定點(diǎn)類(lèi)問(wèn)題-2022年高考數(shù)學(xué)壓軸題之解析幾何真題模擬題匯編（全國(guó)通用解析版）

專(zhuān)題04定點(diǎn)類(lèi)問(wèn)題

1.（2021?江蘇模擬）已知雙曲線(xiàn)C:‘親?=l（a>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為6,F2,一條漸近線(xiàn)方程為y=bx,

且雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（0，1）.

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在直線(xiàn)x=M（y*土W，0<相<1,且加為常數(shù)）上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)B4,PB,

切點(diǎn)為A,B,求證：直線(xiàn)A?過(guò)某一個(gè)定點(diǎn).

【答案】（1）x2-y2=l（2）見(jiàn)解析

色=人

【詳解】⑴依題意，",解得J",

21.包=1

序下=1

雙曲線(xiàn)C的方程為/-丁=1；

（2）證明：設(shè)4（石，,），，%），直線(xiàn)PA:y—y=無(wú)（工-石），

由[得，（l—22）x2-2Z（y-Q）x-（x-g）2-l=0,

[x--y-=\

?.?直線(xiàn)R4與雙曲線(xiàn)相切，

A=4左2（%-5）1+4（1-爐）（y-例）2+4（1-42）=0,

4（y-例）2+4（l-F）=o,

22

22王2-2kxxyx+yj+1-/:=0,即（再？-X）k-2kxiyl+y,+]=0,

又"-y：=],

%：―1=短,短+1=百2,

y：左2—2履]y+xj=（,/_玉）2=0,

/.-％=0,Wyk=—,

/.直線(xiàn)PA:y-y1=-（x-xi）,即y]y=xlx-\,

y

同理，切線(xiàn)總的方程為y2y=工2尤-1，

????（相,為）在切線(xiàn)抬，PBt,

二.A,區(qū)滿(mǎn)足直線(xiàn)方程為y=mx-l,而兩點(diǎn)確定唯一一條直線(xiàn)，

V—_1

二.宜線(xiàn)48:%,=如-1,則當(dāng)，機(jī)時(shí)，無(wú)論先取何值，等式均成立,

j=0

.?.點(diǎn)（工,0）恒在直線(xiàn)AB上，故無(wú)論點(diǎn)尸在何處，直線(xiàn)A3恒過(guò)定點(diǎn)（工,0）.

mm

2.（2021?廣東開(kāi)學(xué)）已知雙曲線(xiàn)C:=-]=l（a>0/>0）的離心率為如，且該雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

a-b~2

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；

（2）設(shè)斜率分別為尢，網(wǎng)的兩條直線(xiàn)均經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（2,1）,且直線(xiàn)乙，4與雙曲線(xiàn)C分別交于A,3兩

點(diǎn)（A,B異于點(diǎn)Q）,若左+&=1,試判斷直線(xiàn)A3是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）y-7=l（2）見(jiàn)解析

【詳解】（1）由離心率為￡=如，且。2=/+從，得,2=36，a2=2b2,

a2

?2

即雙曲線(xiàn)方程為條-看■=1.

Q1

又點(diǎn)P點(diǎn),在雙曲線(xiàn)C上，.?.二一_、=1,

2b22b2

解得/?2=1,6/2=2,

2

???雙曲線(xiàn)。的方程為三-9=1；

2

(2)當(dāng)宜線(xiàn)/W的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A,8關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),

設(shè)4%，%),8(%,,

則由勺+&=1,得止+二^^=1,

七-2xA-2

即上一=1,解得々=0,不符合題意，故直線(xiàn)43的斜率存在.

玉)-2

不妨設(shè)直線(xiàn)4?的方程為丫=丘+工，代入

整理得(2k2-l)x2+4ktx+2*+2=0(2k2-1^0),A>0.

4kt2r+2

設(shè)A(M,yj,B(X,y)，則為+々=—---；----,X)X>=z

222k2-[---------2k1

由4+e=i,得上二1+2二L.kx,+f—1kx、+f—1.

1,即nr一!------+—=------=1,

石-2%—2Xj—2X]—2

整理得(2左-1)石w+Q-2Z+1)(X]+%2)-4，=0，

2產(chǎn)+24K

(2^-1)?—-—+。―2%+1)?(——--)-4r=0,

2k2-12k2-V

整理得:產(chǎn)+(2左-2)t-l+24=0,即(f—l)(f+2D=0,

=1或f=1-24.

