小波變換基礎(chǔ)

第9章小波變換根底小波變換的定義給定一個(gè)根本函數(shù)，令〔〕式中均為常數(shù)，且。顯然，是根本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。假設(shè)不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。給定平方可積的信號(hào)，即，那么的小波變換〔WaveletTransform，WT〕定義為〔〕式中和均是連續(xù)變量，因此該式又稱為連續(xù)小波變換〔CWT〕。如無特別說明，式中及以后各式中的積分都是從到。信號(hào)的小波變換是和的函數(shù)，是時(shí)移，是尺度因子。又稱為根本小波，或母小波。是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。這樣，〔〕式的又可解釋為信號(hào)和一族小波基的內(nèi)積。母小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。假設(shè)是實(shí)信號(hào)，也是實(shí)的，那么也是實(shí)的，反之，為復(fù)函數(shù)。在〔〕式中，的作用是確定對(duì)分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。尺度因子的作用是把根本小波作伸縮。我們?cè)?.1節(jié)中已指出，由變成，當(dāng)時(shí)，假設(shè)越大，那么的時(shí)域支撐范圍〔即時(shí)域?qū)挾取齿^之變得越大，反之，當(dāng)時(shí)，越小，那么的寬度越窄。這樣，和聯(lián)合越來確定了對(duì)分析的中心位置及分析的時(shí)間寬度，如圖9.1.1所示。圖根本小波的伸縮及參數(shù)和對(duì)分析范圍的控制(a)根本小波，〔b〕，,(c)不變，,(d)分析范圍這樣，〔〕式的WT可理解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對(duì)作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化正好適應(yīng)了我們對(duì)信號(hào)分析時(shí)在不同頻率范圍所需要不同的分辨率這一根本要求?！病呈街械囊蜃邮菫榱吮ＷC在不同的尺度時(shí)，始終能和母函數(shù)有著相同的能量，即令，那么，這樣，上式的積分即等于。令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為：〔〕由Parsevals定理，〔〕式可重新表為：〔〕此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。9.2小波變換的特點(diǎn)下面，我們從小波變換的恒Q性質(zhì)、時(shí)域及頻率分辨率以及和其它變換方法的比照來討論小波變換的特點(diǎn)，以幫助我們對(duì)小波變換有更深入的理解。比擬〔〕和〔9.1.4〕式對(duì)小波變換的兩個(gè)定義可以看出，如果在時(shí)域是有限支撐的，那么它和作內(nèi)積后將保證在時(shí)域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)我們所希望的時(shí)域定位功能，也即使反映的是在附近的性質(zhì)。同樣，假設(shè)具有帶通性質(zhì)，即圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么和作內(nèi)積后也將反映在中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波，使其在時(shí)域和頻域都是有限支撐的。有關(guān)小波的種類及小波設(shè)計(jì)的問題，我們將在后續(xù)章節(jié)中詳細(xì)討論。由1.3節(jié)可知，假設(shè)的時(shí)間中心是，時(shí)寬是，的頻率中心是，帶寬是，那么的時(shí)間中心仍是，但時(shí)寬變成，的頻譜的頻率中心變?yōu)椋瑤捵兂?。這樣，的時(shí)寬－帶寬積仍是，與無關(guān)。這一方面說明小波變換的時(shí)－頻關(guān)系也受到不定原理的制約，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波變換的一個(gè)性質(zhì)，也即恒Q性質(zhì)。定義=帶寬/中心頻率()為母小波的品質(zhì)因數(shù)，對(duì)，其帶寬/中心頻率=因此，不管為何值，始終保持了和具有性同的品質(zhì)因數(shù)。恒Q性質(zhì)是小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)，也是區(qū)別于其它類型的變換且被廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。圖說明了和的帶寬及中心頻率隨變化的情況。圖隨變化的說明；(a)，(b)，(c)將圖和圖9.1.2結(jié)合起來，我們可看到小波變換在對(duì)信號(hào)分析時(shí)有如下特點(diǎn)：當(dāng)變小時(shí)，對(duì)的時(shí)域觀察范圍變窄，但對(duì)在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)，如圖9.所示。反之，當(dāng)變大時(shí)，對(duì)的時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng)，如圖9.2.1b所示。