高中數學《第3章 函數的概念與性質》單元測試卷(含解析)

高中數學《第3章函數的概念與性質》單元測試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.對于兩個圖形&,F2,我們將圖形FI上的任意一點與圖形F2上的任意一點間的距離中的最小值，

叫作圖形&與圖形尸2的距離.若兩個函數圖象的距離小于1，稱這兩個函數互為“可及函數”.給

出下列幾對函數，其中互為“可及函數”的是()

A./(%)=cosx,g(x)=2

2

B./(%)=log2(x-2x+5),gQ)=sin^x

C./(%)=V4-x2,g(x)=[%+/

2

D./(%)=%+-,g(x)=Inx+2

2.已知f(x)定義在R上的偶函數，且滿足f(%+4)=/(x),當％E[-2,0]時，/(%)=2。則f(1129)

等于()

AB.—；C.-1D.1

22

3.函數y=lg(l+tcmx)的定義域是()

A.(fc7r-pk7r+^)(/cGZ)B.(/CTT-pto+=)(/cGZ)

C.(k7r-^fc7r+^(/cGZ)D.(/CTT-p/c/r+=)(/cGZ)

4.已知幕函數/(%)=￡,若/(a-1)Vf(14-2a),則。的取值范圍是()

A.[-1,3)B.(-00,5)C.[1,5)D.(5,+8)

5.已知/(%)是R上的奇函數，且當工￡(-8,0]時，/(%)=-%句(2m一％+J.當%>0時，不等式

/(x)V0恒成立，則機的取值范圍是()

A.(-00,-1)B.(-1,1]C.[0,+8)D.[T+8)

6.函數/(%)=x+s出x在％€[0,2兀]上的圖象大致為()

A.a2>9B.a2<9C.a3>27D.a3<27

8.設函數y=74—犬的定義域為A,函數y=ln(2-x)的定義域為8,則4nB=()

A.(1,2)B.(-2,1)C.[-2,2)D.[-2,2]

9.函數y=/與y=G尸-2圖形的交點為s")，則a所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

10.函數/(無)=/。。21巖I的大致圖象為()

12.函數y=/(x)的定義域為[―2,+8),函數y=g(x)為/?上的奇函數，則函數/。)=謂的定義

域可能為()

A.[—2,0)U(0,+oo)B.[―2,—1)U(―1,0)

C.[—2,—1)U(1,+oo)D.[-2,—1]U(0,1]

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13,已知人無)=g(x)-3,且函數y=g(x)為奇函數，若f(4)=2,則f(一4)=()

14.函數y=|-x2+2x+3|在區(qū)間[0,4]上的最大值是.

%2—dx+5%V1

'為R上的單調遞減函數，則實數。的取值范圍______.

{X'—

16.函數丫=\logi2x\+|1。gx|取最小值時x的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數f(x)=—x+2；

(1)判斷函數的單調性并證明；

(2)畫出函數的圖象.

18.為節(jié)約用水，某市打算出臺一項水費收費措施，其中規(guī)定：每月每戶用水量不超過7噸時，每

噸水費收基本價3元；若超過7噸而不超過11噸時，超過部分水費加收100%；若超過11噸而

不超過15噸時，超過部分的水費加收200%,,現在設某戶本月實際用水量為x(0WxW15)噸，

應交水費為)'元.

(1)試求出函數j.=f(x)的解析式；

(2)如果一戶人家本月應交水費為39元，那么該戶本月的實際用水量是多少？

19.(i)i+M：log6.25+lg0.001+ln^+2-1+bgi3-(|)-2

⑵已知函數/(x)是定義在女上的奇函數，當了、0時，/⑶=-2/+31+1，求/G)的

解析式

20.定義在。上的函數f(x),如果滿足：對任意存在常數M>0,都有WM成立，則

稱/(x)是。上的有界函數，其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數/(x)=1+展(》'+心尸：

(1)當a=l時，求函數在(-8,0)上的值域，并判斷函數/(%)在(-8,0)上是否為有界函數，請說

明理由；

(2)若函數/(x)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；

(3)若m>0,函數g(x)在［0,1］上的上界是T(zn),求T(m)的取值范圍.

21.定義在(-12,12)的函數f(x),對于任意的a,bER,有f(a+b)=f(a)+f(b),且f(x)在(0,12］

上單調遞減，/(5)=-2.

⑴求/(0)；

(2)判斷并證明函數的奇偶性；

(3)解不等式/(產一%)+f(3x+2)+4>0.

