高中數(shù)學《第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì)》單元測試卷(含解析)

高中數(shù)學《第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)》單元測試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.對于兩個圖形&,F2,我們將圖形FI上的任意一點與圖形F2上的任意一點間的距離中的最小值，

叫作圖形&與圖形尸2的距離.若兩個函數(shù)圖象的距離小于1，稱這兩個函數(shù)互為“可及函數(shù)”.給

出下列幾對函數(shù)，其中互為“可及函數(shù)”的是()

A./(%)=cosx,g(x)=2

2

B./(%)=log2(x-2x+5),gQ)=sin^x

C./(%)=V4-x2,g(x)=[%+/

2

D./(%)=%+-,g(x)=Inx+2

2.已知f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(%+4)=/(x),當％E[-2,0]時，/(%)=2。則f(1129)

等于()

AB.—；C.-1D.1

22

3.函數(shù)y=lg(l+tcmx)的定義域是()

A.(fc7r-pk7r+^)(/cGZ)B.(/CTT-pto+=)(/cGZ)

C.(k7r-^fc7r+^(/cGZ)D.(/CTT-p/c/r+=)(/cGZ)

4.已知幕函數(shù)/(%)=￡,若/(a-1)Vf(14-2a),則。的取值范圍是()

A.[-1,3)B.(-00,5)C.[1,5)D.(5,+8)

5.已知/(%)是R上的奇函數(shù)，且當工￡(-8,0]時，/(%)=-%句(2m一％+J.當%>0時，不等式

/(x)V0恒成立，則機的取值范圍是()

A.(-00,-1)B.(-1,1]C.[0,+8)D.[T+8)

6.函數(shù)/(%)=x+s出x在％€[0,2兀]上的圖象大致為()

A.a2>9B.a2<9C.a3>27D.a3<27

8.設(shè)函數(shù)y=74—犬的定義域為A,函數(shù)y=ln(2-x)的定義域為8,則4nB=()

A.(1,2)B.(-2,1)C.[-2,2)D.[-2,2]

9.函數(shù)y=/與y=G尸-2圖形的交點為s")，則a所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

10.函數(shù)/(無)=/。。21巖I的大致圖象為()

12.函數(shù)y=/(x)的定義域為[―2,+8),函數(shù)y=g(x)為/?上的奇函數(shù)，則函數(shù)/。)=謂的定義

域可能為()

A.[—2,0)U(0,+oo)B.[―2,—1)U(―1,0)

C.[—2,—1)U(1,+oo)D.[-2,—1]U(0,1]

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13,已知人無)=g(x)-3,且函數(shù)y=g(x)為奇函數(shù)，若f(4)=2,則f(一4)=()

14.函數(shù)y=|-x2+2x+3|在區(qū)間[0,4]上的最大值是.

%2—dx+5%V1

'為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍______.

{X'—

16.函數(shù)丫=\logi2x\+|1。gx|取最小值時x的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數(shù)f(x)=—x+2；

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；

(2)畫出函數(shù)的圖象.

18.為節(jié)約用水，某市打算出臺一項水費收費措施，其中規(guī)定：每月每戶用水量不超過7噸時，每

噸水費收基本價3元；若超過7噸而不超過11噸時，超過部分水費加收100%；若超過11噸而

不超過15噸時，超過部分的水費加收200%,,現(xiàn)在設(shè)某戶本月實際用水量為x(0WxW15)噸，

應(yīng)交水費為)'元.

(1)試求出函數(shù)j.=f(x)的解析式；

(2)如果一戶人家本月應(yīng)交水費為39元，那么該戶本月的實際用水量是多少？

19.(i)i+M：log6.25+lg0.001+ln^+2-1+bgi3-(|)-2

⑵已知函數(shù)/(x)是定義在女上的奇函數(shù)，當了、0時，/⑶=-2/+31+1，求/G)的

解析式

20.定義在。上的函數(shù)f(x),如果滿足：對任意存在常數(shù)M>0,都有WM成立，則

稱/(x)是。上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)/(x)=1+展(》'+心尸：

(1)當a=l時，求函數(shù)在(-8,0)上的值域，并判斷函數(shù)/(%)在(-8,0)上是否為有界函數(shù)，請說

明理由；

(2)若函數(shù)/(x)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若m>0,函數(shù)g(x)在［0,1］上的上界是T(zn),求T(m)的取值范圍.

21.定義在(-12,12)的函數(shù)f(x),對于任意的a,bER,有f(a+b)=f(a)+f(b),且f(x)在(0,12］

上單調(diào)遞減，/(5)=-2.