將圖9.1.1和9.2.1所反映的時(shí)－頻關(guān)系結(jié)合在一起，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時(shí)寬、帶寬、時(shí)間中心和頻率中心的關(guān)系，如圖9.2.2所示。00圖9.2.2由于小波變換的恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖中三個(gè)時(shí)、頻分析區(qū)間〔即三個(gè)矩形〕的面積保持不變。由此我們看到，小波變換為我們提供了一個(gè)在時(shí)、頻平面上可調(diào)的分析窗口。該分析窗口在高頻端〔圖中處〕的頻率分辨率不好〔矩形窗的頻率邊變長〕，但時(shí)域的分辨率變好〔矩形的時(shí)間邊變短〕；反之，在低頻端〔圖中處〕，頻率分辨率變好，而時(shí)域分辨率變差。但在不同的值下，圖9.2.2中分析窗的面積保持不變，也即時(shí)、頻分辨率可以隨分析任務(wù)的需要作出調(diào)整。眾所周知，信號(hào)中的高頻成份往往對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等。對(duì)這一類信號(hào)分析時(shí)那么要求時(shí)域分辨率要好以適應(yīng)快變成份間隔短的需要，對(duì)頻域的分辨率那么可以放寬，當(dāng)然，時(shí)、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。與此相反，低頻信號(hào)往往是信號(hào)中的慢變成份，對(duì)這類信號(hào)分析時(shí)一般希望頻率的分辨率要好，而時(shí)間的分辨率可以放寬，同時(shí)分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自動(dòng)滿足這些客觀實(shí)際的需要?？偨Y(jié)上述小波變換的特點(diǎn)可知，當(dāng)我們用較小的對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，我們實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀察，當(dāng)我們用較大的對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀察。如上面所述，小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對(duì)信號(hào)作實(shí)際分析時(shí)的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。現(xiàn)在我們來討論一下小波變換和前面幾章所討論過的其它信號(hào)分析方法的區(qū)別。我們知道，傅里葉變換的基函數(shù)是復(fù)正弦。這一基函數(shù)在頻域有著最正確的定位功能〔頻域的函數(shù)〕，但在時(shí)域所對(duì)應(yīng)的范圍是~，完全不具備定位功能。這是FT的一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)。人們希望用短時(shí)傅里葉變換來彌補(bǔ)FT的缺乏。重寫〔〕式，即()Ω由于該式中只有窗函數(shù)的位移而無時(shí)間的伸縮，因此，位移量的大小不會(huì)改變復(fù)指數(shù)的頻率。同理，當(dāng)復(fù)指數(shù)由變成〔即頻率發(fā)生變化〕時(shí)，這一變化也不會(huì)影響窗函數(shù)。這樣，當(dāng)復(fù)指數(shù)的頻率變化時(shí)，STFT的基函數(shù)的包絡(luò)不會(huì)改變，改變的只是該包絡(luò)下的頻率成份。這樣，當(dāng)由變化成時(shí)，對(duì)分析的中心頻率改變，但分析的頻率范圍不變，也即帶寬不變。因此，STFT不具備恒QΩ性質(zhì)，當(dāng)然也不具備隨著分辨率變化而自動(dòng)調(diào)節(jié)分析帶寬的能力，如下圖。圖中.22Ω0Ω0/2Ω0u圖STFT的時(shí)－頻分析區(qū)間(a)，，(b)是的FT，是的FT，(c)在不同的和處，時(shí)寬、帶寬均保持不變我們?cè)诘诹恋诎苏滤懻摰腗通道最大抽取濾波器組是將分成M個(gè)子帶信號(hào)，每一個(gè)子帶信號(hào)需有相同的帶寬，即，其中心頻率依次為,〔注：假設(shè)是DFT濾波器組，那么中心頻率在,〕，且這M個(gè)子帶信號(hào)有著相同的時(shí)間長度。在小波變換中，我們是通過調(diào)節(jié)參數(shù)來得到不同的分析時(shí)寬和帶寬，但它不需要保證在改變時(shí)使所得到的時(shí)域子信號(hào)有著相同的時(shí)寬或帶寬。這是小波變換和均勻?yàn)V波器組的不同之處。但小波變換和7.9節(jié)討論過的樹狀濾波器組在對(duì)信號(hào)的分析方式上極其相似。由后面的討論可知，離散小波變換是通過“多分辨率分析〞來實(shí)現(xiàn)的，而“多分辨率分析〞最終是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)的。由〔〕式，定義()為信號(hào)的“尺度圖〔scalogram〕〞。它也是一種能量分布，但它是隨位移和尺度的能量分布，而不是簡單的隨的能量分布，即我們?cè)诘诙轮恋谒恼滤懻摰臅r(shí)－頻分布。但由于尺度間接對(duì)應(yīng)頻率〔小對(duì)應(yīng)高頻，大對(duì)應(yīng)低頻〕，因此，尺度圖實(shí)質(zhì)上也是一種時(shí)－頻分布。綜上所述，由于小波變換具有恒Q性質(zhì)及自動(dòng)調(diào)節(jié)對(duì)信號(hào)分析的時(shí)寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此被人們稱為信號(hào)分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡〞。小波變換是八十年代后期開展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。法國數(shù)學(xué)家Y.Meyer，地質(zhì)物理學(xué)家J.Morlet和理論物理學(xué)家A.Grossman對(duì)小波理論作出了突出的奉獻(xiàn)。法國學(xué)者I.Daubechies和S.Mallat在將小波理論引入工程應(yīng)用，特別是信號(hào)處理領(lǐng)域起到了重要的作用。人們稱這些人為“法國學(xué)派〞。在小波理論中一些有影響的教科書如文獻(xiàn)[3,5,8,16]等，一些有影響的論文如文獻(xiàn)[42,43,51,52,53,87,88,105,116]等。國內(nèi)從工程應(yīng)用的目的較為全面地介紹小波理論的著作見文獻(xiàn)[21]，結(jié)合MATLAB介紹小波理論的著作見文獻(xiàn)[18].9.3連續(xù)小波變換的計(jì)算性質(zhì)1．時(shí)移性質(zhì)假設(shè)的CWT是，那么的CWT是。該結(jié)論極易證明。記，那么〔〕尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)如果的CWT是，令，那么〔〕證明：，令，那么該性質(zhì)指出，當(dāng)信號(hào)的時(shí)間軸按作伸縮時(shí)，其小波變換在和兩個(gè)軸上同時(shí)要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一表達(dá)。微分性質(zhì)如果的CWT是，令，那么〔〕證明：由〔〕式的移位性質(zhì)，有即兩個(gè)信號(hào)卷積的CWT，令的CWT分別是及，并令，那么〔〕式中符號(hào)表示對(duì)變量作卷積。證明：再由〔〕式的移位性質(zhì)，有同理，于是〔〕式得證。兩個(gè)信號(hào)和的CWT令的CWT分別是，且，那么〔9.〕同理，如果，那么〔b〕〔〕式說明兩個(gè)信號(hào)和的CWT等于各自CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理?？吹絎T的這一性質(zhì)，估計(jì)讀者馬上會(huì)想到WVD中的交叉項(xiàng)問題。由〔9.3.5〕式看來，似乎小波變換不存在交叉項(xiàng)。但實(shí)際上并非如此。〔9.1.2〕式所定義的CWT是“線性〞變換，即只在式中出現(xiàn)一次，而在〔3.1.2〕式的WVD表達(dá)式中出現(xiàn)了兩次，即，所以，我們稱以Wigner分布為代表的一類時(shí)－頻分布為“雙線性變換〞。正因?yàn)槿绱?，是信?hào)能量的分布。與之相比照，小波變換的結(jié)果不是能量分布。但小波變換的幅平方，即〔9.2.7〕式的尺度圖那么是信號(hào)能量的一種分布。將代入(9.2.7)式，可得：()式中分別是和的幅角。證明：由于后兩項(xiàng)互為共軛，因此必有〔〕式.〔〕式說明在尺度圖中同樣也有交叉項(xiàng)存在，但該交叉項(xiàng)的行為和WVD中的交叉項(xiàng)稍有不同。我們?cè)?.5節(jié)中已指出，WVD的交叉項(xiàng)位于兩個(gè)自項(xiàng)的中間，即位于處，分別是兩個(gè)自項(xiàng)的時(shí)－頻中心。由〔9.3.3〕式可以得出，尺度圖中的交叉項(xiàng)出現(xiàn)在和同時(shí)不為零的區(qū)域，也即是真正相互交疊的區(qū)域中，這和WVD有著明顯的區(qū)別?？梢宰C明【錢，書】，同一信號(hào)的WVD和其尺度圖有如下關(guān)系：〔〕式中是母小波的WVD，該式揭示了WVD和WT之間的關(guān)系，這說明cohen類的時(shí)－頻分布和小波變換有著非常密切的內(nèi)在聯(lián)系。小波變換的內(nèi)積定理定理9.1設(shè)和，的小波變換分別是和，那么〔〕式中〔〕為的傅里葉變換。證明：由〔〕式關(guān)于小波變換的頻域定義，〔9.3.8〕式的左邊有：假定積分存在，再由Parseval定理，上述的推導(dǎo)最后為于是定理得證?！病呈綄?shí)際上可看作是小波變換的Parseval定理。該式又可寫成更簡單的形式,即()進(jìn)一步，如果令，由〔〕式，有()該式更清楚地說明，小波變換的幅平方在尺度－位移平面上的加權(quán)積分等于信號(hào)在時(shí)域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號(hào)能量時(shí)－頻分布的一種表示形式?！病澈汀?.3.11〕式中對(duì)的積分是從，這是因?yàn)槲覀兗俣倿檎?。這兩個(gè)式子中出現(xiàn)的是由于定義小波變換時(shí)在分母中出現(xiàn)了，而式中又要對(duì)作積分所引入的。讀者都熟知傅里葉變換中的Parseval定理，即時(shí)域中的能量等于頻域中的能量。但小波變換的Parseval定理稍為復(fù)雜，它不但要有常數(shù)加權(quán)，而且以的存在為條件。下述定理給出了連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件。定理9.2設(shè)，記為的傅里葉變換，假設(shè)那么可由其小波變換來恢復(fù)，即()證明：設(shè)，,那么將它們分別代入〔〕式的兩邊，再令，于是有于是定理得證。在定理9.1和定理9.2中，結(jié)論的成立都是以<為前提條件的?！病呈接址Q為“容許條件〔admissibilitycondition〕。