大學(xué)物理第五章課后習(xí)題答案

第二篇電磁學(xué)

求解電磁學(xué)問題的基本思路和方法

本書電磁學(xué)部分涉及真空中和介質(zhì)中的靜電場和恒定磁場、電磁感應(yīng)和

麥克斯韋電磁場的基本概念等內(nèi)容,涵蓋了大學(xué)物理課程電磁學(xué)的核心內(nèi)容.

通過求解電磁學(xué)方面的習(xí)題，不僅可以使我們增強對有關(guān)電磁學(xué)基本概念的

理解，還可在處理電磁學(xué)問題的方法上得到訓(xùn)練，從而感悟到麥克斯韋電磁

場理論所體現(xiàn)出來的和諧與美.求解電磁學(xué)習(xí)題既包括求解一般物理習(xí)題的

常用方法，也包含一些求解電磁學(xué)習(xí)題的特殊方法.下面就求解電磁學(xué)方面

的方法擇要介紹如下.

1.微元法

在求解電場強度、電勢、磁感強度等物理量時，微元法是常用的方法之

使用微元法的基礎(chǔ)是電場和磁場的疊加原理.依照疊加原理，任意帶電體

激發(fā)的電場可以視作電荷元dq單獨存在時激發(fā)電場的疊加，根據(jù)電荷的不

同分布方式，電荷元可分別為體電荷元pdV、面電荷元81s和線電荷元7出.

同理電流激發(fā)的磁場可以視作為線電流元激發(fā)磁場的疊加.

例如求均勻帶電直線中垂線上的電場強度分布.我們可取帶電線元2出為

電荷元，每個電荷元可視作為點電荷，建立坐標(biāo)，利用點電荷電場強度公式

將電荷元激發(fā)的電場強度矢量沿坐標(biāo)軸分解后疊加

廠“212d/

E=--------z-cosa

L/24%r~

統(tǒng)一積分變量后積分，就可以求得空間的電場分布.類似的方法同樣可用于

求電勢、磁感應(yīng)強度的分布.

此外值得注意的是物理中的微元并非為數(shù)學(xué)意義上真正的無窮小，而是

測量意義上的高階小量.從形式上微元也不僅僅局限于體元、面元、線元，

在物理問題中常常根據(jù)對稱性適當(dāng)?shù)剡x取微元.例如，求一個均勻帶電圓盤

軸線上的電場強度分布，我們可以取寬度為dr的同心帶電圓環(huán)為電荷元，

再利用帶電圓環(huán)軸線上的電場強度分布公式,用疊加的方法求得均勻帶電圓

盤軸線上的電場強度分布.

2.對稱性分析

對稱性分析在求解電磁場問題時是十分重要的.通過分析場的對稱性，可

以幫助我們了解電磁場的分布，從而對求解電磁學(xué)問題帶來極大方便.而電

磁場的對稱性有軸對稱、面對稱、球?qū)ΨQ等.下面舉兩個例子.

在利用高斯定律求電場強度的分布時;需要根據(jù)電荷分布的對稱性選擇

適當(dāng)?shù)母咚姑?，使得電場強度在高斯面上為常量或者電場強度通量為零，?/p>

能夠借助高斯定律求得電場強度的分布.相類似在利用安培環(huán)路定律求磁感

強度的分布時，依照電流分布的對稱性，選擇適當(dāng)?shù)沫h(huán)路使得磁感強度在環(huán)

路上為常量或者磁場環(huán)流為零，借助安培環(huán)路定律就可以求出磁感強度的分

布.

3.補償法

補償法是利用等量異號的電荷激發(fā)的電場強度，具有大小相等方向相反

的特性；或強度相同方向相反的電流元激發(fā)的磁感強度，具有大小相等方向

相反這一特性,將原來對稱程度較低的場源分解為若干個對稱程度較高的場

源，再利用場的疊加求得電場、磁場的分布.

例如在一個均勻帶電球體內(nèi)部挖去一個球形空腔，顯然它的電場分布不

再呈現(xiàn)球?qū)ΨQ.為了求這一均勻帶電體的電場分布，我們可將空腔帶電體激

發(fā)的電場視為?個外半徑相同的球形帶電體與個電荷密度相同且異號、半

徑等于空腔半徑的小球體所激發(fā)電場的矢量和.利用均勻帶電球體內(nèi)外的電

場分布，即可求出電場分布.