⑴求/(0)；

(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

(3)解不等式/(產(chǎn)一%)+f(3x+2)+4>0.

22.(本題12分)已知函數(shù)」(x)對任意實數(shù)x均有了GOM^S+Z),其中常數(shù)上為負數(shù)，且/(x)在

區(qū)間［0,2］有表達式」(x)=x(x-2).

(1)求出了(一1),/(2.5)的值；

(2)若函數(shù)了。)在區(qū)間［-2,2］的最大值與最小值分別為陽〃，且制-方=3,求上的值.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：解：對于A,當cosx=l時，/(x)與g(x)的函數(shù)圖象的距離等于1,不符合題意；

對于B,,:y=%2-2%4-5在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???/(%)在(-8,1)上單調(diào)遞減,，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

Anin(%)=/⑴=2,乂gmax(x)=。(1)=1，

，/(%)與gO)的距離為2-1=1,不符合題意；

對于C,f(x)的圖象為以(0,0)為圓心，以2為半徑的上半圓，圓心到直線g(x)+竽的距離為￡=

3,

???”X)與g(x)的距離為3-2=1,不符合題意；

對于O,令九(%)=/(%)—g(x)=%4---Inx-2,

則〃(x)=1=(x+?y-2),

.?.當0<x<2時，八'(x)<0,當x>2時，>0,

h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

hmin(x')=h(2)=1—ln2<1,

???f(x)與g(x)的距離Whmin(x)<1,符合題意.

故選D

根據(jù)函數(shù)圖象求出A,B,C中函數(shù)圖象的距離，利用導(dǎo)數(shù)求出。中/(x)-g(x)的最小值，得出函數(shù)

圖象距離的最小值與1的關(guān)系.

本題考查了函數(shù)圖象，距離計算，及函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.

2.答案：A

解析：解：+4)=/(%)；

???/(尤)的周期為4；

又xe[—2,0]時，/(x)=2X,且f(x)是R上的偶函數(shù)；

/(1129)=f(l+282x4)=/(I)=/(-I)=2T=

故選:A.

根據(jù)/0+4)=/(霜即可得出/0：)的周期為4,從而得出〃1129)=/(1),再根據(jù)/'(X)是偶函數(shù)，且

xG[—2,0]時，/(X)=2”即可求出/(I)=/(-I)=

考查周期函數(shù)和偶函數(shù)的定義，以及已知函數(shù)求值的方法.

3.答案：C

解析：解：由1+tern久>0,得￡出枕>一1,

二而-汴％v如+泉kez.

?,?函數(shù)y=lg(l+tern%)的定義域是(k"一%左兀+/)(攵￡Z).

故選：C.

由對數(shù)式的真數(shù)大于。求解三角不等式得答案.

本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查三角不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

4.答案：C

解析：解：由事函數(shù)f(x)=￡，若/'(a-1)</14一2a),

可得<V14-2a.求得1<a<5,

故選：C.

由題意利用基函數(shù)的性質(zhì)，求得。的范圍.

本題主要考查累函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案:D

解析：解：???/(>)是R上的奇函數(shù)，

又：當x>0時，不等式f(x)<0恒成立，

當xe(-0°,0)時，/(%)=-xlg(2m-x+1)>0恒成立；

2m-x+1>1在(一8,0)上恒成立；

?1-2m>|+x在(一8,0)上恒成立；

故2m>

故m>-1.

故選：D.

由題意，當x6(—8,0)時，/(x)=-也9(2m一“+》>0恒成立：從而化為最值問題，從而解得.

本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題.

6.答案：B

解析：解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=x+sinx,xe[0,2TT],

其導(dǎo)數(shù)f'(x)=1+cosx>0,所以在[0,2兀]為增函數(shù),

令。(乃=/'(%)，且g'(x)=-sinx,當捫時，g'(x)=<0,g(x)為減函數(shù),f(x)圖象上切線的

斜率逐漸減?。?/p>

當xe[匹2初時,g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，/(x)圖象上切線的斜率逐漸增大.

分析選項可得：B符合題意；

故選：B.

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令g(x)=f'(x),求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析圖象的切線

的變化情況，據(jù)此分析選項即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象，涉及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：4取a=0不成立；

8.取a=-4不成立；

C.取a=0不成立；

。.利用函數(shù)/(?=/在R上的單調(diào)遞增可得：a3<27.

故選：D.

利用不等式的性質(zhì)及其函數(shù)/(x)=在R上的單調(diào)性即可得出.