該容許條件含有多層的意思：并不是時(shí)域的任一函數(shù)都可以充當(dāng)小波。其可以作為小波的必要條件是其傅里葉變換滿足該容許條件；2.由〔〕式可知，假設(shè)，那么必有，否那么必趨于無窮。這等效地告訴我們，小波函數(shù)必然是帶通函數(shù)；由于，因此必有()這一結(jié)論指出，的取值必然是有正有負(fù)，也即它是振蕩的。以上三條給我們勾畫出了作為小波的函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征，即是一帶通函數(shù)，它的時(shí)域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時(shí)－頻定位的角度，我們總希望是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時(shí)域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波〔wavelet〕的原因。由上述討論，自然應(yīng)和一般的窗函數(shù)一樣滿足：〔〕由后面的討論可知，尺度常按來離散化，.由〔〕式，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換，由于我們需要在不同的尺度下對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，同時(shí)也需要在該尺度下由來重建，因此要求是有界的，當(dāng)由時(shí)，應(yīng)有()式中。該式稱為小波變換的穩(wěn)定性條件，它是在頻域?qū)π〔ê瘮?shù)提出的又一要求。滿足〔〕式的小波稱作“二進(jìn)〔dyadic〕〞小波。重建核與重建核方程我們?cè)谏弦还?jié)指出，并不是時(shí)域任一函數(shù)都可以用作小波?？梢宰鳛樾〔ǖ暮瘮?shù)至少要滿足〔〕式的容許條件。與此結(jié)論相類似，并不是平面上的任一二維函數(shù)都對(duì)應(yīng)某一函數(shù)的小波變換。如果是某一時(shí)域信號(hào)，如的小波變換，它應(yīng)滿足一定的條件，此即本節(jié)要討論的內(nèi)容。設(shè)是平面上的任一點(diǎn)，上的二維函數(shù)欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即〔〕式中是在處的值，〔〕稱為重建核。證明：由〔〕式小波變換的定義，有將〔〕式代入該式，有此即〔〕和〔9.5.2〕式?！病呈降闹亟ê朔匠毯汀?.5.2〕式的重建核公式說明，假設(shè)是的小波變換，那么在平面上某一點(diǎn)處小波變換的值可由半平面上的值來表示，也即，是半平面上的總奉獻(xiàn)。既然平面上各點(diǎn)的可由〔9.5.1〕式互相表示，因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的，也即〔9.4.1〕式對(duì)的重建是存在信息冗余的。這一結(jié)論告訴我們可以用平面上離散柵格上的來重建，以消除重建過程中的信息冗余。在第二章中已指出，當(dāng)用的短時(shí)傅里葉變換來重建時(shí)，平面上的信息也是有冗余的，即平面上各點(diǎn)的是相關(guān)的，因此引出了離散柵格上的STFT，如〔〕式，進(jìn)一步的開展即是信號(hào)的Gabor展開與Gabor變換。由此可以得出，將一個(gè)一維的函數(shù)映射為一個(gè)二維函數(shù)后，在二維平面上往往會(huì)存在信息的冗余，由此引出了二維函數(shù)的離散化問題及標(biāo)架理論。有關(guān)離散小波變換及小波標(biāo)架的內(nèi)容將在本章的最后兩節(jié)來討論。重建核是小波和處的小波的內(nèi)積，因此反映了和的相關(guān)性。假設(shè)，即兩個(gè)小波重合時(shí)，取最大值；假設(shè)遠(yuǎn)離，那么將迅速減小。假設(shè)能保證，那么平面上各點(diǎn)小波變換的值將互不相關(guān)。這等效地要求對(duì)任意的尺度及位移，由母小波形成的一族是兩兩正交的?？梢韵胂螅僭O(shè)連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波使兩兩正交，那將是非常困難地。因此，連續(xù)小波變換的必然存在信息冗余。然而，當(dāng)離散取值時(shí)，那么有可能得到一族正交小波基。由前兩節(jié)的討論可知，作為一個(gè)小波的函數(shù)，它一定要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，當(dāng)然，假設(shè)時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個(gè)折中。此外，我們希望由母小波形成的是兩兩正交的，或是雙正交的；進(jìn)一步，我們希望有高階的消失矩，希望與相關(guān)的濾波器具有線性相位，等等。我們可以根據(jù)上述要求對(duì)現(xiàn)已提出的大量的小波函數(shù)作一粗略地分類。在下面的分類中，第一類是所謂地“經(jīng)典小波〞，在MATLAB中把它們稱作“原始〔Crude〕小波〞。這是一批在小波開展歷史上比擬有名的小波；第二類是Daubecheis構(gòu)造的正交小波，第三類是由Cohen，Daubechies構(gòu)造的雙正交小波。經(jīng)典類小波Haar小波Haar小波來自于數(shù)學(xué)家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是：〔〕其波形如圖〔a〕所示。