第五章二元一次方程組【復(fù)習(xí)】（北師大版）

第五章二元一次方程組

相關(guān)概念一1.二元一次方程:通過(guò)化簡(jiǎn)后,只有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,系數(shù)都不是0的整式方程,叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程組:由兩個(gè)一次方程組成,共有兩個(gè)未知數(shù)的方程組,叫做二元一次方程組.4.二元一次方程組的解:二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.5.方程組的解法根據(jù)方程未知數(shù)的系數(shù)特征確定用哪一種解法.基本思想或思路——消元常用方法————代入法和加減法用代入法解二元一次方程組二

(1)求表達(dá)式：從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將此方程中的一個(gè)未知數(shù)，如y，用含x的代數(shù)式表示;

(2)把這個(gè)含x的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程；

(3)解一元一次方程，求出x的值;

(4)再把求出的x的值代入變形后的方程，求出y的值.用加減法解二元一次方程組三

(1)利用等式性質(zhì)把一個(gè)或兩個(gè)方程的兩邊都乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，變換兩個(gè)方程的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)，使其絕對(duì)值相等；

(2)把變換系數(shù)后的兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得一元一次方程；

(3)解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；

(4)把所求的這個(gè)未知的值代入方程組中較為簡(jiǎn)便的一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)，從而得到方程組的解.列二元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟四審：設(shè)：列：解：答：審清題目中的等量關(guān)系．設(shè)未知數(shù)．根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組．解方程組，求出未知數(shù)．檢驗(yàn)所求出未知數(shù)是否符合題意，寫(xiě)出答案．二元一次方程與一次函數(shù)五二元一次方程組和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系方程組的解是對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩條線的交點(diǎn)坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的方程組的解二元一次方程和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上.一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合對(duì)應(yīng)的二元一次方程.例

把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本.這個(gè)班有多少學(xué)生？【思路點(diǎn)撥】設(shè)兩個(gè)未知數(shù)→找兩個(gè)等量關(guān)系→列方程組→

解方程組→寫(xiě)答案【自主解答】設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，圖書(shū)一共有y本.

答：這個(gè)班有45名學(xué)生．解得二元一次方程組的應(yīng)用1.某種儀器由1個(gè)A部件和1個(gè)B部件配套構(gòu)成，每個(gè)工人每天可以加工A部件1000個(gè)或者加工B部件600個(gè)，現(xiàn)有工人16名，應(yīng)怎樣安排人力，才能使每天生產(chǎn)的A部件和B部件配套？解：設(shè)安排生產(chǎn)A部件和B部件的工人分別為x人,y人.根據(jù)題意列方程組得解得答：安排生產(chǎn)A部件和B部件的工人分別為6人，10人.針對(duì)訓(xùn)練2.在水果店里，小李買(mǎi)了5kg蘋(píng)果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王買(mǎi)了11kg蘋(píng)果，5kg梨，老板按九折收錢(qián)，收了90元，該店的蘋(píng)果和梨的單價(jià)各是多少元？解：設(shè)該店的蘋(píng)果的單價(jià)是每千克x元，梨的單價(jià)是每千克y元.由題意得解得答：該店的蘋(píng)果的單價(jià)是每千克5元，梨的單價(jià)是每千克9元.3.某高速的建設(shè)正在緊張地進(jìn)行，現(xiàn)有大量的沙石需要運(yùn)輸．某車(chē)隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車(chē)共12輛，全部車(chē)輛運(yùn)輸一次能運(yùn)輸110噸沙石．求該車(chē)隊(duì)載重量為8噸、10噸的卡車(chē)各有多少輛？解：設(shè)該車(chē)隊(duì)載重量為8噸、10噸的卡車(chē)分別有x輛、y輛，

根據(jù)題意得：解得答：該車(chē)隊(duì)載重量為8噸的卡車(chē)有5輛，10噸的卡車(chē)有7輛.解二元一次方程組的基本思想是“消元”，消元的方法有代入消元法和加減消元法.代入消元法、加減消元法要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選用，對(duì)于方程組中的非整系數(shù)方程應(yīng)先整理成整系數(shù)方程再選擇合適的消元方法解方程組.解法小結(jié)例1若3x2a+b+1+5ya－2b－1+5=0是關(guān)于x,y的二元一次方程，則a=______，b=______.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二元一次方程的定義→確定2a+b+1和a-2b-1的值→列出關(guān)于a,b的二元一次方程組→解方程組求a,b的值.【自主解答】由題意知解得答案：考點(diǎn)講練考點(diǎn)一二元一次方程（組）的有關(guān)概念1.若是關(guān)于x,y的二元一次方程ax-3y=1的解，則a的值為(

)

A.-5B.-1

C.2

D.7D針對(duì)訓(xùn)練2.已知是二元一次方程組的解，則2m-n的值為(

)A.8B.4

C.2

D.1B例2

解方程組【思路點(diǎn)撥】方法一：由①用y表示x，用代入消元法.【自主解答】方法一：由①得

x=-2y.③把③代入②得3×(-2y)+4y

=6.解得y=-3.將y=-3代入③得

x=6,所以原方程組的解是考點(diǎn)二等式的基本性質(zhì)考點(diǎn)二解二元一次方程組【思路點(diǎn)撥】方法二：用加減消元法消去x.【自主解答】方法二：①×3，得3x+6y=0,③③-②，得2y=-6,所以y=-3.把y=-3代入①，得x=6,所以原方程組的解是3.已知方程組則x+y的值為(

)

A.-1

B.0

C.2

D.3D4.解方程組解：①+②,得3x=18,解得x=6.將x=6代入①，得6+3y=12,解得y=2.所以方程組的解是針對(duì)訓(xùn)練5.已知關(guān)于x,y的方程組的解為

求m，n的值.

