2023學(xué)年完整公開課版第七章5

大一輪復(fù)習(xí)講義§7.5推理與證明1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推

理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行

一些簡(jiǎn)單演繹推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.4.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思

考過程和特點(diǎn).5.了解反證法的思考過程和特點(diǎn).6.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.最新考綱推理部分以理解類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法根據(jù)幾個(gè)人的不同說法作出推理判斷進(jìn)行命題，在高考中以填空題的形式進(jìn)行考查，屬于中低檔題.證明部分常以立體幾何中的證明及相關(guān)選修內(nèi)容中不等式的證明為載體加以考查，在高考中主要以解答題的形式考查，難度為中檔.考情考向分析基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點(diǎn)多維探究課時(shí)精練內(nèi)容索引INDEX回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實(shí)1.合情推理知識(shí)梳理類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)某類事物的

對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的

對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由

到

、由

到_____類比推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理由

到_____部分全部部分一般特殊特殊整體個(gè)別2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到

的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.特殊3.直接證明(1)綜合法①定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的

，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.推理論證(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論).③思維過程：由因?qū)Ч?(2)分析法①定義：一般地，從

出發(fā)，逐步尋求使它成立的

，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法.②框圖表示：要證明的結(jié)論充分條件(其中Q表示要證明的結(jié)論).③思維過程：執(zhí)果索因.4.間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出

，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明

的證明方法.5.數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取

(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.不成立矛盾原命題成立第一個(gè)值n0n＝k＋11.合情推理所得結(jié)論一定是正確的嗎？概念方法微思考提示合情推理所得結(jié)論是猜想，不一定正確，用演繹推理能夠證明的猜想是正確的，否則不正確.2.綜合法與分析法的推理過程有何區(qū)別？提示綜合法是執(zhí)因索果，分析法是執(zhí)果索因，推理方式是互逆的.1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(

)(2)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.(

)(3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(

)(4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”.(

)基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析×√××2.已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是A.an＝3n－1 B.an＝4n－3C.an＝n2 D.an＝3n－1題組二教材改編解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.√3.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為________________________________.b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，可知存在的等式為b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*).4.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f

(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f

(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理A.結(jié)論正確 B.大前提不正確C.小前提不正確 D.全不正確題組三易錯(cuò)自糾√解析f

(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤.解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根，故選A.5.用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是A.方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根

B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根

D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根√∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立.則上述證法A.過程全部正確

B.n＝1驗(yàn)證的不正確C.歸納假設(shè)不正確

D.從n＝k到n＝k＋1的推理不正確√解析在n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.典題深度剖析重點(diǎn)多維探究題型突破合情推理與演繹推理命題點(diǎn)1歸納推理題型一多維探究例1分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科.其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形.分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程.標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下規(guī)律依次在一個(gè)黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)n＝6時(shí)，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個(gè)數(shù)為A.81 B.121

C.364 D.1093√解析由圖可知，每一個(gè)圖形中去掉小三角形的個(gè)數(shù)等于前一個(gè)圖形去掉小三角形個(gè)數(shù)的3倍加1，所以，n＝1時(shí)，a1＝1；n＝2時(shí)，a2＝3＋1＝4；n＝3時(shí)，a3＝3×4＋1＝13；n＝4時(shí)，a4＝3×13＋1＝40；n＝5時(shí)，a5＝3×40＋1＝121；n＝6時(shí)，a6＝3×121＋1＝364，故選C.命題點(diǎn)2類比推理例2在平面上，設(shè)ha，hb，hc是△ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：

＝1.把它類比到空間中，則三棱錐中的類似結(jié)論為___________________.解析設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個(gè)面上的高，P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出結(jié)論：命題點(diǎn)3演繹推理∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)Sn＋1＝4an.＝4an(n≥2)，

(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，

(小前提)∴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an. (結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)(1)歸納推理問題的常見類型及解題策略①與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào).②與式子有關(guān)的推理.觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，注意縱向?qū)Ρ?，找到?guī)律.③與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?(2)類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差與等比數(shù)列類比；運(yùn)算類比(加與乘，乘與乘方，減與除，除與開方).數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等.(3)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提.思維升華SIWEISHENGHUA解析由題意得，不等式右邊分?jǐn)?shù)的分母是左邊最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的底數(shù)，所以猜想的分母是2020，分子是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列中的項(xiàng)，所以a2019＝3＋(2019－1)×2＝4039.(2)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)古代的偉大科學(xué)家，他在5世紀(jì)末提出：“冪勢(shì)即同，則積不容異”，意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.祖暅原理常用來由已知幾何體的體積推導(dǎo)未知幾何體的體積，例如由圓錐和圓柱的體積推導(dǎo)半球體的體積，其示意圖如圖所示，其中圖①是一個(gè)半徑為R的半球體，圖②是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得到的幾何體.(圓柱和圓錐的底面半徑和高均為R)利用類似的方法，可以計(jì)算拋物體的體積：在xOy坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線C的方程為y＝1－x2(－1≤x≤1)，將曲線C圍繞y軸旋轉(zhuǎn)，得到的旋轉(zhuǎn)體稱為拋物體.利用祖暅原理可計(jì)算得該拋物體的體積為√解析構(gòu)造如圖所示的直三棱柱，高設(shè)為x，底面兩個(gè)直邊長(zhǎng)為2，1，下面說明截面面積相等，設(shè)截面距底面為t，矩形截面長(zhǎng)為a，圓形截面半徑為r，由右圖得到，t＝1－r2(坐標(biāo)系中易得)，∴r2＝1－t，∴截面面積為(1－t)π，∴二者截面面積相等，∴體積相等.故選B.(3)某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動(dòng)車輛限行政策，每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛.已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測(cè)一定正確的是A.今天是周六 B.今天是周四C.A車周三限行 D.C車周五限行√解析因?yàn)槊刻熘辽儆兴妮v車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因?yàn)锽車昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因?yàn)锳，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四.故選B.直接證明與間接證明題型二多維探究例4