的傅里葉變換是：〔〕Haar小波有很多好的優(yōu)點(diǎn)，如：Haar小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為〔0，1〕；假設(shè)取，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時(shí)也是兩兩正交的，即如圖(b)和(c)所示。所以Haar小波屬正交小波；Haar波是對(duì)稱的。我們知道，離統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)假設(shè)具有對(duì)稱性，那么該系統(tǒng)具有線性相位，這對(duì)于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一個(gè)既具有對(duì)稱性又是有限支撐的正交小波；〔4〕Haar小波僅?。?和－1，因此計(jì)算簡單。但Haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在處只有一階零點(diǎn)，這就使得Haar小波在實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。但由于Haar小波有上述的多個(gè)優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。圖Harr小波，(a)，(b)，(c)Morlet小波定義為()其傅里葉變換〔〕它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)，所以在MATLAB中將〔〕式改造為：〔〕并取。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是當(dāng)，或再取更大的值時(shí)，和在時(shí)域和頻域都具有很好的集中，如下圖。Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對(duì)稱的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。圖Morlet小波，(a)時(shí)域波形，(b)頻譜3.Mexicanhat小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽〞小波，又稱Marr小波。它定義為()式中，其傅里葉變換為()該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和其頻譜如下圖。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對(duì)稱的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在處有二階零點(diǎn)，因此它滿足容許條件，且該小波比擬接近人眼視覺的空間響應(yīng)特征，因此它在1983年即被用于計(jì)算機(jī)視覺中的圖像邊緣檢測[131,75]。圖墨西哥草帽小波，(a)時(shí)域波形，(b)頻譜4．Gaussian小波高斯小波是由一根本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為：，()式中定標(biāo)常數(shù)是保證。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng)取偶數(shù)時(shí)正對(duì)稱，當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，反對(duì)稱。圖給出了時(shí)的的時(shí)域波形及對(duì)應(yīng)的頻譜。圖高斯小波，取，(a)時(shí)域波形，(b)頻譜正交小波目前提出的正交小波大致可分為四種，即Daubechies小波，對(duì)稱小波，Coiflets小波和Meyer小波。這些正交小波和前面所討論的“經(jīng)典小波〞不同，它們一般不能由一個(gè)簡潔的表達(dá)式給出，而是通過一個(gè)叫做“尺度函數(shù)〔Scallingfunction〕〞的的加權(quán)組合來產(chǎn)生的。尺度函數(shù)是小波變換的又一個(gè)重要概念。由下一章的討論可知，小波函數(shù)，尺度函數(shù)同時(shí)和一個(gè)低通濾波器及高通濾波器相關(guān)連，和可構(gòu)成一個(gè)兩通道的分析濾波器組。這些內(nèi)容構(gòu)成了小波變換的多分辨率分析的理論根底。因此，在討論正交小波時(shí)，同時(shí)涉及到尺度函數(shù)，分析濾波器組，及綜合濾波器組，。MATLAB中的WaveletToolbox中有相關(guān)的軟件來產(chǎn)生各類正交小涉及其相應(yīng)的濾波器。1．Daubechies小波Daubechies小波簡稱db小波。它是由法國女學(xué)者IngridDauechies于90年代初提出并構(gòu)造的。Daubechies對(duì)小波變換的理論做出了突出的奉獻(xiàn)，特別是在尺度取2的整數(shù)次冪時(shí)的小波理論及正交小波的構(gòu)造方面進(jìn)行了深入的研究，其代表作《TenLecturesonWavelet〔小波十講〕》深受同行們的歡送。dbN中的表示db小波的階次，.當(dāng)時(shí)，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波應(yīng)歸于“正交小波〞類。Daubechies計(jì)算出了時(shí)的及。在MATLAB5.3中，的階次還可以擴(kuò)展。db小波是正交小波，當(dāng)然也是雙正交小波，并是緊支撐的。的支撐范圍在，的支撐范圍在。小波具有階消失矩，在處具有階零點(diǎn)。但db小波是非對(duì)稱的，其相應(yīng)的濾波器組屬共軛正交鏡像濾波器組〔CQMFB〕。