直線投影相關知識簡介

直線投影相關知識簡介第三章投影法和點、直線、平面的投影3.3直線的投影預備知識：點的三面投影及其投影規(guī)律兩點間的相對位置關系及重影點aa

a

b

b

b●●●●●●

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性，α=90°直線平行于投影面投影反映線段實

ab=ABα=0°直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●夾角：直線與它的水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面H、V、W的傾角α、β、γ

直線平行于投影面，傾角為0°

直線垂直于投影面，傾角為90°

直線傾斜于投影面，傾角大于0°,小于90°投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線(平行于Ｖ面)側(cè)平線(平行于Ｗ面)水平線(平行于Ｈ面)正垂線(垂直于Ｖ面)側(cè)垂線(垂直于Ｗ面)鉛垂線(垂直于Ｈ面)一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面2.直線對三個投影面的投影特性2.1、投影面平行線只平行某一投影面而同時傾斜另外兩個投影面的直線水平線正平線側(cè)平線、正平線平行于正面，傾斜于水平面和側(cè)面的直線①V面投影反映實長，a’b’=AB②ab∥OX,a’’b’’∥OZ

投影特性：正平線實長αγ③反映傾角α、γ角的真實大小、水平線平行于水平面，傾斜于正面和側(cè)面的直線①H面投影反映實長，ab=AB②a’b’∥OX,a’’b’’∥OY

投影特性：③反映傾角β、γ角的真實大小水平線實長γβ、側(cè)平線平行于側(cè)面，傾斜于水平面和正面的直線①W面投影反映實長，a’’b’’=AB②a’b’∥OZ,ab∥OY

投影特性：③反映傾角β、α角的真實大小側(cè)平線實長βα、小結(jié)①直線在其平行的那個投影面上的投影，反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實際大小。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸，且比線段的實長短平行線的投影特性：分析：利用正平線的投影特性作圖例1：已知：點A（30，30，20），要求：試作正平線AB，使α=30°，AB=20mmOYWYHZX作圖：先做出點A的三投影aa’’a’利用α=30°過a’作與X軸成30°的直線利用AB=20mm過a’作一半徑為20mm的圓，該圓與直線的交點即為b’30°b’bb’’四解利用ab∥OX、a’’b’’∥OZ，確定b、b’’2.2、投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面的直線②a’b’⊥OX；a’’b’’⊥OY①水平投影積聚為一點b(a)（積聚性）投影特性:、鉛垂線垂直于水平面，平行于正面和側(cè)面的直線③a’b’=a’’b’’=AB，即其余兩投影反映實長b’a’b’’a’’b(a)、正垂線②ab⊥OX；a’’b’’⊥OZ①正面投影積聚為一點(a’)b’投影特性:③ab=a’’b’’=AB，即其余兩投影反映實長垂直于正面，平行于水平面和側(cè)面的直線aba’’b’’oXZ(a’)b’YwYH、側(cè)垂線垂直于側(cè)面，平行于水平面和正面的直線②ab⊥OY；a’b’⊥OZ①側(cè)面投影積聚為一點a’’(b’’)投影特性:③ab=a’b’=AB，即其余兩投影反映實長abb’a’a’’(b’’)oYwXZYH、小結(jié)①直線在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點（積聚性）②直線在其他兩個投影面上的投影分別垂直于相應的投影軸，且反映該線段的實長垂直線的投影特性：abb’a’a’’(b’’)oaba’’b’’o(a’)b’2.3、一般位置直線投影特性：三投影都傾斜于投影軸；投影長度小于直線的真長ab=ABcosα，a’b’=ABcosβ，a”b”=ABcosγ；投影與投影軸的夾角不反映直線對投影面的傾角。二、直線與點的相對位置點屬于直線（C點）點不屬于直線（D點）★直線上點的投影特性

從屬性：直線上的一點，其投影在直線的同名投影上，且符合點的投影規(guī)律?！糇鲌D問題

◆判斷問題AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理定比性：點分割線段之比=點的投影分線段的投影之比點C不在直線AB上例2：判斷點C是否在線段AB上。abca

b

c

①c

②abca

b

●點C在直線AB上從屬性注意：對于一般位置直線，只根據(jù)任意兩對同名投影，就可作出判斷。例3：判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法?注意：對于特殊位置直線，只根據(jù)任意兩對同名投影，不能直接作出判斷。空間兩直線三、兩直線的相對位置共面異面平行兩直線相交兩直線交叉兩直線垂直⒈平行兩直線投影特性平行性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。abcdc

a

b

d

注意：

對于一般位置直線，只要兩直線的任意兩對同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①acdd

c

a

②對于特殊位置的兩直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。AB與CD不平行。求出側(cè)面投影如何判斷？注意：c

d

a

bb

b

HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

投影特性

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合點的投影特性。反之亦然交點是兩直線的共有點2.相交兩直線注意：

對于一般位置直線，只要兩直線的任意兩對同名投影符合相交條件，空間兩直線就相交。對于特殊位置的兩直線，只根據(jù)兩對同名投影還不一定能直接判斷它們是否相交d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊交叉兩直線●●12●●3

4

●●情況2情況1d

c

abcda

b

投影特性

①同名投影可能相交，但“交點”不符合點的投影特性

②

“交點”是兩直線上的一對重影點的投影,可幫助判斷兩直線的空間位置。例4：試作一直線GH與已知直線AB、CD相交，同時與EF平行（G在AB上，H在CD上）abf

d

e

efc

cda(b)分析：AB有積聚性1、直接確定g

g

2、利用GH∥EF,過g

作e

f

的平行線交c

d

于h

h

3、利用H在CD上，有h

求hh4、利用GH∥EF,過h作ef的平行線，交點為gg

垂直兩直線的投影通常不能反映其夾角的實形，但在一些特殊條件下，也能反映其真實直角，這種投影特性稱為直角投影定理。四、直角投影定理（垂直兩直線）

直角投影定理的逆定理仍成立設直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb故

BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角故

bc⊥ab故bc⊥ABba平面又BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：定理一：空間兩直線垂直（相交或交叉），如果其中一條直線是某一投影面的平行線時，則這兩直線在該投影面上的投影相互垂直。定理二：如果兩直線的某一投影垂直，其中有一直線是該投影面的平行線，那么該空間的兩直線垂直d

abca

b

c

●●d例5：過C點作直線與AB垂直相交。投影c’d’反映CD的真長嗎？.例6：過兩直線AB、CD之間的最短距離。c(d)abb’a’c’d’分析：若求兩直線之間的最短距離，必須求出兩直線的公垂線