當(dāng)f=l時(shí)，直線(xiàn)的方程為丫=區(qū)+1,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1);

當(dāng)/=1-2/時(shí)，直線(xiàn)43的方程為y=k(x-2)+l,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(2,l),不符合題意.

綜上，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0,1).

3.(2021?貴州模擬)已知定點(diǎn)A(0,-l),8(0,1),曲線(xiàn)L上的任一點(diǎn)M都有福心通=|初卜|荏L

(1)求曲線(xiàn)L的方程；

(2)點(diǎn)。(-2,-2),動(dòng)直線(xiàn)/與曲線(xiàn)L交于C,D,與y軸交于點(diǎn)N,設(shè)直線(xiàn)CQ,DQ,NQ的斜率分別

為k、,k2,k、,若,+-1=2,證明：直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定坐標(biāo).

123%h%

【答案】(1)x2=4y(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)M(x,y),則祝=(x,y+l),而=(-x,l-y),

又群(0,2),AM-AB=|MB||AB|,

2(y+1)=2々+(尸1尸，化簡(jiǎn)得，/="，

曲線(xiàn)1的方程為f=4y；

(2)證明：設(shè)直線(xiàn)/的方程為y="+〃，C(xt,yj,￡)(%,?y2)?N(0,〃)，

y=fcr+n、.「八、

,得za，工2一4米一4〃=0,且4=16公+16〃>0,

{x=4y

/.玉+&=4Z,xxx2=-4n,

又kkJ+2=n+2

1玉+2’2￡+2,32

x.+2赴+2_4

???由得,—---+-----=----，

k、k2&y+2y24-2〃+2

將y=+幾，y,=優(yōu)+〃代入上式得，一、+2-H&+2-=4

g+〃+2kx2+n+2〃+2

2kx}x2+(24+〃+2)(玉+x2)+4(n+2)_4

2

kx1x2+女(〃+2)(x+馬)+(〃+2)2〃+2

8公+—8—4及)+45+2)_4

將X]+工2=44，XX^=-4/7代入上式，整理得,

x8k~+(/?+2)~〃+2

22

(2n-4)k-(n-4)k=0f

⑵2—4=0

要使上式恒成立，則需、八，解得〃=2,經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足△=16^+16〃>0,

-4=0

直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)，且直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

4.(2021?運(yùn)城模擬)已知P(l,2)在拋物線(xiàn)C：V=2px上.

(1)求拋物線(xiàn)。的方程;

(2)A,8是拋物線(xiàn)C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)Q4的斜率與直線(xiàn)P8的斜率之和為2,證明：直線(xiàn)他過(guò)

定點(diǎn).

【答案】(1)y2=4x(2)見(jiàn)解析

【詳解】⑴P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程得4=20,

p=2,

拋物線(xiàn)方程為V=4x.

(2)證明：設(shè)A5:x=陽(yáng)+/,將45的方程與=4x聯(lián)立得y?_4沖一4/=0,

設(shè)A(%，y),B(X2,y2),

則y+必=46，yxy2=-4/，

所以△>0nl6“+16，>0=M+t>0,

原入=胃=四二2=號(hào)，同理：*

玉T2L-Iy+2

4

44

由題意：-----1----------=2,

X+2必+2

4(，+%+4)=2(乂%+2%+2y2+4)，

.?.乂%=4，

.?~=4,

t=-1*

故直線(xiàn)回恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0).

5.(2021?涼山州模擬)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為』，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0).