圖給出了時(shí)，，及，的波形。有關(guān)db小波的構(gòu)造等更多內(nèi)容見第十一章。2.對(duì)稱小波對(duì)稱小波簡記為symN，，它是db小波的改良，也是由Daubechies提出并構(gòu)造的。它除了有db小波的特點(diǎn)外，主要是是接近對(duì)稱的，因此，所用的濾波器可接近于線性相位。圖是時(shí)的對(duì)稱小波。3.Coiflets小波該小波簡記為coifN，.在db小波中，Daubechies小波僅考慮了使小波函數(shù)具有消失矩〔階〕，而沒考慮尺度函數(shù)。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建議，希望能構(gòu)造出使也具有高階消失矩的正交緊支撐小波。Daubechies接受了這一建議，構(gòu)造出了這一類小波，并以Coifman的名字命名。coifN是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為，也是接近對(duì)稱的。的消失矩是，的消失矩是。圖是時(shí)的coif4小波。圖時(shí)db小波，(a)，(b)，(c)，(d)圖時(shí)的對(duì)稱小波，(a)，(b)圖時(shí)的Coiflets小波，(a)，(b)4．Meyer小波Meyer小波簡記為meyr，它是由Meyer于1986年提出的【】。該小波無時(shí)域表達(dá)式，它是由一對(duì)共軛正交鏡像濾波器組的頻譜來定義的，詳細(xì)內(nèi)容見第十一章。Meyer小波是正交、雙正交的，但不是有限支撐的，但其有效的支撐范圍在[－8，8]之間。該小波是對(duì)稱的，且有著非常好的規(guī)那么性。圖給出了Meyer小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。圖Meyer小波，(a)，(b)雙正交小波我們?cè)诘谄哒乱阎赋?，兩通道正交鏡像濾波器組具有仿酋性質(zhì)。滿足這一條件的分析濾波器和是功率對(duì)稱的，且和之間有著〔〕和〔7.4.12〕式的正交性，再是，，和有著同樣的長度，都不是線性相位的。為了取得線性相位的濾波器組，我們需放棄的功率互補(bǔ)性質(zhì)。這也就放棄了和之間的正交性，代之的是雙正交關(guān)系。由于離散小波變換最后是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)。因此，正交小波條件下的，和與都不具有線性相位〔Haar小波除外〕。為此，Daubechies和Cohen提出并構(gòu)造了雙正交小波【】，其目的是在放寬小波正交性的條件下得到線性相位的小涉及相應(yīng)的濾波器組。雙正交濾波器組簡稱biorNr,Nd，其中是低通重建濾波器的階次，是低通分解濾波器的階次。在MATLAB中，和的可能組合是：=1,=1,3,5=2,=2,4,6,8=3,=1,3,5,7,9=4,=4=5,=5=6,=8這一類小波自然不是正交的，但它們是雙正交的，是緊支撐的，更主要的是它們是對(duì)稱的，因此具有線性相位。分解小波的消失矩為。圖給出的bior3.7的分解小波、尺度函數(shù)及重建小波和尺度函數(shù)。圖雙正交小波bior3.7(a)分解尺度函數(shù)，(b)分解小波，(c)重建尺度函數(shù)，(d)重建小波在〔〕式關(guān)于小波變換的定義中，變量，和都是連續(xù)的，當(dāng)我們?cè)谟?jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)信號(hào)的小波變換時(shí)，，和均應(yīng)離散化。對(duì)離散化最常用的方法是取，并取，這樣。對(duì)于按2的整次冪取值所得到的小波習(xí)慣上稱之為“二進(jìn)〔dyadic〕〞小波。對(duì)這一類小波的小波變換，我們可用第十章的有關(guān)離散小波變換的方法來實(shí)現(xiàn)。然而取，在實(shí)際工作中有時(shí)顯得尺度跳躍太大。當(dāng)希望任意取值，也即在的范圍內(nèi)任意取值時(shí)，這時(shí)的小波變換即是連續(xù)小波變換。計(jì)算〔〕式的最簡單的方法是用數(shù)值積分的方法，即，令()由于在的區(qū)間內(nèi)，，所以上式又可寫為：()由該式可以看出，小波變換可看作是和的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中間變量是，卷積后的變量為及。MATLAB中的cwt.m即是按此思路來實(shí)現(xiàn)的。具體過程大致如下：1.先由指定的小波名稱得到母小涉及其時(shí)間軸上的刻度，假定刻度長為；2.從時(shí)間軸坐標(biāo)的起點(diǎn)開始求積分，；由尺度確定對(duì)上述積分值選擇的步長，越大，上述積分值被選中的越多；求和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成〔〕式。本方法的缺乏之處是在變化時(shí)，〔〕式中括號(hào)內(nèi)的積分、差分后的點(diǎn)數(shù)不同，也即和卷積后的點(diǎn)數(shù)不同。解決的方法是在不同的尺度下對(duì)作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撐范圍內(nèi)的點(diǎn)數(shù)始終相同。有關(guān)CWT快速計(jì)算的方法還可借助于CZT及梅林變換等方法，詳細(xì)內(nèi)容見文獻(xiàn)[21]，此處不再討論。例令為一正弦加噪聲信號(hào)，它取自MATLAB中的noissin.mat。對(duì)該信號(hào)作CWT，分別等于2和128，時(shí)，小波變換的結(jié)果對(duì)應(yīng)信號(hào)中的高頻成份，時(shí)，小波變換對(duì)應(yīng)信號(hào)中的低頻成份。