高中數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)及典型例題

人教版高中數(shù)學(xué)必修一

一、集合與函數(shù)部分

1.考點(diǎn)

集合的含義及其關(guān)系

1.集合中的元素具有的三個(gè)性質(zhì):確定性、無序性和互異性;

2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖;

2.典型例題

★1.已知集合在{*|1^入<4},廬若向，求實(shí)數(shù)a的取值集合

解：將數(shù)集4表示在數(shù)軸上（如圖），要滿足怎8,表示數(shù)a的點(diǎn)必須在4或4的右邊，所求a的取值集

合為為|a24}.

0I4ax

★★2.已知集合{={x\-l<x<3},108=0,/1U8=R,求集合8

解：由406=0及/^6=1?知全集為R,CRA=B,

故8=C{xIxW-1或)

★★3.求一次函數(shù)f(x),使得/{}=8x+7

解：設(shè)/(x)=ax+b(aH0),則

=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,

f[f[f(x)]]-a2(ax+b)+ab+b-a\+a2b+ab+b-Sx+l所以/=8且a%+aA+匕=7

解得a=2,6=1

所以,f(x)=2x+l

★4.已知函數(shù)/(%)=犬+%—1

⑴求/(2)

(2)求足+1)

(3)若/(無)=5,求％的值

解：⑴/(2)=22+2-1-5

2

(2)/(1+1)=(1+1)+(1-1-1)-1=-L+2+i

XXXXX

(3)由題意：X2+X-1=5,解得x=-3,x=2

1

★★5.證明：函數(shù)>=%+一在(l,+oo)上為增函數(shù)。

X

證明：設(shè)%,%是（1，+8）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且%<%2,貝IJ：

f(xt)-f(x2)=x}+----(x2+—)=(x1-x2)+)*

因?yàn)橥酰?2，所以X]-巧＜0

因?yàn)閑(l,+8),所以又也>1,——<1,1-----<0

即/U,)</(x2)

所以函數(shù)了=%+上在(1,+8)上為增函數(shù)

二、基本初等函數(shù)部分

1.考點(diǎn)

一、函數(shù)的概念

二、函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法

1.圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系;

2.列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系;

3.解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用等式來表示。

三、分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

四、函數(shù)的單調(diào)性

五、函數(shù)的最大(小)值

2.典型例題

★1.比較下列各題中的個(gè)值的大小

(1)1.72-5與1.73

(2)O.8-0-1與0.8-°-2

(3)1.70-3與0.91'

解法1：用數(shù)形結(jié)合的方法，如第(D小題，用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=17、的圖象，在圖象上找出橫

坐標(biāo)分別為2.5,3的點(diǎn)，顯然，圖象上橫坐標(biāo)就為3的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為2.5的點(diǎn)的上方，所以

y=1.7

1產(chǎn)〈IT.

解法2：用計(jì)算器直接計(jì)算：1.7"。3.771.73。4.91

所以，175＜17

解法3：由函數(shù)的單調(diào)性考慮

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=17'.在R上是增函數(shù)，且2.5V3,所以，1.7”<17

仿照以上方法可以解決第(2)小題.

★★2.截止到1999年底，我們?nèi)丝趩?3億，如果今后，能將人口年平均均增長率控制在1%,那么經(jīng)過20

年后，我國人口數(shù)最多為多少(精確到億)？

分析：可以先考試一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題：

1999年底人口約為13億

經(jīng)過1年人口約為13(1+1%)億

經(jīng)過2年人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%尸億

經(jīng)過3年人口約為13(1+1%)2(I+I%)=I3(1+M尸億

經(jīng)過x年人口約為13(1+1%)“億

經(jīng)過20年人口約為13(1+1%)“億

解：設(shè)今后人口年平均增長率為1%,經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億，則

y=13(1+1%)"

當(dāng)x=20時(shí)，y=13(l+l%)2%16(億)

答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億.

★★3.已知函數(shù)/(x)=log”(a-優(yōu))(a>1),求/1(x)的定義域和值域.

