專題04 難點(diǎn)探究專題：化簡(jiǎn)絕對(duì)值之四大考點(diǎn)(原卷版)

專題04難點(diǎn)探究專題：化簡(jiǎn)絕對(duì)值之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 1【考點(diǎn)二分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 5【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 10【考點(diǎn)四解絕對(duì)值方程】 18【典型例題】【考點(diǎn)一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知三數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．

2．（2022秋·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)a0；0；0（用“＞”“＜”“＝”填空）；(2)試化簡(jiǎn)：．3．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上兩點(diǎn)、表示的有理數(shù)分別為、．(1)________0，________0．（填“”或“”）(2)化簡(jiǎn)：．4．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：(1)比較大?。ㄌ睢啊被颉啊碧?hào)）．①______；②______；③______；(2)化簡(jiǎn)：．5．（2022秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)判斷下列式子的符號(hào)；（填“>”，“<”）①a______0；

②b______0；

③______0；

④______0；(2)比較下列式子的大小，用“<”連接；；；；；；．(3)化簡(jiǎn)．6．（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡(jiǎn)：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【考點(diǎn)二分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）若，則．2．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?、，那么＝3．（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．4．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如果a，b，c是非零有理數(shù)，求式子的所有可能的值．5．（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_______；當(dāng)時(shí)，則_______．(2)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．(3)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值．【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_____；表示和1兩點(diǎn)之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是______，最小距離是_____．(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與之間，則_____．(5)當(dāng)_____時(shí)，的值最小，最小值是_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)探究：①數(shù)軸上表示7和3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；③數(shù)軸上表示和5的兩點(diǎn)之間的距離是．(2)歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．(3)應(yīng)用：①如果表示數(shù)a和3的兩點(diǎn)之間的距離是6，則可記為：，那么a＝．

②若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與2之間，求的值．③當(dāng)a何值時(shí)，的值最小，最小值是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．（2022秋·山東日照·七年級(jí)統(tǒng)考期中）同學(xué)們都知道：表示5與之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．請(qǐng)你借助數(shù)軸進(jìn)行以下探索：(1)已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且，則___________，___________，點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為___________．(2)設(shè)點(diǎn)Р在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，若，則___________．(3)如圖，點(diǎn)M，N，P是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)為4，點(diǎn)N表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)Р表示的數(shù)為x．①若點(diǎn)Р在點(diǎn)M、N之間，則___________．②若點(diǎn)Р表示的數(shù)是，現(xiàn)在有一螞蟻從點(diǎn)Р出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，螞蟻所在的點(diǎn)到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離之和是8？3．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)了絕對(duì)值我們知道，，用這一結(jié)論可化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得和，我們就稱和分別為|和|的零點(diǎn)值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)、不遺漏的五個(gè)部分，可在演草本上畫出數(shù)軸，找到對(duì)應(yīng)的部分然后進(jìn)行分類討論如下：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式；④當(dāng)時(shí)，原式；⑤當(dāng)時(shí)，原式．綜上所述，原式，以上這種分類討論化簡(jiǎn)方法就叫零點(diǎn)分段法，其步驟是：求零點(diǎn)、分段、區(qū)段內(nèi)化簡(jiǎn)、綜合，根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)代數(shù)式；(2)的最大值是．（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）【考點(diǎn)四解絕對(duì)值方程】例題：（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與探究：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值的方程”．如：，，．．．都是含有絕對(duì)值的方程，怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢?基本思路是：把“含有絕對(duì)值的方程”轉(zhuǎn)化為“不含有絕對(duì)值的方程”．例如：解方程．解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為：，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，原方程可化為：，解得，符合題意．所以，原方程的解為：或．根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：(1)若，則的取值范圍是________；(2)解方程：．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期末）若，則．2．（2022秋·廣東東莞·七年級(jí)湖景中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則．3．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)4．（2023秋·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：的含義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說(shuō)，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因此可以推斷表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．例如，，就是在數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即為或；回答問(wèn)題：(1)若，則的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②5．（2023·四川內(nèi)江·?？既＃╅喿x下列材料：我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即；這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．絕對(duì)值的幾何意義在解題中有著廣泛的應(yīng)用：例1：解方程．容易得出，在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±4，即該方程的±4；例2：解方程．由絕對(duì)值的幾何意義可知，該方程表示求在數(shù)軸上與-1和2的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值．在數(shù)軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在2的右邊或在-1的左邊．若