已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求證：命題點(diǎn)1綜合法≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，證明∵a>0，∴3a＋1>1，命題點(diǎn)2分析法所以要證的不等式成立.命題點(diǎn)3反證法(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比數(shù)列，所以p＝r，與p≠r矛盾，所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.(1)綜合法證題從已知條件出發(fā)，分析法從要證結(jié)論入手，證明一些復(fù)雜問題，可采用兩頭湊的方法.(2)反證法適用于不好直接證明的問題，應(yīng)用反證法證明時(shí)必須先否定結(jié)論.思維升華SIWEISHENGHUA(1)a＋b≥2；由基本不等式及ab＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立.(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立.證明假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab＝1矛盾.故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立.數(shù)學(xué)歸納法題型三師生共研∵左邊>右邊，∴不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立.由①②知對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡(jiǎn)化.思維升華SIWEISHENGHUA跟蹤訓(xùn)練3等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值；解由題意得，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).由于b>0且b≠1，所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)，證明由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N*)，左式>右式，所以結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立.課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練1.“對(duì)數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f

(x)＝log2|x|是對(duì)數(shù)函數(shù)，因此f

(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理A.結(jié)論正確 B.大前提錯(cuò)誤C.小前提錯(cuò)誤 D.推理形式錯(cuò)誤√解析本命題的小前提是f

(x)＝log2|x|是對(duì)數(shù)函數(shù)，但是這個(gè)小前提是錯(cuò)誤的，因?yàn)閒

(x)＝log2|x|不是對(duì)數(shù)函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的才是對(duì)數(shù)函數(shù).故選C.12345678910111213141516卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤

0000震

0011坎

0102兌

0113123456789101112131415162.《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“”當(dāng)做數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是A.18 B.17C.16 D.15√解析由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)

“”表示二進(jìn)制數(shù)的010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故選B.1234567891011121314151612345678910111213141516A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2√解析假設(shè)a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，≥2＋2＋2＝6(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1，等號(hào)成立)，與a＋b＋c<6矛盾，∴a，b，c都小于2錯(cuò)誤.∴a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.A.x2>1 B.x2>4C.x2>0 D.x2>1√12345678910111213141516因?yàn)閤>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.5.設(shè)f

(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f

(x)滿足當(dāng)f

(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f

(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是A.若f

(1)<2成立，則f

(10)<11成立B.若f

(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f

(k)≥k＋1成立C.若f

(2)<3成立，則f

(1)≥2成立D.若f

(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f

(k)≥k＋1成立12345678910111213141516√12345678910111213141516解析當(dāng)f

(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f

(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當(dāng)k＝n時(shí)，f

(n)≥n＋1成立，那么當(dāng)k＝n＋1時(shí)，f

(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當(dāng)k＝4時(shí)，f

(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時(shí)，f

(k)≥k＋1也成立.6.有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________.123456789101112131415161和3解析由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，又甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”.7.(2019·上饒模擬)二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝

πr3.應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“特級(jí)球”的三維測(cè)度V＝12πr3，則其四維測(cè)度W＝________.123456789101112131415163πr4解析二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2；觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l，三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝

πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S，∴四維空間中“特級(jí)球”的三維測(cè)度V＝12πr3，猜想其四維測(cè)度W，則W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.1234567891011121314151612345678910111213141516…，9.如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，截下的是一個(gè)直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面的結(jié)論有_____________.12345678910111213141516解析三角形類比空間中的三棱錐，線段的長(zhǎng)度類比圖形的面積，10.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國(guó)來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2018這2017個(gè)整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________.12345678910111213141516336解析因?yàn)檫@些整數(shù)能被2除余1且被3除余1，所以這些數(shù)組成的數(shù)列的通項(xiàng)an＝6n＋1，所以此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為336.11.若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：12345678910111213141516證明∵a，b，c∈(0，＋∞)，12345678910111213141516由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，1234567891011121314151612345678910111213141516≥3＋2＋2＋2＝9(當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝x3時(shí)，等號(hào)成立).1234567891011121314151612345678910111213141516≥n2(n≥2，n∈N*).證明如下：①當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得猜想成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，猜想成立，12345678910111213141516≥k2＋

＋1＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立.綜合①②可知，猜想成立.技能提升練1234567891011121314151613.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f

(n)個(gè)區(qū)域，則f

(n)的表達(dá)式為A.n＋1 B.2nC. D.n2＋n＋1√解析1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；…；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝14.對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；12345678910111213141516證明因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，從而，當(dāng)n≥4時(shí)，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.1234567891011121314151612345678910111213141516解數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n≥3時(shí)，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，

①當(dāng)n≥4時(shí)，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，

③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an). ④將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′.在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5