專題2.1-2.3 不等關系、不等式的基本性質、不等式的解集（學生版）

專題2.1-2.3不等關系、不等式的基本性質、不等式的解集1．理解不等式的意義，能用不等關系符號刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系；2.掌握不等式的三條基本性質，并能簡單應用；3.認識不等式解集的概念并會在數(shù)軸上表示解集。知識點01不等式與不等式的基本性質【知識點】1、不等式的概念：一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．注意：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．2、不等式的基本性質不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．不等式的基本性質的掌握注意以下幾點：(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據(jù)，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結、比較、體會．(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向要改變．【知識拓展1】不等式的辨別例1．（2022·浙江·八年級練習）下列各式：①1﹣x：②4x+5>0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【即學即練】1．（2022·黑龍江·哈爾濱市八年級期中）下列式子①；②1>2；③3m-1≤4；④a+2≠a-2中，不等式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·浙江余杭·八年級階段練習）下列選項正確的是（

）A．不是負數(shù)，表示為B．不大于3，表示為C．與4的差是負數(shù)，表示為D．不等于，表示為【知識拓展2】不等式應用例2．（2021·北京市八年級期中）2020年，一直活躍在全球公眾視線中的新冠疫苗，成為人類對抗新冠疫情的“關鍵先生”．然而，研發(fā)只是邁出了第一步，疫苗運輸?shù)牡谝魂P考驗，在于溫度．作為生物制品，疫苗對溫度極其敏感．一般來說，疫苗冷鏈按照溫度的不同，有如下分類：類型深度冷鏈凍鏈冷藏鏈溫度（t℃）t≤﹣70﹣70＜t≤﹣202≤t≤8常見疫苗埃博拉疫苗水痘、帶狀皰疹疫苗流感疫苗我國研制的新型冠狀病毒滅活疫苗，冷鏈運輸和儲存需要在2℃﹣8℃范圍內，屬于以下哪種冷鏈運輸（）A．深度冷鏈 B．凍鏈 C．冷藏鏈 D．普通運輸【即學即練】1．（2022·浙江嘉興·八年級期末）根據(jù)數(shù)量關系“x的3倍小于4”，列不等式為______．2.（2022·廣東·八年級期末）在新冠肺炎疫情防控期間，體溫超過的必須如實報告，并主動到發(fā)熱門診就診．體溫“超過”用不等式表示為（

）A． B． C． D．【知識拓展3】不等式的性質例3．（2022·湖南漢壽·八年級期末）下列不等式變形中不正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【即學即練】1．（2022·浙江新昌·八年級期末）如果，那么下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東·八年級專項訓練）根據(jù)不等式的基本性質，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．(1)；(2)；(3)；(4)．【知識拓展4】不等式性質的實際運用例4．（2022·山東·八年級期末）如圖，A、B、M、N四人去公園玩蹺蹺板．設M和N兩人的體重分別為m、n，則m、n的大小關系為（）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．無法確定【即學即練】1．（2022·湖南漢壽·八年級期末）甲在集市上先買了只羊，平均每只元，稍后又買了2只，平均每只羊元，后來他以每只元的價格把羊全賣給了乙，結果甲發(fā)現(xiàn)賺了錢，賺錢的原因是（）A．B．C．D．與大小無關【知識拓展5】根據(jù)不等式性質求參數(shù)例5．（2022·浙江縉云·八年級期末）若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【即學即練】1．（2022·浙江西湖·八年級期末）已知．(1)比較與的大小，并說明理由．(2)若，求a的取值范圍．知識點02不等式的解集【知識點】1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式的無限個解．如圖所示：注意：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來，在應用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確定方向．(1)確定“邊界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對邊界點a而言，x＞a或x≥a向右畫；對邊界點a而言，x＜a或x≤a向左畫．【知識拓展1】不等式的解例1．（2022·河北·八年級專題練習）下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【即學即練1】1．（2022·遂寧市八年級期中）下列各數(shù)中，是不等式x＞3的解的是（）A．﹣3 B．0 C．3 D．52．（2022·北京順義·八年級期中）x=3是下列不等式（