解:a—Cl'>0,Cl'<C1,X<\,即定義域?yàn)?—8,1)；

ax>0,0<a-a*<a,log“(a-a")<1,即值域?yàn)?―℃,1)

★★4.已知/'(x)=lg(a,6為常數(shù))，

當(dāng)a>l>6〉0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性，并用定義證明.

xX2

解：設(shè)OCX1<x2(<7>Z>),aa'<a;

O<Z?<1,.\hx'>b'zn-hx'<+

-xXz

0<x,<x2(a>b\a>I,..a'<a;

0bx'>bX2n-bx'<-bX2nax'-bx'<a*-b*

x

即可nlg(〃—b')<1g(產(chǎn)一b')SP/(x,)</(x2)

f(x)為增函數(shù)。

x

★★5.求函數(shù)/(x)=lglOOxxlg歷的最小值及取得最小值時(shí)自變量x的值.

解：f(x)=(2+lgx)(lg『l)=(Igx)'+lg『2=(lgA+—)2-2—^-2—,

244

當(dāng)產(chǎn)膽時(shí)函數(shù)取得最小值-2

104

f(xy)=f(x)+F(y),fJ)=1,

★★6.設(shè)函數(shù)片f(x)是定義在R'上的減函數(shù)，并且滿足

3

(1)求r(1)的值，

(2)如果/1(*)+/(2-X)<2,求x的取值范圍.

解：⑴令產(chǎn)產(chǎn)1,則/(1)=2/(1)=0;

(2)有意義條件0<水2,

又f(x)+f(2-x)=f(2『f),2=f(')+f(1)=/(l)

339

.??f(2『V)<f(_L)，又函數(shù)是R'上的減函數(shù)，.?.2尸f〈J_

99

2V2_2V2

?.1------或X〉1,

33

綜上x的取值范圍是0<水1-2也或1+述〈水2.

33

三、函數(shù)方程及零點(diǎn)

1.考點(diǎn)

一、函數(shù)的零點(diǎn)

二、二分法求零點(diǎn)

2.例題：

★★1.設(shè)王與馬分別是實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=O和-a?+"+c=o的一個(gè)根，且

百。12%W°，，求證：方程］/+區(qū)+。=°有僅有一根介于玉和/之間?

Q

2

解：令/(jOn'Y+bx+c,由題意可知々xj+bx1+c=O,-ax2+hx2+c=0

bx{+c=-ax^,hx2+c=ax^,

、a21a09ci2

J(X1)="Xj+Z?X|+C=—Xj—6L￥j=——Xj

，/、a2,a223a2

J(%)=/%2+bX?+C=//+CIX?—X2,

因?yàn)椤?,工2所以/(xl)/(x2)<0,

即方程微/+云+。=o有僅有一根介于王和々之間.

★★2.函數(shù)八幻=一/+2奴+1一。在區(qū)間［(),1］上有最大值2,求實(shí)數(shù)a的值.

解：對(duì)稱軸x=a,

當(dāng)a<0,［0,1］是〃x)的遞減

f（X）max=/（。）=1_Q=2=>Q=T；

當(dāng)是/(x)的遞增區(qū)間，/(x)mx=/(l)=〃=2n〃=2；

當(dāng)。＜4VI時(shí)/(X)max=/(。)=/-"+1=2,。=1±J,

0工a41矛盾；

所以a=-l或2.

★★3.某商品進(jìn)貨單價(jià)為40元，若銷售價(jià)為50元，可賣出50個(gè)，如果銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少1個(gè),

為了獲得最大利潤，則此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為多少？

解：設(shè)最佳售價(jià)為(50+X)元，最大利潤為y元，

y=(50+x)(5()-x)-(50—x)x40=-x2+40x+500

當(dāng)尤=2()時(shí)，y取得最大值，所以應(yīng)定價(jià)為70元.