2

(1)求橢圓的方程；

(2)直線(xiàn)1=0交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,8,是否存在一定點(diǎn)7(/,0)滿(mǎn)足布?行為定值？若存在,

求出定點(diǎn)T;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】(1)—+^=1(2)見(jiàn)解析

43

c1

廠(chǎng)5'=2

【詳解】(1)依題意，*=2,解得%=百，

a2=b2+c2c=1

橢圓方程為二+2=1:

43

（2）存在點(diǎn)滿(mǎn)足ZT.8了為定值，設(shè)%）,8（%，%），

x-my-\=0

由《工22得，（3帆2+4）y2+6my-9=0,

---F—=1

143

由韋達(dá)定理得，y,+y2=-,y,y2="?，

3m~+43nr+4

vAT=BT=（r-x2,-y2）,

2

,AT?BT=t—/（Xj+x2）+xxx2+y\y2

=（相2+1）乂乂+加（1一。（乂+%）+/—2/+1

o6m

=""）?病丁…?藐K'—+1

3（?-4）62+（4r-8r-5）

3裙+4

假設(shè)行.后為定值，則4=竺二^二解得r=U

48

存在點(diǎn)T(U,O),滿(mǎn)足/?行為定值.

8

6.(2021?寶雞模擬)如圖，已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)/在x軸上，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A到尸的距離

為2,且A的橫坐標(biāo)為1.過(guò)A點(diǎn)作拋物線(xiàn)C的兩條動(dòng)弦AB、AC,且他、AC的斜率滿(mǎn)足^=4.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)直線(xiàn)8C是否過(guò)某定點(diǎn)？若過(guò)某定點(diǎn)，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)某定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y2=4x(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)拋物線(xiàn)方程為C:y2=2px(p>0),

由其定義知IA尸|=1+'，又|AF|=2,

2

所以p=2,y2=4x；

(2)易知A(l,2),設(shè)8(%,%),C(x2,y2),方程為x=ay+〃(/nw0),

2

把3c方程代入拋物線(xiàn)C,并整理得丁-4ey-4〃=0,△=16(m+n)>0>乂+%=4〃?，yty2=-An.

由原屋心=)一~=4及y：=4X1,y：=4x2得x%+2(y+%)=()，所以〃=2zn,代入8c方程得:

Xj-1x2-1

x=my+2m,

即x-f?i(y+2)=0,

故直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

y=kx+m

1，得°d，-+m),

x=—22

{2

假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)”滿(mǎn)足條件，由圖形的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)〃在X軸上，

設(shè)”(為,0),則兩?麗=0對(duì)滿(mǎn)足①式的m,k恒成立，

/21/

因?yàn)镻H=(X]H—,一)>QH=(X1—,----w)?

mm22

______k1

所以P〃-QH=(X1-2)—+x；--為-3=0,

m2

x,-2=0

所以1,1,解得占=2,

^2--X,-3=0

所以存在定點(diǎn)”(2,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)H.

8.(2021?溫嶺市校級(jí)模擬)如圖：已知拋物線(xiàn)匚52=》與41,2),。為不在拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)。的

直線(xiàn)的/與拋物線(xiàn)C相交于他兩點(diǎn)，直線(xiàn)84與拋物線(xiàn)C交于另一點(diǎn)直線(xiàn)PB與拋物線(xiàn)C交于另一點(diǎn)

N,直線(xiàn)MB與NA交于點(diǎn)、R.

(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9,3),求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)是否存在點(diǎn)Q,使得對(duì)動(dòng)直線(xiàn)/,點(diǎn)尺是定點(diǎn)？若存在，求出所有點(diǎn)。組成的集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】⑴M(25,5)(2)見(jiàn)解析

【詳解】⑴設(shè)A(a2,a),B(b2,b),M(m2,tri),Ngn),

因?yàn)锳,P,"三點(diǎn)共線(xiàn),

所以V~~->解得帆=5,

nr-99-1

所以點(diǎn)M(25,5).

(2)直線(xiàn)AM的方程為(a+m)y=x+(7〃?,

將點(diǎn)P代入可得2(〃+m)=1+am,

解即

同理可得〃=生」

b-2

(a+n)y=x-van

再將直線(xiàn)4V和8W聯(lián)立，得

(b+m)y=x+bm

an-btn

解得力

a-h+n-m

”出“2

a(a-2)(2/?-1)-b(n-2)(2〃-1)

代入得力b-2a-2

(a-h)(a-2)(Z?-2)+(2Z?-l)(6r-2)-(la-1)(/?-2)

b-2a-2

_lab-(a+b)+2_(2a-l)b-a+2

ab-2a-2b+7(a-2)b-2a+7

因?yàn)橹本€(xiàn)AB的方程為(a+Z?)y=x+ab過(guò)點(diǎn)。(印),

則(a+h)t=s+ab,

解得人=里二

a-t

n_nClt-S

代入上式得，”=—~Xa—ta_=(2-l)a：+(2-2s)a+s-2/為常數(shù),

(a-2)x--2“+7(-2)/+(7-s)a+2s—，

a-t

門(mén)廠(chǎng)廣THJ2t—12—2ss-2/.