本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：???4-/20,解得一2WxW2,

■-A=[-2,2]；

■-2—x>0,解得x<2,

B=(-00,2)；

ACB=[-2,2),

故選：C.

根據(jù)基函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求出集合A和B,進而求出4nB.

本題考查集合的交并補運算以及募函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題目.

9.答案：B

解析：解：,.?y=/與y=C)x-2,

???設(shè)/(X)=爐-(y-2,

則函數(shù)f(X)為增函數(shù)，

V/(I)=1-(I)-1=1-2=-1<0,/(2)=23-?)2-2=8-1=7>0,

二函數(shù)/(x)的根％6(1,2),

?.?函數(shù)y=/與y-(}*-2圖形的交點為(氏;)),

???aE(1,2),

故選：B.

構(gòu)造函數(shù)f(x))=/-(}x-2,根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系判斷函數(shù)零點的取值范圍是解決本題

的關(guān)鍵.

本題主要考查函數(shù)零點的取值范圍的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解決本題

的關(guān)鍵.

10.答案：C

解析：

本題考查函數(shù)的圖象識別，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，分析可得/(?為奇函數(shù)，可以排除A,進而分析XT+8時，函數(shù)圖象的變化趨勢，排除

BD,即可得答案.

解：根據(jù)題意，f(x)=log2\^\,有言中0,則有久彳±1，即函數(shù)的定義域為{x|x#±l},

又由/(一x)=log2l宗|=Tog21fl=-八>)，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除A;

1+X1-X

又由當XT+80寸，I罟1-1，則/(%)->0,排除以。；

故選：C.

11.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，y=%2-4%+2=(%-2)2-2,

分析可得：當％=2時，y有最小值-2；

故選：C.

根據(jù)題意，函數(shù)的解析式變形可得y=/—4x+2=(x—2)2—2,據(jù)此分析可得答案.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：B

解析：解：?.?函數(shù)y=g(x)為R上的奇函數(shù)，則g(x)的定義域關(guān)于原點對稱，

由g(x)>0,可知函數(shù)F(x)=三答的定義域內(nèi)必不存在符號相異的數(shù)，

又函數(shù)y=/(x)的定義域為［-2,+8),

二函數(shù)“外二爆的定義域可能為［-2,-l)U(—l,0)?

7gm

故選：B.

由函數(shù)y=g(x)為R上的奇函數(shù)，得g(x)的定義域關(guān)于原點對稱，再結(jié)合g(x)>0及函數(shù)y=/(%)的

定義域，即可求出函數(shù)/。)=儡的定義域.

本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，是中檔題.

13.答案：—8

解析：

本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值，整體思想的運用，屬于中檔題.

根據(jù)奇函數(shù)以及f(4)=2,求出g(4),g(—4),即可求解/(一4).

解：???/(x)=g(x)-3,且函數(shù)y=g(x)為奇函數(shù)，

因為f(4)=g(4)-3=2,所以g(4)=5,g(-4)=-5,

所以/(-4)=g(—4)-3=-5-3=-8.

故答案為-8.

14.答案:5

解析：解：由題意得：

-x+2x+3(0<x<3)

y=-x2+2r+3=<

x2-2x-3(x>3)

作出圖像如下圖所示:

所以，當x=4時，函數(shù)取得最大值為5,故答案為：5

15.答案：[2,3]

—dx+5%V1

2x21'為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

X'一

a>0,>1,6—a>a,

解得2<a<3.

則實數(shù)a的取值范圍是[2,3].

故答案為：[2,3].

%2—dx+5%V1

'為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性、反比例函數(shù)的單

-,x

{xN1

調(diào)性即可得出.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16.答案：E，l]

解析：解：y=Uogi2x\+\logix\=\1+logx|+|logx|=/(%).

2222

當％時，/(%)=1+2log2x>1,當且僅當x=l時取等號；

當0<久工[1時，/(%)=-1-2log2x>1,當且僅當％=g時取等號；

當之<%<1時，/(%)=1,因此[V久<1時等號成立.

綜上可得：函數(shù)/(%)取最小值1時x的取值范圍是己,1].

故答案為：辭1].

y=|1+log2%|+|log2%|=/(第).對X分類討論：當XN1時，/(%)=1+2log2x；當時，

/(x)=-1-2log2x；當:<%V1時，/(%)=1,即可得出.

本題考查了絕對值函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分類討論，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.答案：解：(1)此函數(shù)在R為減函數(shù).

證明：由原函數(shù)得定義域為R,任取x2&R,且/ex2

y(^i)-f(X2)=(-%1+2)-(-x2+2)=x2-xr,

又X2GR,且*1<*2，[*2—>°，即/(X1)>/(%2)，

故函數(shù)/(x)=-x+2在H為減函數(shù).