人教版高中數(shù)學(xué)必修二

第一章空間幾何體

知識(shí)點(diǎn)：

1,空間幾何體的結(jié)構(gòu)

⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。

⑵棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。

2、長方體的對(duì)角線長/2=/+匕2+。2；正方體的對(duì)角線長/=島

3、球的體積公式：V=-7TR3,球的表面積公式：S=4萬R2

3

4、柱體V=錐體錐體截面積比：旦=41

2

3S?h2

5、空間幾何體的表面積與體積

S側(cè)面=2兀?r?I

⑴圓柱側(cè)面積;

S惻面=??「?/

⑵圓錐側(cè)面積:

典型例題:

★例1:下列命題正確的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四邊形

B.棱錐的底面一定是三角形

C.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱

D.棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐

★★例2：若一個(gè)三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的（）

]_巫

A2倍B4倍。2倍I）四倍

★例3：已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的一個(gè)組合體，其三視圖如下圖所示，則這個(gè)組合體的上、

下兩部分分別是（）

A.上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱

B.上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)四棱柱

C.上部是一個(gè)三棱錐，下部是一個(gè)四棱柱

★★例4:一個(gè)體積為8C77?3的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的表面積是

A.8兀cm2B.C1（）7rcm2-D.lO/rcnr

二、填空題

★例1：若圓錐的表面積為。平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面的直徑為

★例2：球的半徑擴(kuò)大為原來的2倍，它的體積擴(kuò)大為原來的倍.

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)：

1、公理1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2、公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

3、公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。

7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。

8、面面位置關(guān)系：平行、相交。

9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡稱線線平行，

則線面平行）。

⑵性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡

稱線面平行，則線線平行）。

10、面面平行：

⑴判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡稱線面平行，則

面面平行）。

⑵性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（簡稱面面平行，則線

線平行）。

11、線面垂直：

⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直,

則線面垂直）。

⑶性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

12、面面垂直：

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。

⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（簡稱面面垂直,

則線面垂直）。

典型例題：

★例1：一棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比是1:2,則此棱錐的高（自上而下）

被分成兩段長度之比為

A、1:V2B、1:4C、1:（V2+1）D、1:（V2-1）

★例2：已知兩個(gè)不同平面a、夕及三條不同直線a、b、c,aA./3,a{y/3=c,a_L/?,aLb,c與

b不平行，則（）

A.?！?且b與a相交B.buanbH0

C.匕與a相交D.b_La且與夕不相交

★★例3：有四個(gè)命題：①平行于同一直線的兩條直線平行：②垂直于同一平面的兩條直線平行；③平行于

同一直線的兩個(gè)平面平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行。其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④I）.①④

★★例4：在正方體ABCO-A|6|GQ中，分別是0c和CG的中點(diǎn)?求證：。建，平面4。/

例5：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F為棱AD、AB

的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面CB1D1；

（2）求證：平面CAA1C1_L平面CB1D1

第三章直線與方程

知識(shí)點(diǎn)：

1、傾斜角與斜率：左=tana=.＞二.

2、直線方程：

⑴點(diǎn)斜式：y~y（）—-x0）

⑵斜截式：y=kx+b

⑶兩點(diǎn)式：0=9

x-x{x2-x]

⑷截距式：-+^=1

ab

(5)一般式：Ax+By+C=O

3、對(duì)于直線:/1：y=Kx+A/：V=%2冗+匕2有:

k、=k?

⑴/"〃2<=><

b產(chǎn)b2

⑵&和4相交o人工&；

k=k,

⑶4和，2重合01x-

2=b2

(4)/,1_/2ok[k2=—1.

1\：4x+gy+G=0

4、對(duì)于直線:TJ

l2:A2x+B2y+C2=0

AB=AB[

⑴/]〃4o<122

B|C2wB2cl

(2)4和乙相交oA】B2w4與；

A}B2=A,B]

(3)/]和，2重合<=><

B}C2=32G

(4)_L/0

l}9A]A-y+B}B7=0.