只需要----=-----=------=k,

t—27—s2s—7t

7k-2

s=-----

即|“-2(&eR且上H2),

2k一1

t------

k-2

所以存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足的集合為｛(x,y)|x=*a,y="二!JGtwR且/#2).

k—2k—2

9.(2021?池州一模)已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(-1,0)的距離比它到直線(xiàn)x=2的距離少1.記點(diǎn)P的軌跡

為曲線(xiàn)C.

(I)求曲線(xiàn)C的方程；

(11)已知點(diǎn)入，8兩點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，滿(mǎn)足。4?O&=T.直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求M(-l,0)

到直線(xiàn)他距離的最大值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析

【詳解】(I)由題意知，點(diǎn)P到點(diǎn)"(7,0)的距離與它到直線(xiàn)x=l的距離相等，

所以點(diǎn)尸的軌跡是以為焦點(diǎn)，x=l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，則p=2,

所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為V=-4x.

(II)山于A,3兩點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，則直線(xiàn)45的斜率不為0,

設(shè)直線(xiàn)的方程為x="y+〃，A(X1,y),B(x2,M)，

聯(lián)立得丁+4沖+4〃=0,

[y=-4x

△=i6m2-16”>0

所以"y+%=Y"?>

"2=4”

2

所以x)x2=(―^-)(—^―)=n,

2

所以O(shè)A-OB=+yty2=n+4n,

所以〃*+4〃=-4,解得〃=—2,

所以直線(xiàn)ABx=my-2,

所以直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N(-2,0).

所以點(diǎn)M(-1,O)

到直線(xiàn)AB的距離最大值為|MN|=1.

10.(2021?朝陽(yáng)區(qū)一模)已知橢圓C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(0,l),B(0,-l),離心率為好.

3

(1)求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(II)若點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn)MA平行的直線(xiàn)與直線(xiàn)y=3交于點(diǎn)P,

直線(xiàn)MB與直線(xiàn)y=3交于點(diǎn)。，試判斷以線(xiàn)段PQ為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo);

若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)—+/=1,且焦點(diǎn)坐標(biāo)(士近，0)(2)見(jiàn)解析

3

【詳解】(I)由題意可得b=l,e=￡=亞，c2=3a2-b2,

a3

解得〃=3,

則過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)且與直線(xiàn)MA平行的直線(xiàn)為y=kx

因?yàn)镻是直線(xiàn)y=y=3的交點(diǎn)，所以P(三T.，3),

k

2

因?yàn)橹本€(xiàn)4W與橢圓工+丁=］聯(lián)立：

3

y=Ax+1

f,，整理可得:(1+3/)x2+6"=0,

—+y2=1

3

可得"-各-6公」3公

1+3公+-1+31'

即加(一竺可，因?yàn)锽(0,-1),

}+3k2l+3k2

直線(xiàn)MB的方程為：y----1,

3k

聯(lián)立"3k，解得：y=3,x=—\2k)

J=3

由題意可得。(一12匕3),

設(shè)7(%,%),

所以丙=(%-：，%-3),Qf=(x0+\2k,%-3),

K

山題意可得以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)7點(diǎn)，所以可?/=(),

_3

所以(天)—，%—3)?(x()+12k，y-3)=0,

k0

3

可得片+12Ax0—XQ—36+焉-6%+9=0,CD,

k

要使①成立，

%二°

,解得:XQ=0,%=-3，或%=0,%=9,

為2-6%+9-36=0

所以T的坐標(biāo)(0,-3)或(0,9).

11.(2021?湖北模擬)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在x軸及其上方，且點(diǎn)尸到點(diǎn)F(0,l)的距離比到x軸的距離大1.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;

(2)若點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=x-4上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作點(diǎn)P的軌跡C的兩切線(xiàn)QA、QB,其中A、B為切點(diǎn)、,

試證明直線(xiàn)AB恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）x2=4y（2）見(jiàn)解析

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,則|P尸|=|y|+l,即，

化簡(jiǎn)得x2=2|y|+2y,;y..0,二d=4y.

