江蘇省高級中學2023-2024學年數學高三第一學期期末經典試題含解析

江蘇省高級中學2023-2024學年數學高三第一學期期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設函數，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間2．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．33．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．4．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．5．設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．6．在一個數列中，如果，都有（為常數），那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．7．若的內角滿足，則的值為（）A． B． C． D．8．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．某工廠只生產口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產量分別占、、），根據該圖，以下結論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產量最少B．這三年中每年抽紙的產量相差不明顯C．三年累計下來產量最多的是口罩D．口罩的產量逐年增加10．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．如圖，已知平面，，、是直線上的兩點，、是平面內的兩點，且，，，，．是平面上的一動點，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．12．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數滿足（為虛數單位），則的值為_______.14．函數在的零點個數為________．15．在中，角的對邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．16．在中，、的坐標分別為，，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．18．（12分）已知函數有兩個極值點，.（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.19．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）20．（12分）某市調硏機構對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調查，抽調了50名市民，他們月收入頻數分布表和對“樓市限購令”贊成人數如下表：月收入（單位：百元）頻數51055頻率0.10.20.10.1贊成人數4812521（1）若所抽調的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調查者中隨機選取2人進行追蹤調查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數學期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據表格數據，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請直接寫出你的判斷結果．21．（12分）已知橢圓的右焦點為，直線被稱作為橢圓的一條準線，點在橢圓上(異于橢圓左、右頂點)，過點作直線與橢圓相切，且與直線相交于點.（1）求證：.（2）若點在軸的上方，當的面積最小時，求直線的斜率.附：多項式因式分解公式：22．（10分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

可判斷函數為奇函數，先討論當且時的導數情況，再畫出函數大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應常函數，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數的奇偶性，單調性求解對應自變量范圍，導數法研究函數增減性，數形結合思想，轉化與化歸思想，屬于難題2、C【解析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．3、C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數的最值問題，涉及到三角函數的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.4、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數基本關系式即可得出結果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數基本關系式，考查計算能力，屬于基礎題.5、C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導數判斷函數值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數在上單調遞增，從而，且.所以，當且時，恰有兩個極值點，即實數的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，函數與方程的應用，屬于中檔題.6、B【解析】

計算出的值，推導出，再由，結合數列的周期性可求得數列的前項和.【詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查數列求和，考查了數列的新定義，推導出數列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7、A【解析】

由，得到，得出，再結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數的性質，以及三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.8、C【解析】分析：從兩個方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當三角形是鈍角三角形時，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結果.詳解：由題意可得，在中，因為，所以，因為，所以，，結合三角形內角的條件，故A,B同為銳角，因為，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價轉化，余弦的和角公式，誘導公式等，需要明確對應此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對應的特征.9、C【解析】

根據該廠每年產量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據每年口罩在該廠的產量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】由于該工廠年至年的產量未知，所以，從年至年棉簽產量、抽紙產量以及口罩產量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產的口罩占該工廠的總產量的比重是最大的，則三年累計下來產量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點睛】本題考查堆積圖的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.10、D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.11、B【解析】

為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內的軌跡，根據軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【詳解】，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則，設，整理可得：在內的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當與圓相切時，最大，取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據題目選擇方法求出結果．12、C【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點，即求出邊界線的交點坐標，代入目標函數求得最大值.詳解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時，由圖可得當過點時，取得最大值9，故選C.點睛：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據目標函數的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相應的方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由虛數單位的性質結合復數相等的條件列式求得，的值，則答案可求．【詳解】解：由，，，所以，得，．．故答案為：．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查虛數單位的性質，屬于基礎題．14、【解析】

求出的范圍，再由函數值為零，得到的取值可得零點個數．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題．15、【解析】

轉化為，利用二倍角公式可求解得，結合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因為，所以．又因為，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.16、【解析】

由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數的性質可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，，又，，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標方程即可.（2）將和的極坐標方程聯立，求得兩個曲線交點的極坐標，即可由極坐標的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數方程為（α為參數），消去參數的的直角坐標方程為．所以的極坐標方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當（）時，，當（）時，．所以和的交點極坐標為：,.所以．故的面積為．【點睛】本題考查了參數方程與普通方程的轉化，直角坐標方程與極坐標的轉化，利用極坐標求三角形面積，屬于中檔題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導函數，根據兩個極值點可知有兩個不等實根，構造函數，求得；討論和兩種情況，即可確定零點的情況，即可由零點的情況確定的取值范圍；（2）根據極值點定義可知，，代入不等式化簡變形后可知只需證明；構造函數，并求得，進而判斷的單調區(qū)間，由題意可知，并設，構造函數，并求得，即可判斷在內的單調性和最值，進而可得，即可由函數性質得，進而由單調性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設，所以.①當時，，所以在上單調遞增，至多有一個零點，不符合題意.②當時，令得，0減極小值增所以，即.又因為，，所以在區(qū)間和上各有一個零點，符合題意，綜上，實數的取值范圍為.（2）證明：由題意知，，所以，.要證明，只需證明，只需證明.因為，，所以.設，則，所以在上是增函數，在上是減函數.因為，不妨設，設，，則，當時，，，所以，所以在上是增函數，所以，所以，即.因為，所以，所以.因為，，且在上是減函數，所以，即，所以原命題成立，得證.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的極值點，由導數證明不等式，構造函數法的綜合應用，極值點偏移證明不等式成立的應用，是高考的常考點和熱點，屬于難題.19、見解析【解析】

選擇①時：,，計算，根據正弦定理得到，計算面積得到答案；選擇②時，，，故，為鈍角，故無解；選擇③時，，根據正弦定理解得，，根據正弦定理得到，計算面積得到答案.【詳解】選擇①時：,，故.根據正弦定理：，故，故.選擇②時，，，故，為鈍角，故無解.選擇③時，，根據正弦定理：，故，解得，.根據正弦定理：，故，故.【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1），頻率分布直方圖見解析；（2）分布列見解析，；（3）來自的可能性最大．【解析】

（1）由頻率和為可知，根據求得，從而計算得到頻數，補全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖；（2）首先確定的所有可能取值，由超幾何分布概率公式可計算求得每個取值對應的概率，由此得到分布列；根據數學期望的計算公式可求得期望；（3）根據中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】（1）由頻率分布表得：，即．收入在的有名，，，，則頻率分布直方圖如下：（2）收入在中贊成人數為，不贊成人數為，可能取值為，則；；，的分布列為：．（3）來自的可能性更大．【點睛】本題考查概率與統(tǒng)計部分知識的綜合應用，涉及到頻數、頻率的計算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機變量的分布列與數學期望的求解、統(tǒng)計估計等知識；考查學生的運算和求解能力.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由得令可得，