5、兩點(diǎn)間距離公式：山周=J(￡—xJ+(必—y)2

6、點(diǎn)到直線距離公式：6」弋+勘(^￡[

ylA2+B2

7、兩平行線間的距離公式：

c,-c2|

/1：Ax+B)，+G=0與小小+為+。2=0平行，則。=

典型例題：

★例1：若過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/的斜率為-6，則在直線/上的點(diǎn)是()

A(1,V3)B(V3,l)C(-V3,l)D(1-V3)

★例2：直線/]:kx+(1一左)y-3=0和4:(k-\)x+(2k+3)y—2=0

互相垂直，則攵的值是()

A.-3B.0C.0或-3D.0或1

第四章圓與方程

知識(shí)點(diǎn)：

1、圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=/，其中圓心為(a,份，半徑為r.

⑵一般方程：/+/+m+鄉(xiāng)+/=0.其中圓心為(_2,_至)，半徑為r=Ly/D?+E2—4F.

222

2、直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0與圓(x-a)?+(y-勿2=/的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離<=>A<0；

d=ro相切=A=0；

d<r=相交=△>().

3、兩圓位置關(guān)系：

⑴外離：d>R+r；⑵外切：d=R+r；

⑶相交：R-r<d<R+r-,⑷內(nèi)切：d=R-r；

⑸內(nèi)含：d<R-r.

4、空間中兩點(diǎn)間距離公式：山.|=&2-XJ2+(y2-y)2+同一%)

典型例題：

★例1：圓心在直線y=2x上，且與X軸相切與點(diǎn)(-1,0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

★★例2：已知圓。：幺+>2=4,

(1)過點(diǎn)(-1,6)的圓的切線方程為.

(2)過點(diǎn)(3,0)的圓的切線方程為.

(3)過點(diǎn)(-2,1)的圓的切線方程為.

(4)斜率為一1的圓的切線方程為.

★★例3：已知圓C經(jīng)過A(3,2)、B(1,6)兩點(diǎn)，且圓心在直線y=2x上。

(1)求圓C的方程；

(2)若直線L經(jīng)過點(diǎn)P(—1,3)且與圓C相切，求直線L的方程。

人教版高中數(shù)學(xué)必修三

一、算法與程序框圖

1.考點(diǎn)

算法的概念及程序框圖

2.例題

★1.08山東（14）執(zhí)行右邊的程序框圖，若p=0.8,則輸出的爐4.

二、統(tǒng)計(jì)

1.考點(diǎn)

1、簡單的隨見抽樣

2、用樣本的特征估計(jì)總體的特征

3、變量間的相關(guān)關(guān)系

2.例題

★★1.用簡單隨機(jī)抽樣從含有8個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本.問:

①總體中的某一個(gè)體。在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是多少？

②個(gè)體。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是多少？

③在整個(gè)抽樣過程中，個(gè)體。被抽到的概率是多少？

C11

分析：①總體中的某一個(gè)體。在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是P=16:

1

②個(gè)體。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是P==

8;

③由于個(gè)體。在第一次被抽到與第2次被抽到是互斥事件，所以在整個(gè)抽樣過程中，個(gè)體。被抽到的概

_11_1

率是PD=&+§=r

★★★2.已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下

X45424648423558403950

y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72

x（血球體積，mm）,y（血紅球數(shù)，百萬）

（1）畫出上表的散點(diǎn)圖；（2）求出回歸直線并且畫出圖形.（3）回歸直線必經(jīng)過的一點(diǎn)是哪一點(diǎn)？

（2）解：（1）見下圖

yx

10'??

??

???:?

5,

-----------------------?--------------------------------------------------------------

303540455055X

(2)又喘(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=45.50

y=、(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37設(shè)回歸直

線為g=bx+a,

n

則斗％-n對(duì)b=y-ax=-0.64

宜xJ-nX

i?l

所以所求回歸直線的方程為$=。176%—0.64,圖形如下：

x

87175-7x30x399.3，.

Lb=_____________________b475

故可得到一7000—7x3()2

a=399.3-4.75x30?257

A

從而得回歸直線方程是y=4.75x+257.(圖形略).

★★3.寫出下列各題的抽樣過程.