）的一個解．A．x+1<0 B．x+1<4 C．x+1<3 D．x+1<5【知識拓展2】不等式的解集例2．（2022·山西忻州·八年級期末）下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個C．不等式的整數(shù)解是0D．是不等式的一個解【即學即練】1．（2022·廣東·八年級課時練習）下列說法中，錯誤的是（）A．不等式x＜5的整數(shù)解有無數(shù)多個B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4C．不等式x＞﹣5的負整數(shù)解是有限個D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一個解【知識拓展3】用數(shù)軸表示不等式的解集例1．（2022.山東八年級）將下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．（1）（2）（3）（4）【即學即練】1.請用不等式表示如圖的解集．【知識拓展4】根據(jù)不等式的解集求參數(shù)例4．（2022·浙江龍灣·八年級期中）已知不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，則a的取值范圍為______．【即學即練】1．（2022·浙江·溫州八年級期中）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，兩邊同除以（m﹣3），得x＜1，則m的取值范圍為_____．2.對于x≥1的一切實數(shù),不等式≥a都成立,試求a的取值范圍.題組A基礎過關練1．（2022·北京市昌平區(qū)八年級期中）在①；②；③；④；⑤中，屬于不等式的有()A．個 B．個 C．個 D．個2．（2022·江蘇高郵·七年級期末）小明花整數(shù)元網(wǎng)購了一本《趣數(shù)學》，讓同學們猜書的價格．甲說：“至少15元”，乙說“至多13元”，丙說：“至多10元”．小明說：“你們都猜錯了．”則這本書的價格為（）A．12元 B．13元 C．14元 D．無法確定3．（2022·江蘇·靖江外國語學校模擬預測）下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．（2022·全國·八年級專題練習）對于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（2022·全國·八年級）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+c＜bB．a(chǎn)﹣c＞b﹣cC．a(chǎn)c+1＜bc+1D．a(chǎn)（c﹣2）＜b（c﹣2）6．（2022·山東·聊城市八年級階段練習）如果a＞b，c＜0，則ac3_____bc3（＞或＜或=）．7．（2022·北京市八年級期中）以下是兩位同學在復習不等式過程中的對話：小明說：不等式a＞2a永遠都不會成立，因為如果在這個不等式兩邊同時除以a，就會出現(xiàn)1＞2這樣的錯誤結論！小麗說：如果a＞b，c＞d，那么一定會得出a﹣c＞b﹣d．你認為小明的說法（填“正確”、“不正確”）；小麗的說法（填“正確”、“不正確”），并選擇其中一個人判斷闡述你的理由（若認為正確，則進行證明；若認為不正確，則給出反例）8．（2022·全國·八年級課前預習）利用不等式的性質解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：(1)x－7＞26(2)3x＜2x＋19．（2022·全國·八年級課時練習）若，試比較下列各式的大小并說明理由．（1）與；（2）與．題組B能力提升練1．（2022·全國·八年級專題練習）下列說法正確的是（）A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一個解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一個解C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣12．（2022·湖南·永州市八年級階段練習）關于x的不等式（m－1）x＞m－1可變成形為x＜1，則（

）A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜13．（2022·全國·八年級）已知8x＋1＜－2x，則下列各式中正確的是（

）A．10x＋1＞0 B．10x＋1＜0 C．8x－1＞2x D．10x＞－14．（2022·江西·景德鎮(zhèn)八年級期中）以下說法正確的是：_______.①由，得；②由，得；③由，得；④由，得；⑤和互為相反數(shù)；⑥是不等式的解5．（2022·廣東·八年級期中）（1）若a＜0，則a2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）（2）若a＜c＜b＜0，則abc0；（用“＞”“＜”“＝”填空）（3）若a＜c＜0＜b，化簡：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判斷化簡結果的正負．6．（2022·北京市順義區(qū)八年級期中）請先閱讀下列材料，再解決問題．例題:已知，求證:證明:因為，又因為，根據(jù)不等式基本性質2，得，再根據(jù)不等式基本性質1，在不等式的兩邊同時加上m，得仿照上例，證明下題：已知，求證．7．（2022·上海市教育學會青浦清河灣中學期中）在“愛心傳遞”活動中，某校學生積極捐款.其中六年級的兩個班級的捐款情況如下表：班

級人數(shù)捐款總額（元）人均捐款額（元）（1）班（2）班合計8090011.25小杰在統(tǒng)計時不小心污損了其中的部分數(shù)據(jù)，但他還記得以下信息：信息一：六（2）班的捐款額比六（1）班多60元；信息二：六（1）班學生平均每人捐款的金額不小于10元；請根據(jù)表格中留下的數(shù)據(jù)和以上信息，幫助小杰同學解決下列問題：(1)六（1）班和六（2）班的捐款總額各是多少元？(2)六（2）班的學生數(shù)至少是多少人？8．（2022·山西·太原市八年級階段練習）利用不等式的性質，解答下列問題．（1）①如果a﹣b＜0，那么ab；②如果a﹣b＝0，那么ab；③如果a﹣b＞0，那么ab；（2）比較2a與a的大小．（3）若a＞b，c＞d．①比較a+c與b+d的大小；②比較a﹣d與b﹣c的大小．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·湖北老河口·八年級期末）已知關于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集為，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＞02．（2022·全國·八年級）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+c＜bB．a(chǎn)﹣c＞b﹣cC．a(chǎn)c+1＜bc+1D．a(chǎn)（c﹣2）＜b（c﹣2）3．（2022·江西·景德鎮(zhèn)八年級期末）已知表示不超過x的最大整數(shù))，設方程的兩個不同實數(shù)解為，則__________．4．（2022·綿陽市·八年級專題練習）已知，當1<x<2時，代數(shù)式ax+2的值都大于零；當-2<x<-1時，代數(shù)式ax+2的值都小于零，則a的取值范圍是___________5．（2021·浙江余杭·八年級階段練習）比較大小，用“”或“”填空：（1）若，且，則_____．（2）若，為實數(shù)，則____．6．（2021·湖北硚口·七年級期末）當常數(shù)____時，式子的最小值是．7．（2022·浙江溫嶺·七年級期末）【發(fā)現(xiàn)問題】已知，求的值．方法一：先解方程組，得出，的值，再代入，求出的值．方法二：將①