(2)圖象如圖所示

解析：(1)任取X2&[0,4-00),且工1<%2,利用作差可判斷與/。2)的大小，根據(jù)單調(diào)性的

定義可作出判斷；

(2)描點畫圖即可.

本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)圖象的作法，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法，要熟練掌

握，屬基礎(chǔ)題

⑴當0介47時，/(x)=3x

18.答案：當7<.v4”時,/(x)=3X7-F(X—7)x6=6x—21

當時./(X)=3X7+6X(11-7)4-(X-11)X9=9X-44

3x(0?xw7)

故〃x)=?6x—21(7<xgll)

9.r-44(H<x^l5)

⑵當/(x)=39元時，21v39v45,可知7Vx411

至6x-21=39得x=10"該戶本月的實際用水量是10噸,

解析：(1)根據(jù)題意，可按x在[0,7],[7,11],[1,15]三個區(qū)間分別寫出各自的解析式，從而可得分段

函數(shù)/(x)的解析式;

(2)令/(x)=39,則可得x的范圍，從而可確定需要代入哪部分函數(shù)的解析式，進而可得答案.

…5

19.答案:(1)—;

9

卜醐?，窗:署惠需海噬

(2)，儂或=?，或累:=瞰

解析：解：(1)原式=

(2)???函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當需驚⑩時，宣]礴=一圈F*陸;*21,

二/(0)=0,

當x<。時，-x>0,二,翼—礴=一篤—須*署簿卜礴書：）=一著―一觥.$1=-JO，

二，頻,磁=富孑書警桌—：!，

20.答案：解：(1)當a=l時，/(%)=1+G尸+(》x

因為/(x)在(—8,0)上遞減，所以/(4)>/(0)=3,

即f(x)在(一8,0)的值域為(3,+8)故不存在常數(shù)“>0,使|f(x)|<M成立

所以函數(shù)/(乃在(-8,0)上不是有界函數(shù).(4分)

(2)由題意知，|f(x)43在[0,+8)上恒成立.(5分)

-3</(%)<3,-4-(iy<a-(1r<2-(^

...-4-2x-(^)x<a<2-2X-G尸在[0,+8)上恒成立(6)

???[-4?2、-G)x]maxWa<[2?2X-?尸猛譏(7分)

設(shè)2*=3h(t)=-4t—I，p(t)=2t—p由x€[0,+8)得t21,

(12一”)(41也-1)(11-12)(2"12+1)<g

設(shè)<今，九⑹-g)>Op(ti)-p(t)

1<ti1也2亡112

所以/l（t）在［l,+8）上遞減，p（t）在［1,+8）上遞增，（9分）

/l（t）在［1,+8）上的最大值為九（1）=-5,p（t）在口,+8）上的最小值為p⑴=1

所以實數(shù)a的取值范圍為（10分）

2

（3）g（x）=T+R，

vm>0,x6[04]

???9（%）在［0,1］上遞減，（12分）

???g⑴<g（x）<g（o）即恐$以乃士言（〈分）

①當?言⑶思I，即me（0當時，|gQ）|w||^|,（12分）

此時Tg）2|辭I，（14分）

②當喘1<1濠I，即me停,+8）時,|g（初引恐I，

此時75出懸I，

綜上所述，當me(0,曰］時，r(m)的取值范圍是^,+8)；

當me［曰,+8)時，r(m)的取值范圍是［一需,+8)(16分)

解析：(1)當a=l時，易知f(x)在(-8,0)上遞減，有f(x)>/(0)=3,再有給出的定義判斷;

(2)由函數(shù)/(X)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數(shù)，結(jié)合定義則有|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立,

Xx

再轉(zhuǎn)化為一4-2、一G尸WaW2?2”-G尸在［0,+8)上恒成立分別求得［-4?2-(^)］max和［2?

2,-?尸］min即可；

(3)據(jù)題意先研究函數(shù)gQ)在［0,1］上的單調(diào)性，確定函數(shù)g(x)的范圍，即分別求的最大值和最小值,

根據(jù)上界的定義，T(m)不小于最大值，從而解決.

本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉(zhuǎn)化為已有的知識和方法去解決，本題主

要體現(xiàn)了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力.

21.答案：解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)/(x)滿足對于任意的a,bER,有f(a+b)=f(a)+f(b),

令a=b=0,則〃0)=2/(0),則f(0)=0；

(2)根據(jù)題意,在f