4.類比法

在電磁學(xué)中，許多物理量遵循著相類似的規(guī)律，例如電場強度與磁場強度、

電位移矢量與磁感強度矢量、電偶極子與磁偶極子、電場能量密度與磁場能

量密度等等.他們盡管物理實質(zhì)不同，但是所遵循的規(guī)律形式相類似.在分析

這類物理問題時借助類比的方法,我們可以通過一個己知物理量的規(guī)律去推

測對應(yīng)的另外一個物理量的規(guī)律.例如我們在研究LC振蕩電路時，我們得

到回路電流滿足的方程

顯然這個方程是典型的簡諧振動的動力學(xué)方程,只不過它所表述的是含有電

容和自感的電路中，電流以簡諧振動的方式變化罷了.

5.物理近似與物理模型

幾乎所有的物理模型都是理想化模型，這就意味著可以忽略影響研究對

象運動的次要因素，抓住影響研究對象運動的主要因素，將其抽象成理想化

的數(shù)學(xué)模型.既然如此，我們在應(yīng)用這些物理模型時不能脫離建立理想化模

型的條件與背景.例如當(dāng)帶電體的線度遠小于距所考察電場這一點的距離

時，一個帶電體的大小形狀可以忽略，帶電體就可以抽象為點電荷.但是一

旦去研究帶電體臨近周圍的電場分布時,將帶電體當(dāng)作點電荷的模型就失效

了.在討論物理問題時一定要注意物理模型的適用條件.同時在適用近似條

件的情況下，靈活應(yīng)用理想化模型可大大簡化求解問題的難度.

電磁學(xué)的解題方法還有很多，我們希望同學(xué)們通過練習(xí)自己去分析、歸

納、創(chuàng)新和總結(jié).我們反對在學(xué)習(xí)過程中不深入理解題意、不分析物理過程、

簡單教條地將物理問題分類而“套”公式的解題方法.我們企盼同學(xué)們把靈

活運用物理基本理論求解物理問題當(dāng)成是一項研究課題，通過求解問題在學(xué)

習(xí)過程中自己去領(lǐng)悟、體會，通過解題來感悟到用所學(xué)的物理知識解決問題

后的愉悅和快樂，進一步加深理解物理學(xué)基本定律，增強學(xué)習(xí)新知識和新方

法的積極性.

第五章靜電場

5-1電荷面密度均為+”的兩塊“無限大”均勻帶電的平行平板如圖（A）

放置，其周圍空間各點電場強度E（設(shè)電場強度方向向右為正、向左為負(fù)）隨

位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線為圖（B）中的（）

題5-1圖

分析與解“無限大”均勻帶電平板激發(fā)的電場強度為三，方向沿帶電平

2%

板法向向外，依照電場疊加原理可以求得各區(qū)域電場強度的大小和方向.因

而正確答案為（B）.

5-2下列說法正確的是（）

（A）閉合曲面上各點電場強度都為零時，曲面內(nèi)一定沒有電荷

（B）閉合曲面上各點電場強度都為零時，曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零

（C）閉合曲面的電通量為零時，曲面上各點的電場強度必定為零

（D）閉合曲面的電通量不為零時，曲面上任意一點的電場強度都不可能為零

分析與解依照靜電場中的高斯定理，閉合曲面上各點電場強度都為零時，

曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零，但不能肯定曲面內(nèi)一定沒有電荷；閉合曲面

的電通量為零時，表示穿入閉合曲面的電場線數(shù)等于穿出閉合曲面的電場線

數(shù)或沒有電場線穿過閉合曲面，不能確定曲面上各點的電場強度必定為零：

同理閉合曲面的電通量不為零，也不能推斷曲面上任意一點的電場強度都不

可能為零，因而正確答案為（B）.

5-3下列說法正確的是（）

（A）電場強度為零的點，電勢也?定為零

(B)電場強度不為零的點，電勢也,定不為零

(C)電勢為零的點，電場強度也一定為零

(D)電勢在某一區(qū)域內(nèi)為常量，則電場強度在該區(qū)域內(nèi)必定為零

分析與解電場強度與電勢是描述電場的兩個不同物理量，電場強度為零表

示試驗電荷在該點受到的電場力為零，電勢為零表示將試驗電荷從該點移到

參考零電勢點時，電場力作功為零.電場中一點的電勢等于單位正電荷從該

點沿任意路徑到參考零電勢點電場力所作的功；電場強度等于負(fù)電勢梯度.