(1)請(qǐng)從擁有500個(gè)分?jǐn)?shù)的總體中用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為30的樣本。

(2)某車間有189名職工，現(xiàn)在要按1：21的比例選派質(zhì)量檢查員，采用系統(tǒng)抽樣的方式進(jìn)行。

(3)一個(gè)電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目喜愛的測得進(jìn)行得出，車間得出的總?cè)藬?shù)為12000人，其中

持各種態(tài)度的人數(shù)如下：

很喜愛喜愛一般不喜愛

2435456739261072

打算從中抽取60人進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，如何抽?。?/p>

解：(1)①將總體的500個(gè)分?jǐn)?shù)從001開始編號(hào)，一直到500號(hào)；

②從隨機(jī)數(shù)表第1頁第0行第2至第4列的758號(hào)開始使用該表；

③抄錄入樣號(hào)碼如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、

349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402

④按以上編號(hào)從總體至將相應(yīng)的分?jǐn)?shù)提取出來組成樣本，抽樣完畢.

(2)采取系統(tǒng)抽樣.189+21=9,所以將189人分成9組，每組21人，在每一組中隨機(jī)抽取1人，這9

人組成樣本.

(3)采取分層抽樣.總?cè)藬?shù)為12000人，12000+60=200,

2345=11…145人，竺”=22…167人，2迎=19…余126,1072

=5…余72人

200200200-20(7

所以從很喜愛的人中剔除145人，再抽取11人；從喜愛的人中剔除167人，再抽取22人；從一般喜愛的人

中剔除126人，再抽取19人；從不喜愛的人中剔除72人，再抽取5人.三、概率

1.考點(diǎn)

1、概率的概念及意義

2、古典概型的概念及概率

3、幾何概性的概念及概率

2.例題

★★1.有紅，黃，白三種顏色，并各標(biāo)有字母A,B,C,D,E的卡片15張，今隨機(jī)一次取出4張，求4張

卡片標(biāo)號(hào)不同，顏色齊全的概率.(12分)

4

解：基本事件總數(shù)為n=AA]5，

.p「m_C?A；_1

而符合題意的取法數(shù)m=C；C：A：=180.

nAh180

★★2.10根簽中有3根彩簽，若甲先抽一簽,然后由乙再抽一簽，求下列事件的概率:

(1)甲中彩；(2)甲、乙都中彩；(3)乙中彩(14分)

解：設(shè)人=｛甲中彩｝B=｛乙中彩｝C=｛甲、乙都中彩｝則?=人8

3321

(1)P(A)=一；(2)P(C)=P(AB)=~x~

1010915

——1733

(2)P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=-+—x-=—.

★★3.從5雙不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：

(1)所取的4只鞋中恰好有2只是成雙的；

(2)所取的4只鞋中至少有2只是成雙的.

解：基本事件總數(shù)是C：0=210.

(1)恰有兩只成雙的取法是C!C；C；C；=120.

c?c?120_4

...所取的4只鞋中恰好有2只是成雙的概率為「：4一一210-7

Jo

⑵事件“4只鞋中至少有2只是成雙”包含的事件是“恰有2只成雙”和“4只恰成兩雙”，恰有兩只

成雙的取法是c；C；C；C；=12O,四只恰成兩雙的取法是C；=10.

...所取的4只鞋中至少有2只是成雙的概率為

+C；_130_13

-210_21

★★4.為了了解參加某種知識(shí)競賽的1003名學(xué)生的成績，請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣抽取一個(gè)容量為50的樣本.

解：⑴隨機(jī)地將這1003個(gè)個(gè)體編號(hào)為1,2,3,1003.

⑵利用簡單隨機(jī)抽樣，先從總體中剔除3個(gè)個(gè)體(可利用隨機(jī)數(shù)表)，剩下的個(gè)體數(shù)1000能被樣本容量

50整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行.

