數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

（一）基本理念的修訂（二）設(shè)計思路、具體內(nèi)容和表達(dá)方式的修訂

數(shù)學(xué)的解釋、核心理念、雙基變四基、兩能變四能、教師與生都為主、過程與結(jié)果同為重

主要是四個領(lǐng)域的刪、減、增、移，以及在其中貫徹增加核心概念（比如運算能力、幾何直觀、模型思想等）一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第一頁第二頁，共80頁。一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂實驗稿：數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。

修改稿：（簡潔、明了）數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。1、關(guān)于數(shù)學(xué)的解釋第二頁第三頁，共80頁。2、關(guān)于核心理念中——“面向全體學(xué)生”實驗稿：

人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。修改稿：

人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第三頁第四頁，共80頁。實驗稿：雙基：基礎(chǔ)知識、基本技能。修改稿：四基：基礎(chǔ)知識、基本技能、

基本思想、基本活動經(jīng)驗。

3、關(guān)于“雙基”教學(xué)變“四基”教學(xué)。

一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第四頁第五頁，共80頁?；舅枷耄菏穼幹薪淌谔貏e提到：抽象思想、推理思想、模型思想核心思想：歸納和演繹（而演繹、化歸、轉(zhuǎn)化、類比都屬于推理思想）常用的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：對應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、統(tǒng)計思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、化歸思維方法、變中抓不變的思想方法、數(shù)學(xué)模型思想方法、整體思想方法等等。一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第五頁第六頁，共80頁?；净顒咏?jīng)驗：☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆一種方法是：1個5，2個5，3個5。另一種方法是：1個3，2個3，3個3，4個3，5個3。這一系列數(shù)學(xué)思維活動，就為后邊學(xué)習(xí)5×3積累了相關(guān)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

比如：讓學(xué)生很快數(shù)出有多少顆五星。一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第六頁第七頁，共80頁。基本活動經(jīng)驗：

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不僅僅是解題經(jīng)驗，更多的是數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗，數(shù)學(xué)思考習(xí)慣的經(jīng)驗。——不斷積累！

一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第七頁第八頁，共80頁。實驗稿：重點是分析問題和解決問題的能力

修改稿：明確提出：

發(fā)現(xiàn)和提出問題能力

分析和解決問題能力4、關(guān)于“兩能”到“四能”：一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第八頁第九頁，共80頁。修訂稿中十大核心概念：

數(shù)感、符號意識、運算能力、

模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念、

應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第九頁第十頁，共80頁。幾何直觀

（數(shù)形結(jié)合）十大核心概念之一一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別——基本理念的修訂第十頁第十一頁，共80頁。幾何直觀

修訂稿：幾何直觀利用圖形描述問題和分析問題。把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。

簡單地說：就是指依托圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、想象。二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。第十一頁第十二頁，共80頁。數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。

——華羅庚二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。第十二頁第十三頁，共80頁。如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！沟俣鳎绹鴶?shù)學(xué)家）二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。第十三頁第十四頁，共80頁?！吹綀D形，借助數(shù)看圖形！※要看到數(shù)，借助圖形看數(shù)！※把數(shù)學(xué)畫出來！※把事物量出來！※促進(jìn)了學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展※溝通了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。第十四頁第十五頁，共80頁。運用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計與概率綜合與實踐幾何直觀運用領(lǐng)域

我們不僅在幾何內(nèi)容教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終。二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。第十五頁第十六頁，共80頁。幾何直觀的表現(xiàn)形式借助圖形展開想象揭示規(guī)律