.??點(diǎn)P的軌跡方程為f=4），.

（2）對(duì)函數(shù)y=求導(dǎo)數(shù)y=g龍.

設(shè)切點(diǎn)（x。,；片），則過(guò)該切點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為：小,

切線(xiàn)方程為y=；%0（%-尢0）.即y=3%不一；片,

設(shè)點(diǎn)。（//一4）,由于切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,1.f-4=gx（j-；片，

即XQ-2tx0+4r-16=0,

設(shè)4%,；工：）,8（%2，；,），則為，x2是方程V-2儀+4,-16=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

%+%2=2，，XjW=4r-16,.................（8分）

設(shè)M為4?中點(diǎn)，.?.%='W=/.

M2

1-1,11.1

..?%=-（-x；+-x^=-[（x+x）9--2xx]=-[4r-2（4t-i6）]=-r9-t-i-4，

244oi2o,22

LX2_LX2

.?.點(diǎn)M。，:產(chǎn)一f+4），又kAB=~:，

2x,-x242

直線(xiàn)A3的方程為y—（；產(chǎn)T+4）=；（x—f）,即心—2）+8-2y=0,（*）

.?.當(dāng)x=2,y=4時(shí)，方程（*）恒成立.

對(duì)任意實(shí)數(shù)f,直線(xiàn)所恒過(guò)定點(diǎn)（2,4）.____________（12分）

12.(2021?齊齊哈爾一模)已知拋物線(xiàn)G：y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)廠(chǎng)是橢圓。2：/+2)/=1的一個(gè)頂點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)G的方程；

(2)若點(diǎn)尸(1,2),M,N為拋物線(xiàn)G上的不同兩點(diǎn)，且PMCN.求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1)y2=4x(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)拋物線(xiàn)6：>2=2°工(〃>0)的焦點(diǎn)尸咚，0),

橢圓C2：d+2y2=i即/+、_=i的左、右頂點(diǎn)為(_1,0),(1,0),所以5=1,

2

即p=2,則拋物線(xiàn)的方程為V=4x；

(2)證明：設(shè)直線(xiàn)MV的方程為工=緲+〃，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得)尸-4加),-4〃=0,

則△=16m2+16〃>0,BPn+nr>0,

設(shè)M(%,y1),NG，%)，則凹+為=4m，y]y2=-4?，

因?yàn)槭琈JL/W,所以PA/?/W=O,

即(用一1,%-2)?(W-1，%-2)=0,

所以(須-1)(^—l)+(y—2)(%-2)=0,

即(加凹+n—])(my2+〃—1)+(y-2)(%-2)=0,

整理可得(1+加2)%%+(小〃一加一2)(乂+必)+(〃_1)2+4=0，

所以-4n(l+m2)+4m(mn-/??-2)+(/?-1)24-4=0,

化簡(jiǎn)可得/-6〃-4/n2-8/n+5=0,

即5-3)2=4(加一I)2,解得〃=2m+5或〃=-2〃?+1,

當(dāng)〃=26+5時(shí)，滿(mǎn)足△>(),直線(xiàn)MN的方程為x=+2〃?+5,即為x-5=nt(y+2),即直線(xiàn)MN恒過(guò)

定點(diǎn)(5,-2)；

當(dāng)〃=-2m+1時(shí)，直線(xiàn)MN的方程為％=/2-2機(jī)+1,即為x-l=m(y-2),即直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(1,2),此時(shí)與

P重合，故舍去.

綜上可得，直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(5,-2).

13.(2021?興慶區(qū)校級(jí)三模)平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓：二+4=13>〃>0)的離心率是且，拋物

a~b~2

線(xiàn)=4y的焦點(diǎn)/是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)/不經(jīng)過(guò)尸，且與C相交于A,8兩點(diǎn)，若直線(xiàn)E4與FB的斜率之和為-1,證明：/過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1)—+/=1(2)見(jiàn)解析

4

【詳解】(1)拋物線(xiàn)E:/=4y的焦點(diǎn)F(0,l)是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，

可得。=1,由e=￡=J1-q,解得a=2,

a\a'2

則橢圓方程為X+V=1；

4.

