大學(xué)物理伯努利方程及其應(yīng)用

§2.3伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程給出了作定常流動(dòng)的理想流體中任意兩點(diǎn)或截面上、及高度之間的關(guān)系。一、伯努利方程的推導(dǎo)如圖，取一細(xì)流管，經(jīng)過(guò)短暫時(shí)間△t，截面S1從位置a移到b，截面S2從位置c移到d，S2cS1av1v2ΔtΔtbd流過(guò)兩截面的體積分別為由連續(xù)性原理得在b到ｃ一段中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未變，流體經(jīng)過(guò)△t時(shí)間動(dòng)能變化量：編輯課件流體經(jīng)過(guò)△t時(shí)間勢(shì)能變化量：△t時(shí)間內(nèi)外力對(duì)該段流體做功：由功能原理

：或即上式即為伯努利方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。S1S2ΔtΔtP1P2h1h2編輯課件二、伯努利方程的意義〔1〕伯努利方程的實(shí)質(zhì)是功能原理在流體力學(xué)中的應(yīng)用表示單位體積流體流過(guò)細(xì)流管外壓力所做的功；表示單位體積流體流過(guò)細(xì)流管重力所做的功；表示單位體積流體流過(guò)細(xì)流管后動(dòng)能的變化量；〔2〕伯努利方程應(yīng)用于流體靜力學(xué)即為連通器原理：〔3〕注意統(tǒng)一單位，為國(guó)際單位。適用于理想流體的定常流動(dòng)。〔4〕P、h、v均為可測(cè)量，他們是對(duì)同一流管而言的?！?〕它是流體力學(xué)中的根本關(guān)系式，反映各截面處，P、h、v之間的關(guān)系。編輯課件如下圖，且SB＜＜SA，以A、B兩點(diǎn)為參考點(diǎn)，由選取hB處為參考點(diǎn)，其hB=0,hA=h得三、伯努利方程的應(yīng)用

小孔流速由伯努利方程：0?=BABAvSSv可知，因PA=P0

PB=P0所以即流體從小孔流出的速度與流體質(zhì)量元由液面處自由下落到小孔處的流速大小相等。SASB---托里拆利公式編輯課件左圖是利用虹吸管從水庫(kù)引水的示意圖。虹吸管粗細(xì)均勻，選取A、C作為參考點(diǎn)。虹吸管水庫(kù)表面遠(yuǎn)大于虹吸管截面，由連續(xù)性原理可知，所以此例實(shí)質(zhì)為小孔流速問(wèn)題如果hA－h(huán)B＜0，管內(nèi)流速?zèng)]有意義。如果管口比水庫(kù)面高，在沒(méi)有外界幫助下這種定常流動(dòng)是不可能實(shí)現(xiàn)的。噴霧原理因SA很小，vA增大使PA小于大氣壓，容器內(nèi)流體上升到A處，被高速氣流吹散成霧，這種現(xiàn)象又稱為空吸現(xiàn)象。ACBhAhBhc編輯課件由伯努利方程從U形管中左右兩邊液面高度差可知為U形管中液體密度，為流體密度。皮托管

由上兩式得較適合于測(cè)定氣體的流速。常用如圖示形式的皮托管測(cè)液體的流速hhABAB編輯課件〔測(cè)量管道中液體體積流量〕如左圖所示。當(dāng)理想流體在管道中作定常流動(dòng)時(shí)，由伯努利方程文丘里流量計(jì)

由連續(xù)性原理又管道中的流速hSASB編輯課件∵d1∶d2=2∶1∴S1∶S2=4∶1且v1=1m?s-1

例求解.一水平收縮管，粗、細(xì)處管道的直徑比為2∶1，粗管內(nèi)水的流速為1m?s-1,細(xì)管處水的流速以及粗、細(xì)管內(nèi)水的壓強(qiáng)差。得v2=4v1=4m?s-1又由由S1v1=S2v2

得編輯課件水從圖示的水平管道1中流入，并通過(guò)支管2和3流入管4。如管1中的流量為900cm3?s-1.管1、2、3的截面積均為15cm2,管4的截面積為10cm2,假設(shè)水在管內(nèi)作穩(wěn)恒流動(dòng)，例求解〔1〕管2、3、4的流量;〔2〕管2、3、4的流速;〔3〕管1、4中的壓強(qiáng)差.1234v1v2v3v4(1)由連續(xù)性原理知

Q4=Q1=900cm3?s-1(3)v1=Q1∕S1=900∕15=60cm?s-1由伯努利方程

∵S2=S3

Q2+Q3=Q1∴Q2=Q3=450cm3?s-1(2)v2=v3=Q2∕S2=450∕15=30cm?s-1v4=Q4∕S4=900∕10=90cm?s-1得編輯課件水管里的水在壓強(qiáng)

P=4.0×105Pa

作用下流入室內(nèi)，水管的內(nèi)直徑為2.0cm

，管內(nèi)水的流速為4.0m·s-1。引入5.0m

高處二層樓浴室的水管，內(nèi)直徑為1.0cm

。當(dāng)水龍頭關(guān)閉時(shí)，，由伯努利方程即=3.5×105Pa

S1v1s2v2h2例求解浴室水龍頭關(guān)閉以及完全翻開時(shí)浴室水管內(nèi)的壓強(qiáng)。當(dāng)水龍頭完全翻開后，=2.3×105Pa

即由伯努利方程：翻開水龍頭，管口處的壓強(qiáng)減小，這是水的流動(dòng)導(dǎo)致的結(jié)果。由連續(xù)性方程：S1v1=S2v2編輯課件例求解a、b、c、d

各處壓強(qiáng)及流速。h1h2abcd如圖所示為一虹吸裝置，h1

和h2

及流體密度

已知，由題意可知，va

=0,pa

=pd

=p0選d點(diǎn)所在平面為參考平面，對(duì)a、d兩點(diǎn)應(yīng)用伯努力方程，有解得因b、c、d各點(diǎn)處于截面積相同的同一流管中，所以由連續(xù)性原理，有：對(duì)于a、b

兩點(diǎn)，有對(duì)于a、c

兩點(diǎn)，有得：，編輯課件馬格努斯效應(yīng)vω編輯課件機(jī)翼的升力編輯課件伯努利人物簡(jiǎn)介丹尼爾·伯努利〔1700~1782〕，1700年1月29日生于尼德蘭的格羅寧根。他自幼興趣廣泛、先后就讀于尼塞爾大學(xué)、斯特拉斯堡大學(xué)和海德