福建省漳州市2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（北師大版A卷）（含答案解析）

福建省漳州市2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

（北師大版A卷）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若土=],則'的值為（）

7八7「3>4

A.-B.-C.—D.一

4347

2.下列方程是一元二次方程的為（）

A.x+l=0B.—=1

x

C.x2~x=2D.(x-1)2+1=N

3.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線相等B.對角線互相平分C.對角線互相垂直D.四條邊都相等

4.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△A8C的三個頂點均在格點上，則

5.拋物線），=/通過平移，得到拋物線y=x2+l,則該平移方式正確的是（）

A.向上平移I個單位B.向下平移1個單位

C.向左平移1個單位D.向右平移1個單位

6.在不透明布袋中裝有除顏色外其它完全相同的紅、白玻璃球，其中白球有60

個.同學(xué)們通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋中紅球個數(shù)

約為（）

A.15個B.20個C.25個D.30個

7.下列說法正確的是（）

A.任意兩個菱形都相似

B.任意兩個正方形都相似

C.任意兩個等腰三角形都相似

D.任意兩個矩形都相似

8.在△ABC中，ZC=90°,若AC=1,BC=3,貝IsinB的值為()

A.-B.叵C,D.3

31010

9.如圖，在AABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點，且AZ>=2,BD=1,

DE//BC.則下列說法不正確的是（

B..ADEfABC

2

C.DE=-BCD.S/\ADE^/\ABC

3

4

10.在平面直角坐標(biāo)系xO），中，直線y=fcv與雙曲線>=一的圖象交于A,B兩點，點

x

P在x軸的正半軸上，若以，尸B,則OP的最小值是（）

A.4B.2C.4&D.2&

二、填空題

11.計算：cos60°=.

12.拋物線y=2（x-1）2+2的頂點坐標(biāo)是.

13.菱形A8CC的面積為24,對角線AC的長為6,則對角線8。的長為.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A/B/G是位似圖形，且頂點都在格點

15.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶

高、廣各幾何？'‘大意是說：“已知有一扇長方形門的高比寬多6尺，門的對角線長為1

丈（1丈=10尺），那么門的高和寬各是多少？”如果設(shè)門的寬為x尺，則可列方程為

16.關(guān)于二次函數(shù)y=N-8x+7；現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①圖象的開口向下；

②圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,7)；

③當(dāng)x>4時，y的值隨x值的增大而增大：

④)，的最小值為-9.

其中正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

三、解答題

17.解方程:x2-4x+3=0.

18.如圖，矩形ABCQ的對角線相交于點。，BE//AC,AE//BD.求證：四邊形

AE8。是菱形.

m—S

19.已知反比例函數(shù)>=巴上的圖象位于第一、三象限.

x

(1)求機的取值范圍；

(2)若該反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)y=x+l的圖象的交點為A(2,〃)，求相的值.

20.在全民閱讀活動中，某圖書館第一個月進(jìn)館200人次，第三個月進(jìn)館392人

次.求第二個月、第三個月進(jìn)館人次的月平均增長率.

21.某校延時服務(wù)每天中午為學(xué)生提供A,B,C三種套餐，每位學(xué)生只能從中任選一

種.

(1)若某同學(xué)從中隨機選一種，則其選中A種套餐的概率是.

(2)若甲、乙兩位同學(xué)從中隨機選一種套餐，請你利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們

恰好選中同種套餐的概率.

22.如圖，在△ABC中，AB=AC,8￡>_LAC于點D

D

⑴在BC邊上求作點E,使AACEs^BCD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖

痕跡）

⑵在（1）的條件下，連接OE,若48=6,DE=2,求DC的長.

23.在疫情防控工作中，某學(xué)校在校門口的大門上方安裝了一個人體測溫攝像頭.如

圖，學(xué)校大門高M(jìn)E=7.5米，AB為體溫監(jiān)測有效識別區(qū)域的長度，小明身高8。=1.5

米，他站在點B處測得攝像頭M的仰角為30。，站在點A處測得攝像頭M的仰角為

60。，求體溫監(jiān)測有效識別區(qū)域AB的長度.

24.如圖，在周長為16的正方形ABCO中，對角線AC,8。相交于點O,E,尸分別

在邊48,BC上，且NEOF=90。，連接EF交08于M.