(2)證明:①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)/:X=H,A(m,yA),,

?.?直線(xiàn)E4與直線(xiàn)EB的斜率的和為一1,%+%=&■n+%」二叢二+=7，

xAxHmm

解得加=2,止匕時(shí)/過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿(mǎn)足；

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)/:y=Ax+Z,Qwl)，A(x,yj,B(x2,y2),

聯(lián)立口'，整理，#(1+4k2)x2+8to+4r2-4=0,

[x+4y=4

8kt4/一4；、

…二一由…①

直線(xiàn)FA與FB直線(xiàn)的斜率的和為-1,

-1

,_y1y2_.x,(kx2+t-l)+x2(/cx,+t-i)_lkxxx2+{t-\){x^+x2)_e

KFA+KFB—l——=-1...以

中2

①代入②得土土=一1，

t+l

.”=一2左一1,此時(shí)△=-64Z,存在攵，使得△>()成立，

/.直線(xiàn)/的方程為y=kx-2k-\,

當(dāng)x=2時(shí)，y=-1?

???/過(guò)定點(diǎn)(2,-1).

V.2V21

14.(2021?華夔市校級(jí)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:二+==1(〃>6>0)的離心率為L(zhǎng)焦

a'b-2

距為2.

(I)求橢圓E的方程.

(2)直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)f交橢圓于A,8兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)T,使得447F=47萬(wàn)？若存在求

出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

22

【答案】(1)—+^=1(2)見(jiàn)解析

43

丫2V21L

【詳解】(1)由題意橢圓￡:=+與=1(。>6>0)的離心率為L(zhǎng)焦距為2知，c=l,a=2,則匕=G，

a~b~2

所以橢圓E：的方程為三=1；

43

(2)直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)尸(1,0),設(shè)直線(xiàn)方程為：my=x-\.

<43=>(3根?+4))2+6必-9=0...........................(5分)

my=x-l

△=144(/n2+1)>0,X+%=——，X、2=——，.............................(6分)

1234+4?〃3〉+4

存在定點(diǎn)7,使得N47F=NB7F,則點(diǎn)T必在x釉」二，設(shè)丁。,0),

則上+上=0n__=o..........(8分)

xx-tx}-tmyi+\-tmy2+l-t

則=y(緲2+1-，)+為(加b+1-，)=0，

=>2叫%+(1-，)(y+%)=。=2m+(1工=°……(1。分)

3，/r+43〃廠(chǎng)+4

-18/77-6m(l-r)=0=>皿-4+，)=0,

,.,mwR,.\t=49「.7X4,0).................(12分)

22

15.（2021?上海模擬）橢圓C:與+當(dāng)=1（。>人>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、居，右頂點(diǎn)為A,P為橢圓

ab-

C上任意一點(diǎn).已知兩?西的最大值為3,最小值為2.

（1）求桶圓C的方程；

（2）若直線(xiàn)/:y=丘+m與橢圓C相交于〃、N兩點(diǎn)（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)

A.求證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

【答案】（1）—+^=1（2）見(jiàn)解析

43

【詳解】（1）解：?.）是橢圓上任一點(diǎn)，.?」尸石|+|Pg|=2a且a-溪a+c,

22

y=PF,.PE,=|%11%|cosN/=；P瑪=；[|?耳『+1PF21-4cJ

22222

=|[|PF^+(|2a-1PF,|)-4c]=(IPF.\-a)+a-2c...(2分)

當(dāng)|「耳|=”時(shí)，y有最小值6-Ze?；當(dāng)|PR|=a-c或a+c時(shí)，y有最大值Y-c?

/一/=3

〃2_2/=2'二：—一』.

>>?>

橢圓方程為王+匯=1,…（4分）

43

(2)證明：設(shè)A/(X[,y),N(x?,y2),將丁="+〃?代入橢圓方程得(4公+3)x?+8初優(yōu)+4/??2-12=0.