幾何圖形、線段圖、數(shù)軸、方格紙、坐標(biāo)、方向標(biāo)、示意圖、列表、動畫等一系列圖形二、幾何直觀（數(shù)形結(jié)合）的基本概念。第十六頁第十七頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（1）數(shù)的表示用直線上的點表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質(zhì)（有始無終，有序性等等）；第十七頁第十八頁，共80頁。100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識4610枝46三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（1）數(shù)的表示用直線上的點表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質(zhì)（有始無終，有序性等等）；第十八頁第十九頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（1）數(shù)的表示用直線上的點表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質(zhì)（有始無終，有序性等等）；把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。分?jǐn)?shù)（）小數(shù)（）分?jǐn)?shù)（）小數(shù)（）第十九頁第二十頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（2）計算中的形運算的實物化、圖形化和操作化，便于人們直觀理解數(shù)和計算（擺小棒、畫圖形等）。第二十頁第二十一頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（3）解決問題中的形※畫線段圖表示數(shù)量關(guān)系。第二十一頁第二十二頁，共80頁?！窦妆纫叶?/4。（鼓勵學(xué)生畫）乙：甲：三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（3）解決問題中的形※畫線段圖表示數(shù)量關(guān)系。第二十二頁第二十三頁，共80頁。甲比乙多1/4（鼓勵學(xué)生畫）乙：甲：“1”三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（3）解決問題中的形※畫線段圖表示數(shù)量關(guān)系。第二十三頁第二十四頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（3）解決問題中的形※解決問題的直觀策略第二十四頁第二十五頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（3）統(tǒng)計中的圖形條形統(tǒng)計圖直觀地反映出數(shù)量的多少。折線統(tǒng)計圖形象地表示數(shù)量發(fā)展的趨勢。扇形統(tǒng)計圖鮮明地說明部分?jǐn)?shù)量與整體數(shù)量之間的關(guān)系。第二十五頁第二十六頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（3）統(tǒng)計中的圖形第二十六頁第二十七頁，共80頁。三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)（4）函數(shù)的多重表示及坐標(biāo)系第二十七頁第二十八頁，共80頁。四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)1、在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖的盡量畫——將相對抽象的思考對象“圖形化”第二十八頁第二十九頁，共80頁。2、重視變換——讓圖形動起來

幾何變換或圖形的運動是幾何，也是整個教學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對象，也是認(rèn)識數(shù)學(xué)的思想和方法。例如：平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過程；圖形的平移和旋轉(zhuǎn)；圖形的位置和方向變換、圖形的放大與縮小；

四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)第二十九頁第三十頁，共80頁。3、學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度認(rèn)識數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)的許多教學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征。數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識數(shù)學(xué)的基本方法，與其說是方法，不如說這是基本要求。從這一點看，不注重數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中只能讓學(xué)生隔靴搔癢。

四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)第三十頁第三十一頁，共80頁。第三十一頁第三十二頁，共80頁。4、掌握、運用一些基本圖形解決問題

利用基本圖形、表格、數(shù)軸、方格紙等。在教學(xué)中要有意識的強(qiáng)化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。

四、數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)第三十二頁第三十三頁，共80頁。五、數(shù)形結(jié)合思想在解題問題中的運用舉例第三十三頁第三十四頁，共80頁。用兩個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第三十四頁第三十五頁，共80頁。用三個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第三十五頁第三十六頁，共80頁。用四個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第三十六頁第三十七頁，共80頁。用五個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第三十七頁第三十八頁，共80頁。用六個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第三十八頁第三十九頁，共80頁。用七個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第三十九頁第四十頁，共80頁。用八個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第四十頁第四十一頁，共80頁。用九個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第四十一頁第四十二頁，共80頁。用十二個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？數(shù)形結(jié)合運用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)第四十二頁第四十三頁，共80頁。11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十三頁第四十四頁，共80頁。11+3=2×2數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十四頁第四十五頁，共80頁。11+31+3+5數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十五頁第四十六頁，共80頁。11+31+3+5=3×3數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十六頁第四十七頁，共80頁。11+31+3+51+3+5+7數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十七頁第四十八頁，共80頁。11+31+3+51+3+5+7=4×4數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十八頁第四十九頁，共80頁。11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第四十九頁第五十頁，共80頁。11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9=？？數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第五十頁第五十一頁，共80頁。1+3+5+7+9+11數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第五十一頁第五十二頁，共80頁。1+3+5+7+9+11654321數(shù)形結(jié)合運用（二）計算第五十二頁第五十三頁，共80頁。計算：＝數(shù)形結(jié)合運用（二）分?jǐn)?shù)計算第五十三頁第五十四頁，共80頁。計算：＝121418116132“1”數(shù)形結(jié)合運用（二）分?jǐn)?shù)計算第五十四頁第五十五頁，共80頁。問題：全班有8個小組，每組6人。每位同學(xué)向西部兒童捐書3本，全班一共捐書多少本？數(shù)形結(jié)合運用（二）連乘問題每人3本每人3本問題：全班有8個小組，每組6人。每位同學(xué)向西部兒童捐書3本，全班一共捐書多少本？每人3本每人3本每人3本每人3本每人3本每人3本每組6人8個小組？第五十五頁第五十六頁，共80頁。用彩色涂出2/5×1/3=數(shù)形結(jié)合運用（二）分?jǐn)?shù)乘法第五十六頁第五十七頁，共80頁。用彩色涂出2/5×1/3=數(shù)形結(jié)合運用（二）分?jǐn)?shù)乘法第五十七頁第五十八頁，共80頁。三年級題目：學(xué)校有一段走廊長6米，寬3米。在走廊地面鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要鋪多少塊？3×3＝9（平方分米）60×30＝1800（平方分米）1800÷9＝200（塊）大面積÷小面積？數(shù)形結(jié)合運用（三）鋪地磚第五十八頁第五十九頁，共80頁。120分米60分米3分米3分米120÷3＝40(塊)60÷3＝20(行)40×20＝800(塊)每行塊數(shù)×行數(shù)＝總塊數(shù)第五十九頁第六十頁，共80頁。