⑴求證：ABOE^/XCOF-

⑵當(dāng)BE=1時;求OB?OM的值.

25.已知拋物線丫=0-2ar+c（a>0）與x軸交于點（2,0）.

（1）求拋物線的對稱軸及c的值；

（2）若該拋物線與直線），=x-2只有一個公共點.

①求拋物線的解析式；

②將拋物線的圖象沿?zé)o軸平移〃個單位后，當(dāng)32時，），的最小值為3,請說明平移

方式.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

將所求代數(shù)式進(jìn)行變形，再將已知式子值代入即可求出答案.

【詳解】

解：=7

y4

yyy44

【點睛】

本題主要考查了代數(shù)式求值問題的整體代入法，能將所求代數(shù)式正確變形是做出本題的關(guān)

鍵.

2.C

【解析】

【分析】

判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含

有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【詳解】

解：A、方程是一元一次方程，故選項不符合題意；

B、不是整式方程，故選項不符合題意；

C、方程只含有一個未知數(shù)（即"元”），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2（即“次”）的整式方

程，符合一元二次方程的定義，故選項C符合題意.

B、化簡（x—l）2+1=/得-2X+2=0,是一元一次方程，故選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次

數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù).

3.B

【解析】

【分析】

答案第1頁，共16頁

矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形具有的性質(zhì)就是矩形，菱

形，正方形都具有的性質(zhì).

【詳解】

矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)：對角線互相平分.

故選B.

【點睛】

本題主要考查的是對矩形，菱形，正方形的性質(zhì)的理解.

4.D

【解析】

【詳解】

BC4

VAB=3,BC=4,ZABC=90°,Z.tanA=——=-.故選D.

AB3

5.A

【解析】

【分析】

直接利用二次函數(shù)圖象平移規(guī)律（左加右減，上加下減）進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：拋物線y=f向上平移1個單位即可得到拋物線y=x?+l.

故選：A.

【點晴】

此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是正確記憶平移規(guī)律.

6.B

【解析】

【分析】

根據(jù)頻率估計概率問題可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

?.?通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，

...摸到紅色球的概率為0.25,

???布袋中裝有除顏色外其它完全相同的紅、白玻璃球兩種，

摸到白色球的概率為1-0.25=0.75,

答案第2頁，共16頁

:有白色球60個,

...球的總個數(shù)為：忌=8。，

紅球個數(shù)約為80-60=20,故B正確.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查頻率估計概率，熟練掌握利用頻率估計概率是解題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)相似圖形的定義，對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等對每個命題進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：A任意兩個菱形滿足四條邊對應(yīng)成比例，但不一定滿足四個角分別對應(yīng)相等，所以不

一定相似，故A不符合題意；

B任意兩個正方形既滿足四條邊對應(yīng)成比例，也滿足四個角對應(yīng)相等，所以任意兩個正方

形都相似，故B符合題意；

C任意兩個等腰三角形不一定滿足有兩個角對應(yīng)相等，所以不一定相似，故C不符合題

意；

D任意兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合

題意.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是相似圖形的判定，掌握相似多邊形各自的判定方法是解題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理可得再根據(jù)正弦的定義，即可求解.

【詳解】

解：VZC=90°,若4c=1,BC=3,

-■?AB=4AC2+BC2=>/io，

答案第3頁，共16頁

故選：B

【點睛】

本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做該銳角的正

弦；銳角的鄰邊與斜邊的比叫做該銳角的余弦；銳角的對邊與鄰邊的比叫做該銳角的正切

是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【詳解】

解：VAD=2,BD=1,DEIIBC,

：.AE:EC=AD:BD=2:\,故選項A正確；

AAE：AC=AD：AB=2:3,又ZDAE=NBAC,

：.^ADE~^ABC,故選項B正確；

2

ADE:BC=AD:AB=2:3,\^DE=-BC,S^ADE:S^ABC=4:9,

故選項C正確，選項D錯誤，

故選：D.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

10.D

【解析】

【分析】

由圖象的對稱性可得從而可得。尸=。4,設(shè)點A坐標(biāo)為（機,進(jìn)而求解.