說明：總體中的每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等(色一)，也就是每個(gè)個(gè)體不被剔除的概率相等(幽］.采用

1003U003)

系統(tǒng)抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率都是也，所以在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率仍然相等，都

1000

1()005050

ZBE--X---=---

100310001003

人教版高中數(shù)學(xué)必修四

第一章三角函數(shù)

一、考點(diǎn)列舉

1、任意角和弧度制

2、任意角的三角函數(shù)

3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

4、三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)

5、函數(shù)y=Asin(3x+°)的圖像及性質(zhì)

二、常考題型

1、角度值與弧度制之間的轉(zhuǎn)換

★例1.把下列角度數(shù)化成弧度數(shù)：

(1)252(2)67°30'

Jr77r

解：(1)252=252x—rad=—rad.

1805

(2)因?yàn)?730'=67.5,所以

JI3

6730'=---radx67.5rad.

1808

★例2.把下列角的弧度數(shù)化成度度數(shù)。

3

(1)-71(2)3.5

5

33

解：(1)—71rad=—xl80-108；

55

180

(2)3.5raJ=3.5x——?200.54

71

2,理解三角函數(shù)的概念及之間的關(guān)系

★例1、已知角a的終邊過點(diǎn)(。,2。)3。0),求a的六個(gè)三角函數(shù)值。

解：因?yàn)檫^點(diǎn)(a,2a)(ar0),所以「=布|。|,x=a,y=2a

y_2a_2a_2>/5

當(dāng)a>00寸,sine=

ry/5\a\45a5

xa\/5a仁seca="a=巨

cosa=-=—j=-—；tana=2;cota二

r22

2y/5

當(dāng)Q<0H寸,sina二)2a2a

r~~5~；

xa國,G.1匚加

cosa=—=--j=~；tana=2;cola=—;seca=5;csca=------

丫—v5a5------------------------22

3、理解誘導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)換及應(yīng)用

/八?11)/c、.Z17兀、

★例1求下列三角函數(shù)值:(1)sin----；(2)sin(--------).

63

解：(1)sin-sin(2^---)=sin(--)=-sin—=-—：

66662

/八?/17兀7T.71V3

(2)sin(———)=sin(-6^-+y)=siny=—.

★例2化簡：

~sin(180+a)+sin(-a)-tan(360+a)

(1)；

tan(a+180)+cos(-a)+cos(180-a)

(2)sin120-cos330+sin(-690)cos(-660)+tan675+cot765.

立力/八H-Usina-sina-tanatana.

解：(1)原式:-------------------=-------=-l.

tana+cosa-cosatana

(2)原式=sin(180-60)?cos(360—30)+sin(720-690)cos(720—660)

+tan(675-720)+cot(765-720)

=sin60cos30+sin30cos60+tan(-45)+cot45

=—+-!-xl-tan45+1

2222

31,,,

=—I-----1+1=1.

44

4、會(huì)用五點(diǎn)法畫三角函數(shù)的圖像，理解函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)

★例L用“五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的簡圖：

(1)y-2cos%,%eR；(2)y-sin2x,x&R

解：（1）先用“五點(diǎn)法”畫一個(gè)周期的圖象，列表:

713〃

X0萬2%

7T

cosx10-101

2cosx20-202

描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象：（圖略）

（2）先用“五點(diǎn)法”畫一個(gè)周期的圖象，列表:

71713兀

X075T71

7131

2x0712〃

7~2

sin2x010-10

描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象：(圖略)

★例2.求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：

，乃、乃

(1)y=sinl2x+yI(2)y=-cos2x；(3)y=sin(—-2x).

'Ji

解：(1)令z=2xd——，函數(shù)y=sinz的單調(diào)增區(qū)間為［---\~2k兀,——F2攵乃］,(ZcZ),

322

由---\-2k7r<2x-\——<——F2Z萬，得----7r+k7r<x<---\-k7i,

2321212

故，函數(shù)y=sin(2x+()的單調(diào)增區(qū)間為［—得乃+女肛^|+左萬］,/eZ)

(2)由題意知：求原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即為求丁=?0521的遞減區(qū)間，

令f=2x,則y=cos/在區(qū)間［2人肛］+2Qr］(ZwZ)上遞減，

冗

2k7V<t<7V+2k7V，2k兀&2xW兀+2k兀，:?k兀WxS—+k兀,

2

TT

所以，函數(shù)y=—cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是Dbr,,+)br］(keZ).

jrJr

(3)Vy-sin(---2x)=-sin(2x---),

44

IT

求原函數(shù)的遞增區(qū)間即為求函數(shù)y=sin(2x-1)的遞減區(qū)間，

令f=2%—7,則y=sinr在區(qū)間［1+2hr,y+2上左］(左eZ)上遞減，

jrIT3冗3477r

：.-+2k7T<2x——<—+2左乃，—+^<x<——+2乃，

24288

所以，原函數(shù)的遞增區(qū)間是［二37r+左4,7上7r+上捫(ZeZ).