—8km4m2-12

"十—心電...(6分)

22

弘=g+/n,y2=kx2+tn,y1y2=kx1x2+(fan—2)(%+x2)+m

?.?MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A,4ZAM=0,

?.?右頂點(diǎn)為A,.1AQ,。)

AM=(xt-2,y),AN=(x2-2,y2),

Qi-2)(%-2)+X%=0

7M+16km+4k2=0,

7

/.m=——％或根=一2人都滿(mǎn)足△>0,…(9分)

7

若小=-24直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(2,0)不合題意舍去，

若〃z直線(xiàn)/:尸小一力恒過(guò)定點(diǎn)§0).???(12分)

16.(2020?河南模擬)已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為)，=；.尸為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P

為直線(xiàn)y=gx+2上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF為半徑的圓與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)交于A,8兩點(diǎn)，過(guò)A,B

分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)。，E.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)證明：直線(xiàn)止過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

十

【答案】(1)x2=-2y(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)由題意可得5=3,解得p=l，則拋物線(xiàn)的方程為/=-2y；

(2)證明：由拋物線(xiàn)的方程為V=-2y得F(0,_g),設(shè)P(f,s),則s=$+2,|PF|2=/2+(1r+|)2,

于是圓尸的方程為(xt)2+(y—s)2=*+(s+；)2,

令y=L可得x?-2tx-2s=0,①

2

設(shè)。a，-子)，E(X2,一亨)，由①可得石+=2t,%馬=—2s=——t—41②，

22

一生+土

注意到kDE=—2~~2_=一±也=_t,

-x22

22

則直線(xiàn)DE的方程為y+菅=—"歪(x-x,)=一土產(chǎn)工+日皇電,

即為y=-A1^x+券，代入②有y=—tx-s,即y+2=-?x+g),

因?yàn)樯鲜綄?duì)feR恒成立，

1n[1

故3，即3.

y+2=0y=-2

即直線(xiàn)DE恒過(guò)定點(diǎn)(-：，-2).

22i

17.(2020?迎澤區(qū)校級(jí)二模)已知橢圓C:1r+4v=l(a<b<0)的離心率為工，橢圓C的中心O關(guān)于直線(xiàn)

ab2

2x-y-5=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在直線(xiàn)x=42上.

(1)求桶圓C的方程；

(2)設(shè)P(4,0),M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，連接/W交橢圓C于另一點(diǎn)E,求直線(xiàn)PN

的斜率范圍，并證明直線(xiàn)ME與x軸相交于定點(diǎn).

22

【答案】(1)—+^=1(2)見(jiàn)解析

43

【詳解】(1)由題意知e=￡=',則a=2c,

a2

n

—2=-1

設(shè)橢圓C的中心O關(guān)于直線(xiàn)2x-y-5=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(加,ri)，則\m

機(jī)"，

I22

=4,〃=—2,

???橢圓C的中心O關(guān)于直線(xiàn)2x-y-5=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在直線(xiàn)x="上.

.,.a2=4,.，.c=l,

/.h=\/3,

22

???橢圓C的方程為土r+匕v=1；

43

(2)由題意知直線(xiàn)/W的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)PN的方程為y=k(x-4).

代入橢圓方程,可得(4^+3)/一32/X+64公72=0.①

由4=(-32公)2-4(4/+3)(64/-12)>0,得4公_1<0,

22

又無(wú)=0不合題意，.?.直線(xiàn)取的斜率的取值范圍是：(-；,0)U(0,1)

設(shè)點(diǎn)N(X],y),E(X2,y2),則加(芭，一凹).

直線(xiàn)ME的方程為y-%=絲也(x-x2).

%一%

令y=0,得X=/_%(」-「).

將當(dāng)=封占一4),%=-4)代入整理，得*=2」占-4(.+-)，②

X[+X-y—8

小G組32K64二一]2

由①得為+"際'-=礪7

代入②整理，得x=l.

直線(xiàn)ME與x軸相交于定點(diǎn)(1,0).

18.(2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸(0,3)作圓O的兩條切線(xiàn)分別交橢圓

所以r=l,即直線(xiàn)AC過(guò)定點(diǎn)(0,1),

同理可得直線(xiàn)比>也過(guò)定點(diǎn)(0,1),

所以，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于定點(diǎn)(0,1).

19.(2020?沈河區(qū)校級(jí)模擬)如圖，已知橢圓C:[+y2=i上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，直線(xiàn)AF與圓

a~

河：X2+〉2-6X-2)，+7=0相切，其中a>l.