22.(本題12分)已知函數」(x)對任意實數x均有了GOM^S+Z),其中常數上為負數，且/(x)在

區(qū)間［0,2］有表達式」(x)=x(x-2).

(1)求出了(一1),/(2.5)的值；

(2)若函數了。)在區(qū)間［-2,2］的最大值與最小值分別為陽〃，且制-方=3,求上的值.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：解：對于A,當cosx=l時，/(x)與g(x)的函數圖象的距離等于1,不符合題意；

對于B,,:y=%2-2%4-5在(一8,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

???/(%)在(-8,1)上單調遞減,，在(1,+8)上單調遞增，

Anin(%)=/⑴=2,乂gmax(x)=。(1)=1，

，/(%)與gO)的距離為2-1=1,不符合題意；

對于C,f(x)的圖象為以(0,0)為圓心，以2為半徑的上半圓，圓心到直線g(x)+竽的距離為￡=

3,

???”X)與g(x)的距離為3-2=1,不符合題意；

對于O,令九(%)=/(%)—g(x)=%4---Inx-2,

則〃(x)=1=(x+?y-2),

.?.當0<x<2時，八'(x)<0,當x>2時，>0,

h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

hmin(x')=h(2)=1—ln2<1,

???f(x)與g(x)的距離Whmin(x)<1,符合題意.

故選D

根據函數圖象求出A,B,C中函數圖象的距離，利用導數求出。中/(x)-g(x)的最小值，得出函數

圖象距離的最小值與1的關系.

本題考查了函數圖象，距離計算，及函數最值的求法，屬于中檔題.

2.答案：A

解析：解：+4)=/(%)；

???/(尤)的周期為4；

又xe[—2,0]時，/(x)=2X,且f(x)是R上的偶函數；

/(1129)=f(l+282x4)=/(I)=/(-I)=2T=

故選:A.

根據/0+4)=/(霜即可得出/0：)的周期為4,從而得出〃1129)=/(1),再根據/'(X)是偶函數，且

xG[—2,0]時，/(X)=2”即可求出/(I)=/(-I)=

考查周期函數和偶函數的定義，以及已知函數求值的方法.

3.答案：C

解析：解：由1+tern久>0,得￡出枕>一1,

二而-汴％v如+泉kez.

?,?函數y=lg(l+tern%)的定義域是(k"一%左兀+/)(攵￡Z).

故選：C.

由對數式的真數大于。求解三角不等式得答案.

本題考查函數的定義域及其求法，考查三角不等式的解法，是基礎題.

4.答案：C

解析：解：由事函數f(x)=￡，若/'(a-1)</14一2a),

可得<V14-2a.求得1<a<5,

故選：C.

由題意利用基函數的性質，求得。的范圍.

本題主要考查累函數的性質，屬于基礎題.

5.答案:D

解析：解：???/(>)是R上的奇函數，

又：當x>0時，不等式f(x)<0恒成立，

當xe(-0°,0)時，/(%)=-xlg(2m-x+1)>0恒成立；

2m-x+1>1在(一8,0)上恒成立；

?1-2m>|+x在(一8,0)上恒成立；

故2m>

故m>-1.

故選：D.

由題意，當x6(—8,0)時，/(x)=-也9(2m一“+》>0恒成立：從而化為最值問題，從而解得.

本題考查了函數的性質的應用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題.

6.答案：B

解析：解：根據題意，函數/(x)=x+sinx,xe[0,2TT],

其導數f'(x)=1+cosx>0,所以在[0,2兀]為增函數,

令。(乃=/'(%)，且g'(x)=-sinx,當捫時，g'(x)=<0,g(x)為減函數,f(x)圖象上切線的

斜率逐漸減??；

當xe[匹2初時,g'(x)>0,g(x)為增函數，/(x)圖象上切線的斜率逐漸增大.

分析選項可得：B符合題意；

故選：B.

根據題意，求出函數的導數，再令g(x)=f'(x),求出其導數，利用導數的幾何意義分析圖象的切線

的變化情況，據此分析選項即可得答案.

本題考查函數的圖象，涉及函數的單調性與導數的關系，屬于基礎題.

7.答案：D

解析：解：4取a=0不成立；

8.取a=-4不成立；

C.取a=0不成立；

。.利用函數/(?=/在R上的單調遞增可得：a3<27.

故選：D.

利用不等式的性質及其函數/(x)=在R上的單調性即可得出.

本題考查了不等式的性質、函數的單調性，考查了推理能力，屬于基礎題.

