專題04 勾股定理逆定理（解析版）

專題04勾股定理逆定理知識(shí)點(diǎn)框架知識(shí)點(diǎn)講解勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；2)定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊3)勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形直角三角形的性質(zhì)與判定：性質(zhì)：1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3）直角三角形中30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半。判定：1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。典型題型考查題型一判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形1．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期中）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可．【詳解】解：．，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)正確；D．，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形，否則不是．2．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期中）下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，，【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理逆定理直接判斷即可．【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B．，故此選項(xiàng)能構(gòu)成直角三角形，符合題意；C．，故此選項(xiàng)不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D．，故此選項(xiàng)不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理，熟知直角三角形三邊的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，不能組成直角三角形的是（

）A．7，24，25 B．9，12，15 C．1，，3 D．5，12，13【答案】C【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，最后看看是否相等即可．【詳解】解：A、∵，∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．4．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）A、B、C表示三個(gè)村莊，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，為擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在（

）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn) C．AC中點(diǎn) D．∠C的平分線與AB的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)A、B、C這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心P的距離相等，可得點(diǎn)P是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，再由勾股定理逆定理，即可求解．【詳解】解：A、B、C這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心P的距離相等，所以點(diǎn)P是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，因?yàn)锳B=1000米，BC=600米，AC=800米，所以，所以是以AB為斜邊的直角三角形，則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在斜邊AB的中點(diǎn)，故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的逆定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握線段垂直平分線的逆定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．考查題型二直角三角形的判定5．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校八年級(jí)期末）滿足下列條件時(shí)，不是直角三角形的是（）A．，， B．C． D．，【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和公式和勾股定理的逆定理判定是否為直角三角形．【詳解】解：A、符合勾股定理的逆定理，故A選項(xiàng)是直角三角形，不符合題意；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B選項(xiàng)是直角三角形，不符合題意；C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得各角分別為45°，60°，75°，故C選項(xiàng)不是直角三角形，符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得各角分別為90°，40°，50°，故D選項(xiàng)是直角三角形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】.本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．6．（2022·江蘇常州·八年級(jí)期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，則下列條件中，能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)2＝（b＋c）（b﹣c） B．a(chǎn)：b：c＝12：15：18C．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項(xiàng)A和選項(xiàng)B即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出三角形中最大角的度數(shù)即可判斷選項(xiàng)C和選項(xiàng)D．【詳解】解：A、∵，∴，即，∴是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B．∵，∴設(shè)，，，∴，，∴不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵，，∴，∴不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵，，∴，∴，，∴不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握運(yùn)用勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解此題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市第三中學(xué)八年級(jí)期中）已知ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列條件不能判斷ABC是直角三角形的是（

）A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出C、D是否是直角三角形．【詳解】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故ABC為直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故ABC是銳角三角形，不是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故ABC為直角三角形；D、∵72+242＝252，∴ABC為直角三角形；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用以及三角形內(nèi)角和定理．判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．8．（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)期末）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)＝1，b＝2， B．C．∠A＋∠B＝∠C D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理、有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形進(jìn)行判斷即可得解．【詳解】解：A．∵a＝1，b＝2，，∴，即，∴△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴，即，∴△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠A+∠B=∠C，∴，即∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)不符合題意；；D．∵，∴，，，∴△ABC不是直角三角形，此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定方法，借助勾股定理逆定理和有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形兩種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．考查題型三網(wǎng)格中判斷直角三角形9．（2022·江蘇淮安·八年級(jí)期中）如圖，在四個(gè)均由十六個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個(gè)三角形，那么這四個(gè)三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求四個(gè)選項(xiàng)中各邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解題．【詳解】解：A、三角形各邊長(zhǎng)為、、，，故該三角形為鈍角三角形，符合題意；B、各邊長(zhǎng)、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意；C、各邊長(zhǎng)、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意；D、各邊長(zhǎng)、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．10．（2020·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”(格線的交點(diǎn))，以這5個(gè)格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，可以畫等腰三角形和直角三角形的個(gè)數(shù)分別是(

)A．2和3 B．3和3 C．2和4 D．3和4【答案】A【分析】結(jié)合格點(diǎn)圖形及勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：（1）如圖，為等腰三角形有兩種由勾股定理易知：ED=DC=,符合題意，由勾股定理易知：AE=EC=,符合題意，（2）如圖，為直角三角形有三種由勾股定理及格點(diǎn)圖知：AB=2，BE=4，AE=,滿足，由勾股定理逆定理知?ABE為直角三角形，由勾股定理及格點(diǎn)圖知：BC=2，BE=4，CE=,滿足，由勾股定理逆定理知?CBE為直角三角形，由勾股定理及格點(diǎn)圖知：DC=，DE=，CE=,滿足，由勾股定理逆定理知?CDE為直角三角形，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了在格點(diǎn)中畫等腰三角形及勾股定理在格點(diǎn)圖形中的應(yīng)用，結(jié)合格點(diǎn)圖形，利用勾股定理，合理構(gòu)造是解決本題的關(guān)鍵．11．（2019·江蘇·泰州市姜堰區(qū)張甸初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有A、B、C、D、E、F、G七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是()A．點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C B．點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)GC．點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)F D．點(diǎn)B、點(diǎn)G、點(diǎn)E【答案】C【分析】先利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理：如果三邊滿足，則可組成直角三角形進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．AB2=1+36=37，AC2=16+25=41，BC2=1+9=10，37+10≠41，不可以構(gòu)成直角三角形；B．AD2=16+16=32，AG2=9+36=45，DG2=1+4=5，32+5≠45，不可以構(gòu)成直角三角形；C．BE2=36+16=52，BF2=25+25=50，EF2=1+1=2，50+2=52，可以構(gòu)成直角三角形D．BG2=25+9=34，BE2=36+16=52，GE2=9+1=10，34+10≠52，不可以構(gòu)成直角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）在中，若，則（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷為直角三角形，再根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)可以判斷．【詳解】解：，，為直角三角形，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)三角形的三邊滿足勾股定理，得出三角形是直角三角形．考查題型四利用勾股定理逆定理求解13．（2022·江蘇江蘇·八年級(jí)期中）已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫弧；再以點(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，進(jìn)而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】如圖所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．14．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】連接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求∠BCD．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是連接AC，并證明是直角三角形．15．（2022·山東·莒南六中八年級(jí)期中）如圖，四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，在△ADC中，已知三邊長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理逆定理，可得此三角形為直角三角形，故四邊形ABCD的面積為Rt△ACD與Rt△ABC的面積之差．【詳解】解：連接AC，∵∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，∴△ADC為直角三角形，∴故四邊形ABCD的面積為24cm2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，判斷出△ACD的形狀是解答此題的關(guān)鍵．16．（2022·廣東·高州市第一中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如果的三邊分別為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】將原式整理得出，計(jì)算出，判斷出為直角三角形，即可求出．【詳解】解：，，，，又，，為直角三角形，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的非負(fù)性，勾股定理的逆運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出的值．17．（2022·河南信陽·八年級(jí)期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為15，20，25，則此三角形最大邊上的高為(

)A．10 B．12 C．24 D．48【答案】B【詳解】解：已知三角形的三邊分別是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高，∵BC=15，AB=20，AC=25，∴AC2=625，AB2+BC2=225+400=625，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC為直角三角形，∠ABC=90°，∵BD是AC上的高，∴BD?AC=AB?BC，∴BD=12．故選B．18．（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，，，，