(I)求橢圓的方程；

(II)不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，且APLAQ,證明：動(dòng)直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，并且求出

該定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)—+(2)見(jiàn)解析

3

【詳解】(【)橢圓C:「+y2=i上頂點(diǎn)為40,1),右焦點(diǎn)為F(>/?[7,0),

a

則直線(xiàn)AF的方程為x+yja2-iy-加-1=0,

圓M:f+y2-6x-2y+7=0的圓心為(3,1)，半徑為G，

71

由直線(xiàn)和圓相切的條件可得!士夕-正巨1=6，

y/l+a2-l

解得4=6(負(fù)的舍去)，則橢圓的方程為三+丁=1；

3

(II)證明：AP1AQ,從而直線(xiàn)"與坐標(biāo)軸不垂直，

由A(0,l),可設(shè)直線(xiàn)"的方程為了=區(qū)+1,

得到直線(xiàn)AQ的方程為y=」x+1(6x0),

k

將y=fcr+l代入橢圓C的方程］+V=1中,

并整理得(1+3k2)x2+6kx=0,

解得》=0或％=--6k?,

1+3公

可得P的坐標(biāo)為(——如V，——JM+1)，即(-TT，1-3公

,1+3K1+3〃1+3公1+3K

將上式中的人換成-1,同理可得。(一^y,

3+公”

k3+k2

k2-3\-3k2

k2-l

則直線(xiàn)PQ的斜率為k=科1+)=----,

PQ4k

-公---+-3-(--1-+--3--1)

所以直線(xiàn)/的方程為)，=gp(_ix-^6k^+匕(，

/一11

整理得直線(xiàn)/的方程為產(chǎn)T》-;,

則直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(0,-g).

20.(2020?古縣模擬)已知拋物線(xiàn)。:丁=2px(0<p<5),與圓M:(x-5)?+丁=16有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)。的方程；

(2)經(jīng)過(guò)R(2,0)的動(dòng)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于A,3兩點(diǎn)，試問(wèn)在直線(xiàn)y=2上是否存在定點(diǎn)。，使得直線(xiàn)

AQ,BQ的斜率之和為直線(xiàn)RQ斜率的2倍？若存在，求出定點(diǎn)Q；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y2=4x(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)聯(lián)立方程卜：一斤+曠=16,得丁+(2°-10?+9=0,

j=2px

?.?拋物線(xiàn)C與圓M有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，

貝!|△=(2p—10)2—36=0,解得p=2或p=8(舍去).

.??拋物線(xiàn)C的方程為y?=4x；

(2)假設(shè)直線(xiàn)y=2上存在定點(diǎn)。(加,2),

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，A(2,2a),8(2,-20),

由題知2kRQ=kAQ+kBQ，即2二一=2-2—+2+2.恒成立.

tn-2m-2m-2

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=4(工一2),A(%,yj,B(x2,y2),

聯(lián)立""一2),得k2x2-4(公+i)x+4公=0,

[/=4x

則%+々=4"2+1)，玉*2=4，

K

由題知2%犬。=kAQ+kBQ,

,。22-yt2-y2(ni-^12--2)]+)[2-k(x2-2)]

m-2m-xxm-x2

_2kxix2一(km+2k+2)(%+9)+4帆(&+1)

xxx2-/n(X1+/)+加2

4(加一2)供2一％)一14后一8

左2(m一2f—4m

整理得：(加2一44一2(m+2)=0.

?.?上式對(duì)任意"成立，.?」疝-4=°,解得“=_2.

[m+2=0

故所求定點(diǎn)為Q(-2,2).

21.(2020?韶關(guān)二模)在直角坐標(biāo)系，中，己知點(diǎn)4-2,2),8(2,2),直線(xiàn)AM,BM交于-M,且直線(xiàn)

AM與直線(xiàn)BM的斜率滿(mǎn)足：kAM-kBM=-2.

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)/交曲線(xiàn)。于P,Q兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AQ的斜率之積等于-2,證明：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1)x2=2y(x^±2)(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)M(x,y),又A(-2,2),3(2,2),

y-2y-28-4y

貝U心M一怎的=-----------------=---------

x+2x—2廠(chǎng)一4

可得V=2Mxw±2),

則M的軌跡C的方程為x2=2y(xw±2)；

22

(2)證明：設(shè)P(,Q(〃,g~)，m，

m2n2-