線段垂直平分線的的性質(zhì)與判定

3線段的垂直平分線第1課時(shí)線段垂直平分線的的性質(zhì)與判定北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊新課導(dǎo)入作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？ABMNCP新課探究已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一點(diǎn).

求證：PA=PB.ABCMNP猜想：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ABCMNP證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵

AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴

PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足為C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一點(diǎn).

求證：PA=PB.

定理

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ABMNCP線段垂直平分線的性質(zhì)定理：幾何語言：

判斷：如圖直線MN垂直平分線段AB

，則

AE=AF.（）練習(xí)ABMNFE×

某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？ABC學(xué)以致用想一想你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.即到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．證明一：過點(diǎn)P作已知線段AB

的垂線

PC，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．∴AC=BC，即

P點(diǎn)在AB

的垂直平分線上．ABCP已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB．求證：P

點(diǎn)在AB

的垂直平分線上．

定理

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.ABCP幾何語言：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．例1已知：如圖，在△ABC

中，AB=AC，O是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.

求證：直線AO

垂直平分線段

BC.ABCOABCO證明：∵AB=AC.∴

點(diǎn)A

在線段BC

的垂直平分線上.（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.∴直線AO

是線段BC

的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.同理，點(diǎn)O

在線段BC

的垂直平分線上.已知：如圖，D

是

BC延長線上的一點(diǎn)，BD=BC+AC.求證：點(diǎn)C

在

AD的垂直平分線上.練習(xí)ABCD證明：因?yàn)辄c(diǎn)D

在BC

延長線上，

所以BD=BC+CD，

又因?yàn)锽D=BC+AC，∴AC=DC，

所以點(diǎn)C

在AD

的垂直平分線上.

ABCD隨堂演練

1.如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______.8ABCDE

2.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（

）A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)C.三邊高線的交點(diǎn)D.沒有這樣的點(diǎn)B3.在△ABC中，AB的中垂線與

AC邊所在直線相交所得的銳角為50°，則∠A的度數(shù)為（

）A.50° B.40°C.40°或140° D.40°或50°C

4.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC.

∴AB=AC=CE.∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE.ABCDE課堂小結(jié)