因而正確答案為(D).

*5-4在一個帶負(fù)電的帶電棒附近有一個電偶極子，其電偶極矩p的方向

如圖所示.當(dāng)電偶極子被釋放后，該電偶極子將()

(A)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)直到電偶極矩p水平指向棒尖端而停止

(B)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至電偶極矩p水平指向棒尖端，同時沿電場線方向

朝著棒尖端移動

(C)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至電偶極矩p水平指向棒尖端，同時逆電場線方向

朝遠離棒尖端移動

(D)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)至電偶極矩?水平方向沿棒尖端朝外，同時沿電場

線方向朝著棒尖端移動

題5-4圖

分析與解電偶極子在非均勻外電場中，除了受到力矩作用使得電偶極子指

向電場方向外，還將受到?個指向電場強度增強方向的合力作用，因而正確

答案為(B).

5-5精密實驗表明，電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍不會超過±10口e,

而中子電量與零差值的最大范圍也不會超過±IO-"由最極端的情況考

慮，一個有8個電子，8個質(zhì)子和8個中子構(gòu)成的氧原子所帶的最大可能凈

電荷是多少？若將原子視作質(zhì)點，試比較兩個氧原子間的庫侖力和萬有引

力的大小.

分析考慮到極限情況，假設(shè)電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍為2x10-2%,

中子電量為10〃e,則由一個氧原子所包含的8個電子、8個質(zhì)子和8個中

子可求原子所帶的最大可能凈電荷.山庫侖定律可以估算兩個帶電氧原子間

的庫侖力，并與萬有引力作比較.

解一個氧原子所帶的最大可能凈電荷為

%”=(1+2)x8x10-27

二個氧原子間的庫侖力與萬有引力之比為

竺=一g詠f=2.8x10-6<<1

弓4ite0Gm~

顯然即使電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子帶電量存在差異，其差異在±10一21

范圍內(nèi)時,對于像天體一類電中性物體的運動,起主要作用的還是萬有引力.

5-61964年，蓋爾曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克構(gòu)成，中子就

是由?個帶*e的上夸克和兩個帶-±e的下夸克構(gòu)成.若將夸克作為經(jīng)典

33

粒子處理(夸克線度約為10-2°m),中子內(nèi)的兩個下夸克之間相距2.60x1()75

m.求它們之間的相互作用力.

解由于夸克可視為經(jīng)典點電荷，由庫侖定律

14%/1e2

e=(3.78NW

4無%r~,-------r-2

F與徑向單位矢量方向相同表明它們之間為斥力.

5-7質(zhì)量為機，電荷為一e的電子以圓軌道繞氫核旋轉(zhuǎn)，其動能為心.

證明電子的旋轉(zhuǎn)頻率滿足

.32鵡

me4

其中￡0是真空電容率，電子的運動可視為遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律.

分析根據(jù)題意將電子作為經(jīng)典粒子處理.電子、氫核的大小約為10—Qm,

軌道半徑約為故電子、氫核都可視作點電荷.點電荷間的庫侖引力

是維持電子沿圓軌道運動的向心力，故有

V21e1

m—

r4兀%產(chǎn)

山此出發(fā)命題可證.

證由上述分析可得電子的動能為

1Jq

E=—mv

Kr

電子旋轉(zhuǎn)角速度為

2

4兀%加廠’

由上述兩式消去r,得

2_①2_32e：E"

0-4A7r2-me4

5-8在氯化鈉晶體中，一價氯離子CC與其最鄰近的八個一價的離子Cs+

構(gòu)成如圖所示的立方晶格結(jié)構(gòu).（1）求氯離子所受的庫侖力；（2）假設(shè)圖中

箭頭所指處缺少一個鈉離子（稱作晶格缺陷），求此時氯離子所受的庫侖力.

題5-8圖

分析鈉離子和氯離子均可視作點電荷,可直接將晶格頂角鈉離子與氯離子

之間的庫侖力進行矢量疊加.為方便計算可以利用晶格的對稱性求氯離子所

受的合力.