解:把代入

得解得考點(diǎn)三實(shí)際問(wèn)題與一次方程（組）例3.一輪船在甲、乙兩碼頭間往返航行，已知船在靜水中速度為7km/h，水流速度為2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙兩碼頭之間的距離．相等關(guān)系：順?biāo)叫袝r(shí)間＋逆水航行時(shí)間＝往返一次共用時(shí)間．一行程問(wèn)題解：設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離是xkm，依題意得解得x=90

答：甲、乙兩碼頭之間的距離是90km方法總結(jié)：（1）順?biāo)叫兴脮r(shí)間+逆水航行所用時(shí)間=總時(shí)間.（2）順流速度=船在靜水中的速度+水流速度.

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度.針對(duì)訓(xùn)練3.小明從家里騎自行車(chē)到學(xué)校，每小時(shí)騎15千米，可早到10分鐘；每小時(shí)騎12千米，就會(huì)遲到5分鐘，則他家到學(xué)校的路程是多少千米？解：設(shè)他家到學(xué)校的路程是x千米，依題意得解得x=15

答：他家到學(xué)校的路程是15千米.二等積變形問(wèn)題例4.用直徑90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個(gè)底面積為125×125mm2，內(nèi)高81mm的長(zhǎng)方體鐵盒倒?jié)M水時(shí)，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm?(結(jié)果保留整數(shù)）相等關(guān)系：玻璃杯中倒出水的體積=長(zhǎng)方體鐵盒的體積．解：設(shè)玻璃杯中的水的高度下降了x

mm.依題意得解得x≈199.

答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.針對(duì)訓(xùn)練4.

已知一圓柱形容器底面直徑為0.5m,高為1.5m,里面盛有1m深的水，將底面直徑為0.3m，高為0.5m的圓柱形鐵塊沉入水中，問(wèn)容器內(nèi)水面將升高多少？相等關(guān)系：圓柱內(nèi)升高部分的體積=圓形鐵塊的體積．解：設(shè)容器內(nèi)的水面將升高xm.依題意得解得x=0.18.

答：容器內(nèi)的水面將升高0.18m.例5.某農(nóng)戶把手頭一筆錢(qián)買(mǎi)了年利率為2.89%的3年期國(guó)庫(kù)券.如果他想3年后得到2萬(wàn)元，現(xiàn)應(yīng)買(mǎi)這種國(guó)庫(kù)券多少？三儲(chǔ)蓄問(wèn)題解：設(shè)現(xiàn)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)這種國(guó)庫(kù)券x元.相等關(guān)系：本息和=本金+利息=本金+本金×利率×年數(shù)．依題意得x+

2.89%×3x=20000.

解得x=18404

.答：現(xiàn)應(yīng)買(mǎi)這種國(guó)庫(kù)券18404元.針對(duì)訓(xùn)練5.

小紅的父親在停征利息稅后存入了一種年利率為2.43%的兩年儲(chǔ)蓄，到期后，所得利息正好給小紅買(mǎi)了一個(gè)價(jià)格為121.5元的計(jì)算器，那么小紅的父親存入了多少元錢(qián)？解：設(shè)小紅的父親存入了x元錢(qián).相等關(guān)系：利息=本金×年利率×年數(shù)．依題意得2.43%×2x=121.5

.

解得x=2500

.答：小紅的父親存入了2500元.例6.某種商品零售價(jià)每件900元，為了適應(yīng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，商店按零售價(jià)的9折降價(jià)并讓利40元，仍可獲利10%，則這種商品的進(jìn)貨每件多少元？四銷(xiāo)售問(wèn)題解：設(shè)這種商品進(jìn)貨每件為x元.相等關(guān)系：標(biāo)價(jià)×折扣÷10-40=進(jìn)價(jià)×(1+10%)依題意得(1+10%)x=900×9÷10-40

.

解得x=700

.答：這種商品進(jìn)貨每件為700元.方法歸納：（1）售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣÷10.（2）售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤(rùn)率）.針對(duì)訓(xùn)練6.一件衣服按標(biāo)價(jià)的6折出售，店主可賺22元.已知這件衣服的進(jìn)價(jià)是50元，問(wèn)標(biāo)價(jià)是多少元？解：設(shè)這件衣服的標(biāo)價(jià)為x元.相等關(guān)系：標(biāo)價(jià)×折扣÷10=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn).依題意得.

解得x=120

.答：這件衣服的標(biāo)價(jià)為120元.五百分率問(wèn)題例7.已知現(xiàn)有含鹽20%與含鹽8%的鹽水，若需配置含鹽15%的鹽水300千克，求這兩種鹽水各需多少千克？相等關(guān)系：含鹽20%的鹽水質(zhì)量+含鹽8%的鹽水質(zhì)量=300.

兩種鹽水中的含鹽量之和