五年級題目：在長寬高分別為40dm、30dm、20dm的長方體木塊切割成棱長為8dm的正方體，能切割成多少個？“大體積÷小體積”。

×數(shù)形結(jié)合運用（三）割長方體第六十頁第六十一頁，共80頁。六年級題目，如：用長1.1m，寬0.9m的長方形紙片剪成幾個直徑為2dm的圓，可以剪多少個？“大面積÷小面積”×數(shù)形結(jié)合運用（三）剪圓第六十一頁第六十二頁，共80頁。六年級題目：請用數(shù)學(xué)思維解決問題：

三人同時從工廠乘出租車回家，事先講好三人分擔(dān)車費，丙最后到達(dá)終點付車費90元，已知甲到了全程的1/3處下了車，乙在全程的2/3處下了車。問甲乙分別應(yīng)付給丙多少錢？

數(shù)形結(jié)合運用（四）支付租車費第六十二頁第六十三頁，共80頁。第一層次：90元÷3=30元；90元90元第二層次：1/3∶2/3∶1＝1∶2∶3，甲：90元×1/6=15元；乙：90元×2/6=30元；丙：90元×3/6=45元；1/32/3“1”第六十三頁第六十四頁，共80頁。90元甲：30元÷3=10元；乙：30元÷3＋30元÷2=25元；丙：30元÷3＋30元÷2＋30元=55元。10元10元10元15元15元30元第三層次：第六十四頁第六十五頁，共80頁。長寬面積長方形的面積=長×寬數(shù)量總價總價=單價×數(shù)量單價數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第六十五頁第六十六頁，共80頁。（二）解決問題問題：學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù)=每天吃的千克數(shù)×天數(shù)長方形的面積=長×寬數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第六十六頁第六十七頁，共80頁。（二）解決問題問題：學(xué)校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù)=每天吃的千克數(shù)×天數(shù)提前2天吃完多吃5千克計劃吃8天AB原計劃每天吃多少千克？數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第六十七頁第六十八頁，共80頁。一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第六十八頁第六十九頁，共80頁。一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第六十九頁第七十頁，共80頁。一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米減少20%2米數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第七十頁第七十一頁，共80頁。一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米減少20%2米減少1/5，把正方形的邊長平均分成五份，減少其中1份，還剩下4份數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第七十一頁第七十二頁，共80頁。一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米1份2米4份BAC數(shù)形結(jié)合運用（五）矩形運用第七十二頁第七十三頁，共80頁。泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。

傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見下圖），奢靡之程度，可見一斑。

你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？數(shù)形結(jié)合運用（六）解決問題第七十三頁第七十四頁，共80頁。

問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。

數(shù)形結(jié)合運用（六）解決問題第七十四頁第七十五頁，共80頁。A、