8.答案：C

解析：解：???4-/20,解得一2WxW2,

■-A=[-2,2]；

■-2—x>0,解得x<2,

B=(-00,2)；

ACB=[-2,2),

故選：C.

根據基函數和對數函數的性質，分別求出集合A和B,進而求出4nB.

本題考查集合的交并補運算以及募函數和對數函數的定義域，屬于基礎題目.

9.答案：B

解析：解：,.?y=/與y=C)x-2,

???設/(X)=爐-(y-2,

則函數f(X)為增函數，

V/(I)=1-(I)-1=1-2=-1<0,/(2)=23-?)2-2=8-1=7>0,

二函數/(x)的根％6(1,2),

?.?函數y=/與y-(}*-2圖形的交點為(氏;)),

???aE(1,2),

故選：B.

構造函數f(x))=/-(}x-2,根據函數零點和方程之間的關系判斷函數零點的取值范圍是解決本題

的關鍵.

本題主要考查函數零點的取值范圍的應用，根據函數零點和方程之間的關系，構造函數是解決本題

的關鍵.

10.答案：C

解析：

本題考查函數的圖象識別，注意分析函數的奇偶性，屬于基礎題.

根據題意，分析可得/(?為奇函數，可以排除A,進而分析XT+8時，函數圖象的變化趨勢，排除

BD,即可得答案.

解：根據題意，f(x)=log2\^\,有言中0,則有久彳±1，即函數的定義域為{x|x#±l},

又由/(一x)=log2l宗|=Tog21fl=-八>)，即函數為奇函數，排除A;

1+X1-X

又由當XT+80寸，I罟1-1，則/(%)->0,排除以。；

故選：C.

11.答案：C

解析：解：根據題意，y=%2-4%+2=(%-2)2-2,

分析可得：當％=2時，y有最小值-2；

故選：C.

根據題意，函數的解析式變形可得y=/—4x+2=(x—2)2—2,據此分析可得答案.

本題考查二次函數的性質，涉及函數的最值，屬于基礎題.

12.答案：B

解析：解：?.?函數y=g(x)為R上的奇函數，則g(x)的定義域關于原點對稱，

由g(x)>0,可知函數F(x)=三答的定義域內必不存在符號相異的數，

又函數y=/(x)的定義域為［-2,+8),

二函數“外二爆的定義域可能為［-2,-l)U(—l,0)?

7gm

故選：B.

由函數y=g(x)為R上的奇函數，得g(x)的定義域關于原點對稱，再結合g(x)>0及函數y=/(%)的

定義域，即可求出函數/。)=儡的定義域.

本題考查函數的定義域及其求法，考查函數的奇偶性及其應用，是中檔題.

13.答案：—8

解析：

本題考查了利用函數的奇偶性求解函數值，整體思想的運用，屬于中檔題.

根據奇函數以及f(4)=2,求出g(4),g(—4),即可求解/(一4).

解：???/(x)=g(x)-3,且函數y=g(x)為奇函數，

因為f(4)=g(4)-3=2,所以g(4)=5,g(-4)=-5,

所以/(-4)=g(—4)-3=-5-3=-8.

故答案為-8.

14.答案:5

解析：解：由題意得：

-x+2x+3(0<x<3)

y=-x2+2r+3=<

x2-2x-3(x>3)

作出圖像如下圖所示:

所以，當x=4時，函數取得最大值為5,故答案為：5

15.答案：[2,3]

—dx+5%V1

2x21'為R上的單調遞減函數，

X'一

a>0,>1,6—a>a,

解得2<a<3.

則實數a的取值范圍是[2,3].

故答案為：[2,3].

%2—dx+5%V1

'為R上的單調遞減函數，根據二次函數的單調性、反比例函數的單

-,x

{xN1

調性即可得出.

本題考查了函數的單調性、分段函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16.答案：E，l]

解析：解：y=Uogi2x\+\logix\=\1+logx|+|logx|=/(%).

2222

當％時，/(%)=1+2log2x>1,當且僅當x=l時取等號；

當0<久工[1時，/(%)=-1-2log2x>1,當且僅當％=g時取等號；

當之<%<1時，/(%)=1,因此[V久<1時等號成立.

綜上可得：函數/(%)取最小值1時x的取值范圍是己,1].

故答案為：辭1].

y=|1+log2%|+|log2%|=/(第).對X分類討論：當XN1時，/(%)=1+2log2x；當時，

/(x)=-1-2log2x；當:<%V1時，/(%)=1,即可得出.

本題考查了絕對值函數、對數函數的單調性、分類討論，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.答案：解：(1)此函數在R為減函數.