88

★例3.求/(x)=tan2x的周期.

解：設(shè)/(%)的周期為T,則/(x+T)=/(九)，即tan2(x+T)=tan2%.

jr

令〃=2%,得tan(〃+27)=tan〃，由tan”的周期為)，可知27="，即丁=一.

2

TT

所以/(x)=tan2%的周期為萬.

jr

說明：函數(shù)y=Atan(〃zx+0)(AH()MHO)的周期T=門.

5、理解y=Asin(@x+0)的圖像及其意義，理解函數(shù)圖像的變化及性質(zhì)

TT

★★例1.(1)函數(shù))，=sin(2x+1)的圖象可由函數(shù)》=5后1的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

TT17T

(2)將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)得到y(tǒng)=sin(x-?的圖象，再將y=sin(jx—1)的圖

象上的所有點(diǎn)，可得到函數(shù)y=；sin(gx-()的圖象.

I1JI

要得到的圖象，只須將函數(shù)>=sin(]X—§)的圖象

n

(4)要得到函數(shù))=cos(3x—生)的圖象，需將函數(shù)丁=4113%的圖象___________?

6

(5)已知函數(shù)y=/(x),若將/(x)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，然后

將整個(gè)函數(shù)圖象向上平移2個(gè)單位，得到曲線與y=sinx的圖象相同，則/(x)的解析式

是.

1T

解：⑴將〉=$由工的圖象向左平移一個(gè)單位;

4

7t1、

(2)向右平移上個(gè)單位；縱坐標(biāo)縮短為原來的上(橫坐標(biāo)不變);

32

2乃7T

(3)向左平移絲的單位；(4)向左平移2個(gè)單位；(5))=±sinx—2.

3922

★★例2.已知函數(shù)丁=Asin(3x+0)(A>0.>0,|夕|<萬)一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象，如下圖所示,

求函數(shù)的一個(gè)解析式.

解：由圖知：函數(shù)最大值為6,最小值為-石，

又tA>0,A=V3,

,,T57r7i71

由圖知一=----

2632

.2萬

..T1=冗=----9co—2,

CO

又?."+當(dāng)7乃，，圖象上最高點(diǎn)為(衛(wèi),G)

2361212

V3=V3sin(2x—+,即sin(上+°)=1,*.*\(p\<^r(p24

1263

所以，函數(shù)的一個(gè)解析式為y=Gsin(2x—杏).

★★例3.已知函數(shù))=ACOS(GX+°)(A>0,G>0,0<°<乃)的最小值是一5,圖象上相鄰兩個(gè)最

TT

高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差2,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),求這個(gè)函數(shù)的解析式.

42

T兀712乃

解：由題意：A=5,—=一，:,T=—=——,69=4,；?y=5cos(4x+°),

242CD

又;圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),???g=5cos0,即cose=-g

2

27r27r

又,：b〈(p〈兀,：.(p^—,所以，函數(shù)的解析式為y=5cos(4x+飛-).

TT77r

例3.已知函數(shù)/(x)=asin(2x+1)+l的定義域?yàn)镽,若當(dāng)一/4x4-當(dāng)時(shí)，/(x)的最大值為2(1)

求。的值；(2)求出該圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程.

7萬5萬c71,兀

解:(D哈\-----<2x+—<—

6636

—1<sin(2x+y)/(x)max=ga+l即;a+1=2a=2

(2)由2x+工=Z)，得X=^—C(ZGZ),.?.對(duì)稱中心為(旦一工，1).

326