其原始信號(hào)及變換結(jié)果見圖9.7.1(a)，(b)和〔c〕。例“noissin〞，對(duì)其作CWT時(shí)分別取10，30，60，90，120及150。所得到的圖9.7.2是在各個(gè)尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移〔水平軸〕處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對(duì)小波變換的結(jié)果具有不同的表示方式。圖信號(hào)“noissin〞的小波變換，(a)原信號(hào)，(b)，(c)圖多尺度下小波變換的灰度表示我們?cè)凇病呈蕉x了信號(hào)的連續(xù)小波變換，式中，和都是連續(xù)變量。為了在計(jì)算機(jī)上有效地實(shí)現(xiàn)小波變換，自然應(yīng)取離散值，和也應(yīng)取離散值。從減少信息冗余的角度，和也沒有必要連續(xù)取值。和形成了一個(gè)二維的“尺度－位移〞平面。前已述及，越大，對(duì)應(yīng)的頻率越低，反之，對(duì)應(yīng)的頻率越高。因此，平面也可視為“時(shí)－頻平面〞。對(duì)同一個(gè)信號(hào)，我們已給出過不同的表示形式，如STFT，Gabor變換，WVD及本章的小波變換?，F(xiàn)重寫幾個(gè)有關(guān)的公式，即()()()()其中〔〕式是用時(shí)－頻平面離散柵格上的點(diǎn)來表示，即Gabor展開，〔9.8.3〕式是具有雙線性變換的表示形式，它和其它三種表示形式有較大的區(qū)別?！?.8.1〕和〔9.8.4〕式說明同一信號(hào)在時(shí)－頻平面上具有不同的表示形式。在第二章已指出，〔9.8.1〕式的反變換是有信息冗余的，即不需要的所有的值即可恢復(fù)。同理，〔9.8.4〕式的小波變換也存在著信息冗余。在這兩個(gè)式子中，我們只需取時(shí)－頻平面上的離散柵格處的點(diǎn)即可。問題的關(guān)鍵是如何決定和抽樣的步長以保證對(duì)的準(zhǔn)確重建。下面，我們首先考慮尺度的離散化，然后再考慮和的同時(shí)離散化。尺度離散化的小波變換目前通用的對(duì)離散化的方法是按冪級(jí)數(shù)的形式逐步加大，即令。假設(shè)取，那么()稱為“半離散化二進(jìn)小波〞，而()稱為二進(jìn)小波變換。設(shè)母小波的中心頻率為，帶寬為，當(dāng)時(shí)，的中心頻率變?yōu)?，帶寬。假設(shè)時(shí)，的中心頻率和帶寬分別是：，。從對(duì)信號(hào)作頻域分析的角度，我們希望當(dāng)由變成時(shí)，和在頻域?qū)?yīng)的分析窗和能夠相連接。這樣，當(dāng)由變至無窮時(shí)，的傅里葉變換可以覆蓋整個(gè)軸。顯然，假設(shè)令母小波的，那么上面兩個(gè)頻域窗首尾相連，即和首尾相連。通過對(duì)母小波作適宜的調(diào)制，可以方便地做到?，F(xiàn)在，我們來討論如何由〔〕式的來恢復(fù)，設(shè)是的對(duì)偶小波，并令和取類似的形式，即()這樣，通過對(duì)偶小波，我們希望能重建：()為了尋找和應(yīng)滿足的關(guān)系，現(xiàn)對(duì)上式作如下改變：式中代表求傅里葉變換。由〔〕和〔9.1.4〕式，有()顯然，假設(shè)()那么〔〕式的右邊變成的傅里葉反變換，自然就是。9.4節(jié)已指出，對(duì)于滿足容許條件的小波，當(dāng)時(shí)，其二進(jìn)制小波對(duì)應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足〔〕式的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合〔9.4.4〕和〔9.8.10〕式，我們可由下式得到對(duì)偶小波:()由于〔〕式的分母滿足〔9.4.4〕式，因此有()這樣，對(duì)偶小波也滿足穩(wěn)定性條件，也即，我們總可以找到一個(gè)“穩(wěn)定的〞對(duì)偶小波由〔〕式重建出。下面的定理更完整地答復(fù)了在半離散二進(jìn)小波變換情況下的重建問題。如果存在常數(shù)，使得()那么()如果滿足()那么()該定理指出，假設(shè)的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，那么在上的小波變換的幅平方的和是有界的。進(jìn)而，和的傅里葉變換假設(shè)滿足〔〕式〔也即〔9.8.10〕式〕，那么可由〔9.8.16〕式重建?？傊?，假設(shè)滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進(jìn)小波變換總可以重建，也即一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對(duì)偶小波不一定是唯一的。如何構(gòu)造“好〞的小涉及得到唯一的對(duì)偶小波是小波理論中的重要內(nèi)容。我們將再第十一章詳細(xì)討論。文獻(xiàn)[10]證明了假設(shè)〔〕式的穩(wěn)定性條件滿足，那么〔9.3.9〕式的容許條件必定滿足，且()從而，由連續(xù)小波變換總可以恢復(fù)，也即〔〕式總是成立。以上討論的是僅對(duì)作二進(jìn)制離散化的情況，現(xiàn)在考慮和同時(shí)離散化的相應(yīng)理論問題。離散柵格上的小波變換令，我們可實(shí)現(xiàn)對(duì)的離散化。假設(shè)，那么。欲對(duì)離散化，最簡單的方法是將均勻抽樣，如令，的選擇應(yīng)保證能由來恢復(fù)出。