證明：由原函數得定義域為R,任取x2&R,且/ex2

y(^i)-f(X2)=(-%1+2)-(-x2+2)=x2-xr,

又X2GR,且*1<*2，[*2—>°，即/(X1)>/(%2)，

故函數/(x)=-x+2在H為減函數.

(2)圖象如圖所示

解析：(1)任取X2&[0,4-00),且工1<%2,利用作差可判斷與/。2)的大小，根據單調性的

定義可作出判斷；

(2)描點畫圖即可.

本題考查函數單調性的判斷，以及函數圖象的作法，定義是證明函數單調性的基本方法，要熟練掌

握，屬基礎題

⑴當0介47時，/(x)=3x

18.答案：當7<.v4”時,/(x)=3X7-F(X—7)x6=6x—21

當時./(X)=3X7+6X(11-7)4-(X-11)X9=9X-44

3x(0?xw7)

故〃x)=?6x—21(7<xgll)

9.r-44(H<x^l5)

⑵當/(x)=39元時，21v39v45,可知7Vx411

至6x-21=39得x=10"該戶本月的實際用水量是10噸,

解析：(1)根據題意，可按x在[0,7],[7,11],[1,15]三個區(qū)間分別寫出各自的解析式，從而可得分段

函數/(x)的解析式;

(2)令/(x)=39,則可得x的范圍，從而可確定需要代入哪部分函數的解析式，進而可得答案.

…5

19.答案:(1)—;

9

卜醐?，窗:署惠需海噬

(2)，儂或=?，或累:=瞰

解析：解：(1)原式=

(2)???函數f(x)是定義在R上的奇函數，當需驚⑩時，宣]礴=一圈F*陸;*21,

二/(0)=0,

當x<。時，-x>0,二,翼—礴=一篤—須*署簿卜礴書：）=一著―一觥.$1=-JO，

二，頻,磁=富孑書警桌—：!，

20.答案：解：(1)當a=l時，/(%)=1+G尸+(》x

因為/(x)在(—8,0)上遞減，所以/(4)>/(0)=3,

即f(x)在(一8,0)的值域為(3,+8)故不存在常數“>0,使|f(x)|<M成立

所以函數/(乃在(-8,0)上不是有界函數.(4分)

(2)由題意知，|f(x)43在[0,+8)上恒成立.(5分)

-3</(%)<3,-4-(iy<a-(1r<2-(^

...-4-2x-(^)x<a<2-2X-G尸在[0,+8)上恒成立(6)

???[-4?2、-G)x]maxWa<[2?2X-?尸猛譏(7分)

設2*=3h(t)=-4t—I，p(t)=2t—p由x€[0,+8)得t21,

(12一”)(41也-1)(11-12)(2"12+1)<g

設<今，九⑹-g)>Op(ti)-p(t)

1<ti1也2亡112

所以/l（t）在［l,+8）上遞減，p（t）在［1,+8）上遞增，（9分）

/l（t）在［1,+8）上的最大值為九（1）=-5,p（t）在口,+8）上的最小值為p⑴=1

所以實數a的取值范圍為（10分）

2

（3）g（x）=T+R，

vm>0,x6[04]

???9（%）在［0,1］上遞減，（12分）

???g⑴<g（x）<g（o）即恐$以乃士言（〈分）

①當?言⑶思I，即me（0當時，|gQ）|w||^|,（12分）

此時Tg）2|辭I，（14分）

②當喘1<1濠I，即me停,+8）時,|g（初引恐I，

此時75出懸I，

綜上所述，當me(0,曰］時，r(m)的取值范圍是^,+8)；

當me［曰,+8)時，r(m)的取值范圍是［一需,+8)(16分)

解析：(1)當a=l時，易知f(x)在(-8,0)上遞減，有f(x)>/(0)=3,再有給出的定義判斷;

(2)由函數/(X)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數，結合定義則有|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立,

Xx

再轉化為一4-2、一G尸WaW2?2”-G尸在［0,+8)上恒成立分別求得［-4?2-(^)］max和［2?

2,-?尸］min即可；

(3)據題意先研究函數gQ)在［0,1］上的單調性，確定函數g(x)的范圍，即分別求的最大值和最小值,

根據上界的定義，T(m)不小于最大值，從而解決.

本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉化為已有的知識和方法去解決，本題主

要體現了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力.

21.答案：解：(1)根據題意，函數/(x)滿足對于任意的a,bER,有f(a+b)=f(a)+f(b),

令a=b=0,則〃0)=2/(0),則f(0)=0；

(2)根據題意,在f