(zhì)定理2平行四邊形的對角相等．2、平行四邊形的對邊相等．平行四邊形的對邊平行．1、平行四邊形是中心對稱圖形．平行四邊形的性質(zhì)3、平行四邊形的對角相等．平行四邊形的鄰角互補(bǔ)．新知講解例1在□ABCD中，∠A=40°，求其他各內(nèi)角的大?。猓涸凇魽BCD中，∠A=∠C，∠B=∠D（平行四邊形的對角相等）．∵∠A=40°（已知)，∴∠C=40°．又∵AD∥BC（平行四邊形的對邊平行），∴∠A+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠B=180－∠A=180o－40°=140°，∠D=∠B=140°．新知講解例2如圖，在□ABCD中，AB=8，周長等于24．求其余三條邊的長．解：在□ABCD中，AB=DC，AD=BC（平行四邊形的對邊相等）．∵AB=8，

∴DC=8，又∵AB+BC+DC+AD=24，∴AD=BC=．新知講解在方格紙上畫兩條互相平行的直線，在其中一條直線上任取若干點(diǎn)，過這些點(diǎn)作另一條直線的垂線，用刻度尺量出平行線之間這些垂線段的長度．你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試用平行四邊形的性質(zhì)定理加以說明．兩條直線平行，其中一條直線上的任一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離．平行線之間的距離處處相等．新知講解例3已知平行四邊形的周長是24，相鄰兩邊的長度相差4，求該平行四邊形相鄰兩邊的長．解：設(shè)AB的長為x，則BC的長為x＋4．根據(jù)已知，可得，2（AB＋BC）＝24，即2（x＋x＋4）＝244x

＋8＝24，解得x＝4．所以，該平行四邊形相鄰兩邊的長分別為4和8．新知講解例4已知：如圖，在□ABCD中，∠ADC的平分線與AB相交于點(diǎn)E．求證：BE+BC=CD．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD（平行四邊形的對邊相等），AB∥CD（平行四邊形的對邊平行），∴∠CDE=∠AED．又∵DE是∠ADC的平分線，∴∠ADE=∠CDE，∠ADE=∠AED，∴AD=AE．又∵AD=BC

（平行四邊形的對邊相等），∴

AE=BC．BE+BC=BE+AE=CD．新知講解ADBC如圖□ABCD

的兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）圖中有哪些三角形是全等的？有哪些線段是相等的？（2）能設(shè)法驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？你可以用測量的方法，也可以用復(fù)制紙片并借助旋轉(zhuǎn)的方法．ADBCo新知講解由上題你又能得出平行四邊形怎樣的性質(zhì)？如圖□ABCD

的兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．幾何語言：定理3平行四邊形的對角線互相平分．新知講解已知：如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA=OC，OB=OD.ACDBO3241證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB（ASA）.∴OA=OC，OB=OD.

分析：要證明相等的OA與OC、OB與OD分別屬于△AOB與△COD，因此只需證明這兩個(gè)三角形全等即可.新知講解例5如圖□ABCD的對角線AC和

BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長為15，AB=6，那么對角線AC與BD的和是多少？解：在□ABCD中∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，∴AO+BO=15-6=9．又∵AO=OC，BO=OD(平行四邊形對角線互相平分），∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．新知講解例6如圖□ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB，CD相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．求證：OE=OF．解：∵ABCD是平行四邊形，∴OB=OD(平行四邊形對角線互相平分）．又∵AB∥CD，∴∠EBO=∠FDO．又∵∠EBO=∠DOF，∴△BEO≌△DFO．∴OE=OF．分析：要證明OE=OF，只要證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可．新知講解例7如圖□ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，其周長為16，且△AOB的周長比△BOC的周長小2．求邊AB和BC的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC(平行四邊形對角線互相平分）．∵△AOB的周+2=△BOC的周長，∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，即AB+2=BC．又∵□ABCD的周長=16，∴2（AB+BC)=16，即4AB+4=16．∴AB=3，BC=5．新知講解例8如圖，在□ABCD中，對角線AC=21cm，BE⊥AC，垂足為E

，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之間的距離．解：設(shè)AD和BC之間的距離為xcm，則□ABCD的面積等于AD·x．∴AD·x=AC·BE，即7x=21×5，x=15(cm)，即AD和BC之間的距離為15cm．課堂練習(xí)1．在□ABCD中，∠A=65°，則∠B=

°，∠C=

°，∠D=

°．2．在□ABCD中，AB+CD=28cm．□ABCD的周長等于96cm，

則AB=

，BC=

，

CD=

，

AD=

．

1156511514cm34cm14cm34cm3．已知:□

ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=16cm，BD=12cm，BC=10cm，則□ABCD

的周長是_______，□

ABCD的面積是__________．40cm96cm25．平行四邊形的一邊長為5cm，則它的對角線可能是（）A、4cm和6cmB、4cm和14cmC、4cm和8cm D、12cm和2cm4．在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1C．1：1：2：2 D．2：1：2：1DC課堂練習(xí)6．在□ABCD中，∠A=3∠B，求∠C和∠D的度數(shù)．解:∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．

又已知∠A=3∠B，

則3∠B+∠B=180°．

解得：∠B=45°，∠A=3×45°=135°，

所以∠C=∠A=135°，∠D=∠B=45°．拓展提高7．如圖?ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AO、CO的中點(diǎn)，試判斷線段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解：BE=DF，BE∥DF．證明：∵ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，∴OE=OF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴BE=DF，∠OEB=∠OFD，∴BE∥DF．中考鏈接1、【2018?貴州】如圖，在□ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周長為13cm，則□ABCD的周長為（）A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm2、【2018?江蘇】如圖，在□ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，則∠CDB＝_________．3、【2018?湖北】如圖，已知□ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，則△OCD的周長為_________．D40°14課堂總結(jié)1、平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2、平行四邊形的表示方法：平行四邊形ABCD，

記為“