【詳解】

解：如圖，

答案第4頁，共16頁

4

???直線y二履與雙曲線），=?的圖象關(guān)于原點成中心對稱,

x

:.OA=OB,即點。為A8中點,

???PALPB,

?.在aAAP8中，OP=-AB=OAf

2

設(shè)點A坐標(biāo)為（肛—,則OP=OA=/2+（』）=/（加_2）+8

.?.當(dāng)即小=2時,0P取最小值為20.

m

故選：D.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握函

數(shù)與方程的關(guān)系，掌握直角三角形斜邊中線長度等于斜邊的一半.

【解析】

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值填空即可.

【詳解】

解：8s60°=；,

故答案為：

【點睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記部分特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

12.（1,2）

答案第5頁，共16頁

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)》=4（犬-域+氏（。*0）的頂點坐標(biāo)為（/7次），即可求解.

【詳解】

解：拋物線y=2（x-1）2+2的頂點坐標(biāo)為（1,2）.

故答案為：（L2）

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)y=o（x-〃）2+%（。*0）的頂點

坐標(biāo)為（〃《）是解題的關(guān)鍵.

13.8

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半直接計算即可.

【詳解】

解：菱形ABCD的面積=gAUBO=24,

VAC=6,

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了根據(jù)對角線長計算菱形的面積的方法，掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半

是解題的關(guān)鍵.

14.（6,2）

【解析】

【分析】

根據(jù)位似中心的概念解答即可.

【詳解】

解：如圖可知，位似中心戶的坐標(biāo)為（6,2）,

答案第6頁，共16頁

【點睛】

本題考查的是位似變換的概念，解題的關(guān)鍵是掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對

應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點

叫做位似中心.

15./+(x+6)-=102

【解析】

【分析】

設(shè)門的寬為x尺，則(x+6),根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解.

【詳解】

解：設(shè)門的寬為x尺，則(x+6),根據(jù)勾股定理得：

/+(x+6,=102.

故答案為：/+(x+6)2=102

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，明確題意，準(zhǔn)確得到數(shù)量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

16.②③④

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)解析式中二次項的系數(shù)大于0即可判斷①；求出當(dāng)x=0時，y=i,由此即

答案第7頁，共16頁

可判斷②；將二次函數(shù)的解析式化成頂點式，由此即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即

可判斷④.

【詳解】

解：?.?二次函數(shù)y=f-8x+7中的二次項的系數(shù)為1>0,

?.?函數(shù)圖象的開口向上，結(jié)論①錯誤；

當(dāng)x=0時，y=7,

則圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,7),結(jié)論②正確；

二次函數(shù)y=》2-8x+7化成頂點式為y=(x-4)2-9,

則當(dāng)x<4時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>4時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=4時，y取得

最小值，最小值為-9,結(jié)論③④正確；

綜上，正確的是②③④，

故答案為：②③④.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.x/=3,X2=l

【解析】

【分析】

利用因式分解法求解即可.

【詳解】

解：/一4/3=0,

(x-3)(x-1)=0,

/.x-3=0或x-l=0,

.".Xl=3,X2=l.

【點睛】

本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解法的步驟是本題的關(guān)鍵，解一

元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特

點靈活選用合適的方法.

18.見解析

【解析】

答案第8頁，共16頁

【分析】

首先根據(jù)兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形04EB是平行四邊形，再根據(jù)

矩形的性質(zhì)可得OA=OB,即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論.

【詳解】

證明：-：BE//AC,AE//BD,

...四邊形AEBO是平行四邊形.

?.?四邊形ABCD是矩形，

：.OA^OB=-AC^-BD

22

.??四邊形AE8。是菱形.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)和菱形的判定，掌握他們的性質(zhì)和特征是本題關(guān)鍵.

19.(l)m>5；

(2)m的值為11.

【解析】

【分析】

(1)由反比例函數(shù)圖象位于第一象限得到&=怙5>0,即可求出團的范圍；

(2)將A坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中求出〃的值，確定出A坐標(biāo)，代入反比例解析式中

即可確定出反比例解析式.

(1)

解：?反比例函數(shù)位于第一、三象限，

/.fc=/n-5>0,

解得m>5；

(2)

解：點A(2,n)在一次函數(shù)產(chǎn)r+1的圖象上，

〃=2+1=3,則A點的坐標(biāo)為(2,3).

又???點A在反比例函數(shù)產(chǎn)"-上(加為常數(shù)，x>0)的圖象上，

x

A??-5=2X3=6,

?*."1=11.