當(dāng)時(shí)，將由變成時(shí)，即是將擴(kuò)大了倍，這時(shí)小波的中心頻率比的中心頻率下降了倍，帶寬也下降了倍。因此，這時(shí)對(duì)抽樣的間隔也可相應(yīng)地?cái)U(kuò)大倍。由此可以看出，當(dāng)尺度分別取時(shí)，對(duì)的抽樣間隔可以取，這樣，對(duì)和離散化后的結(jié)果是：()對(duì)給定的信號(hào)，〔〕式的連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小波變換，即()此式稱為“離散小波變換〔DiscreteWaveletTransform，DWT〕〞。注意式中仍是連續(xù)變量。這樣，平面上離散柵格的取點(diǎn)如下圖。圖中取，尺度軸取以2為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)。由該圖可看出小波分析的“變焦距〞作用，即在不同的尺度下〔也即不同的頻率范圍內(nèi)〕，對(duì)時(shí)域的分析點(diǎn)數(shù)是不相同的。圖DWT取值的離散柵格記，我們可以仿照傅里葉級(jí)數(shù)和Gabor展開那樣來重建，即()該式稱為小波級(jí)數(shù)，稱為小波系數(shù)，是的對(duì)偶函數(shù)，或?qū)ε夹〔?。我們知道，?duì)任一周期信號(hào)，假設(shè)周期為，且，那么可展成傅里葉級(jí)數(shù)，即(9.)式中是的傅里葉系數(shù)，它由下式求出：(b)小波級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)形式上類似，但其物理概念卻有著明顯的不同：傅里葉級(jí)數(shù)的基函數(shù)，是一組正交基，即。而小波級(jí)數(shù)所用的一族函數(shù)不一定是正交基，甚至不一定是一組“基〞；對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即都是〔差一負(fù)號(hào)〕；對(duì)小波級(jí)數(shù)來說，分析所用的函數(shù)是可變的，且分析和重建所用的函數(shù)是不相同的，即分析時(shí)是，而重建時(shí)是；在傅里葉級(jí)數(shù)中，時(shí)域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級(jí)數(shù)在軸上的離散化是不等距的，這正表達(dá)了小波變換“變焦〞和“恒Q〞性的特點(diǎn)。將〔〕式的連續(xù)小波變換改變成〔9.8.19〕式的離散小波變換，人們自然會(huì)問：一族小波函數(shù)，在空間上是否是完備的？所謂完備，是指對(duì)任一，它都可以由這一組函數(shù)〔即〕來表示；如果是完備的，那么對(duì)的表示是否有信息的冗余？如果是完備的，那么對(duì)和的抽樣間隔如何選取才能保證對(duì)的表示不存在信息的冗余？Daubechies對(duì)上述問題進(jìn)行了深入的研究，給出了“小波標(biāo)架〞的理論[5]，現(xiàn)介紹一下其中主要的結(jié)論。小波標(biāo)架理論介紹我們?cè)?.8節(jié)給出了標(biāo)架的根本理論，其要點(diǎn)是：假設(shè)是Hilbert空間中的一組向量，對(duì)給定的，假設(shè)存在常數(shù)，滿足()那么構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)架；假設(shè)，那么稱為緊標(biāo)架，假設(shè)，那么構(gòu)成一正交基；定義標(biāo)架算子為()那么()記為的對(duì)偶函數(shù)族，那么也構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架，標(biāo)架界分別為和；用標(biāo)架來表征一個(gè)信號(hào)，也即對(duì)作分解時(shí)，標(biāo)架可給出完備的且是穩(wěn)定的表示，但這種表示是冗余的，即之間是線性相關(guān)的，因此不是唯一的。對(duì)信號(hào)的冗余表示有時(shí)并不一定是壞事，它在表示的穩(wěn)定性、對(duì)噪聲的魯棒性〔robustness〕方面都優(yōu)于正交基[5]；標(biāo)界邊界和之比值，即稱為冗余比。在實(shí)際工作中，總希望接近于1，即為緊標(biāo)架。當(dāng)時(shí)，我們有()將以上要點(diǎn)內(nèi)容用于小波變換，即得小波標(biāo)架。在〔〕式中，令，，我們從而得到了一族在尺度和位移上均是離散的小波。能否由離散小波變換來重建，顯然取決于和。和越小，重建越容易，當(dāng)然冗余度也越大，對(duì)不同的是線性相關(guān)的，這時(shí)將有無數(shù)的存在。當(dāng)然，，過大，準(zhǔn)確重建將不會(huì)可能。下面兩個(gè)定理給出了小波標(biāo)架的主要內(nèi)容。定理9.5如果構(gòu)成中的一個(gè)標(biāo)架，且標(biāo)架邊界分別為和，那么母小波須滿足：(9.)及(b)該定理的證明見文獻(xiàn)[5]。該定理又稱構(gòu)成標(biāo)架的必要條件。這一條件實(shí)際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。當(dāng)僅對(duì)取二進(jìn)制離散化，保持連續(xù)〔即節(jié)的內(nèi)容〕時(shí)，該必要條件也就是充分條件。假設(shè)構(gòu)成緊標(biāo)架，即，那么，其標(biāo)架邊界()假設(shè)構(gòu)成中正交基，那么()定義()及()如果和的選取保證(9.)及(b)那么是中的一個(gè)標(biāo)架。、分別是標(biāo)架界和的下界與上界。此定理的證明仍見文獻(xiàn)[