???加的值為11.

答案第9頁，共16頁

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：反比例函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

20.第二個月、第三個月進(jìn)館人次的月平均增長率為40%.

【解析】

【分析】

設(shè)第二個月、第三個月進(jìn)館人次的月平均增長率為x,利用第三個月進(jìn)館人次數(shù)=第一個月

進(jìn)館人次數(shù)X(1+月平均增長率)2,即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之取其正值即可

得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)第二個月、第三個月進(jìn)館人次的月平均增長率為X,

依題意得:200(1+jc)2=392,

解得:x/=0.4=40%,X2=-2.4(不合題意,舍去).

答：第二個月、第三個月進(jìn)館人次的月平均增長率為40%.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

21.(1)1

⑵1

3

【解析】

【分析】

(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；

(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概

率公式即可得出答案.

(I)

解：根據(jù)題意得：選中A種套餐的概率是

(2)

解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下：

答案第10頁，共16頁

開始

ABC

/4\/N/N

ABCABCABC

共有9種等可能結(jié)果，其中恰好選中同種套餐的有3種，

，恰好選中同種套餐的概率|=1.

【點睛】

本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列出表格是解

題的關(guān)鍵.

22.(1)見解析

4

(2)DC=-

【解析】

【分析】

(1)作于點E,根據(jù)兩個角對應(yīng)相等可判定兩個三角形相似；

(2)由AC=A8=6,AE±BC,得E是BC的中點，再證8c=2￡>E=4,CE=DE=2,

再根據(jù)△ACEsABCD即可求解.

(1)

解：如圖，作AEJ_BC于點E,

"：BDLAC,AELBC

：.ZADB=ZAEC=90°

又?:ZC=ZC

/XACE^/XBCD

答案第II頁，共16頁

點即為所作.

(2)

如圖所示，連接。E,

'：AC=AB=6,AELBC,

.?.E是8c的中點

又DE=2,

：.BC=2DE=4,CE=DE=2

'：^ACE^^BCD

.=4，即9=2,

BCDC4DC

4

解得：DC=-

4

即0c的長為

【點睛】

本題考查作圖與相似變換.解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性

質(zhì).

23.4G

【解析】

【分析】

首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)

造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意可知：四邊形EFC4和ABOC是矩形，ME=7.5米,

.?.C4=EF=B￡>=1.5米，CD=AB,

答案第12頁，共16頁

設(shè)FC=x,

在RAMFC中,

?.?/MCF=60。，

/.ZFMC=30°,

MC=2FC=2x,MF=y/3x,

?.?NM￡)C=30。，

.-.ZCMD=60°-30°=30°,

/.CD=CM=2x,

■：ME=MF+EF,

，6X+1.5=7.5,

解得：x=2-fi,

.-.MC=2x=4y/3(米).

答：體溫監(jiān)測有效識別區(qū)域AB的長為4g米.

【點睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角

函數(shù)值，熟練掌握以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

24.⑴見解析

(2)5

【解析】

【分析】

(1)由“ASA”可證△BOE當(dāng)ACOF；

(2)通過證明△EOMsaBOE,可得OE2=O"OM,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解.

(1)

證明：：四邊形438是正方形，

：.AO=CO=BO=DO,AC±BD,NABO=NACB=45。，

NB0C=NE0F=9U°,

：.NEOB=NFOC,

在ABOE和△CO/中,

答案第13頁，共16頁

ZABO=ZACB

<OB=OC,

ZBOE=Z.COF

：./\BOE^/\COF(ASA)；

(2)

,:4B0E經(jīng)ACOF,

???OE=OF,

：.ZOEF=45°,

ZABO=ZOEF,

XV/BOE=/BOE,

:?△EOMSXBOE、

,OMOE

??=,

OEOB

：.OE2=OB'OM,

如圖，過點。作0HLA8于H,

?.,正方形A8C。的周長為16,

：.AB=4,

'：OA=OB,ZAOB=90°,OHLAB,

:.AH=BH=2=0H,

；BE=l,

：.HE=\,

：.OE^=OH2+HE2=5,

：.0B-0M=5.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

25.⑴拋物線對稱軸為直線x=l,c=0；

答案第14頁，共16頁

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⑵①尸yx-x；②沿x軸向左平移Q-2個單位或向右平移3+近個單位

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)拋物