解（1）由對稱性，每條對角線上的一對鈉離子與氯離子間的作用合力為

零，故尸1=0.

（2）除了有缺陷的那條對角線外，其它的離子與氯離子的作用合力為零，所

以氯離子所受的合力B的值為

2

9

F2=-^_=—^=1.92xl0N

-47teor3iteaa

F2方向如圖所示.

5-9若電荷。均勻地分布在長為L的細棒上.求證：（1）在棒的延長線,

且離棒中心為r處的電場強度為

?！辏ǎ?r-L

（2）在棒的垂直平分線匕離棒為r處的電場強度為

E=1/Q

2兀%rv4r2+l3

若棒為無限長（即L—8）,試將結(jié)果與無限長均勻帶電直線的電場強度相比

題5-9圖

分析這是計算連續(xù)分布電荷的電場強度.此時棒的長度不能忽略，因而不

能將棒當(dāng)作點電荷處理.但帶電細棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長直

線上.如圖所示，在長直線上任意取一線元dr,其電荷為此=Qdx/L,它在

點尸的電場強度為

整個帶電體在點尸的電場強度

F=jdE

接著針對具體問題來處理這個矢量積分.

（1）若點尸在棒的延長線上，帶電棒上各電荷元在點尸的電場強度方向相

同，

E=jdEi

（2）若點P在棒的垂直平分線上，如圖（A）所示，則電場強度E沿x軸方向

的分量因?qū)ΨQ性疊加為零，因此，點戶的電場強度就是

E=JdEvj=[sinad身

證（1）延長線上一點尸的電場強度E=1―^方，利用幾何關(guān)系，?'=

52%/

一尤統(tǒng)一積分變量，則

E=-2IQAx_Q1_________1___1Q

PZ72222

,*4TO?0L(r-x)4nsnL_r-LI1r+L/2_ns04r-L

電場強度的方向沿x軸.

(2)根據(jù)以上分析，中垂線上一點P的電場強度E的方向沿y軸，大小為

廣fsinad^

E=I------^E

)4%r-

利用幾何關(guān)系sina=r"',r=7r2+x2統(tǒng)一積分變量，則

E_y1/~Qdr_Q______]

"'24―小2+尸產(chǎn)-2叫r“一+一

當(dāng)棒長L-8時，若棒單位長度所帶電荷義為常量，貝爐點電場強度

L「1QIL

￡=11m----------/2=

J12n￡arJ1+4F/-

2

2兀%r

此結(jié)果與無限長帶電直線周圍的電場強度分布相同[圖(B)].這說明只要

滿足<<1,帶電長直細棒可視為無限長帶電直線.

5-10一半徑為R的半球殼，均勻地帶有電荷，電荷面密度為。，求球心

處電場強度的大小.

題5-1()圖

分析這仍是一個連續(xù)帶電體問題，求解的關(guān)鍵在于如何取電荷元.現(xiàn)將半

球殼分割為一組平行的細圓環(huán)，如圖所示，從教材第5-3節(jié)的例1可以看

出，所有平行圓環(huán)在軸線上P處的電場強度方向都相同，將所有帶電圓環(huán)的

電場強度積分，即可求得球心0處的電場強度.

解將半球殼分割為一組平行細圓環(huán)，任??個圓環(huán)所帶電荷元

dq=5dS=d-27i/?2sined。，在點0激發(fā)的電場強度為

g1xdq.

dE4=%----缶--7+---了----

由于平行細圓環(huán)在點0激發(fā)的電場強度方向相同，利用幾何關(guān)系

x=Rcos3,r=Rsin。統(tǒng)一積分變量，有

1xdq1Reos。

S-27tR2sin3(i0

dE鈕￡。3+，尸=4/R?

-——■sin。cos例。

2%

2

積分得E=r-^-sin0cos0d^=-^—

2e04跖

5-11水分子電0中氧原子和氫原子的等效電荷中心如圖所示，假設(shè)氧

原子和氫原子等效電荷中心間距為“?試計算在分子的對稱軸線上，距分子

較遠處的電場強度.

分析水分子的電荷模型等效于兩個電偶極子，它們的電偶極矩大小均為

PQ=er0,而夾角為2。疊加后水分子的電偶極矩大小為P=2e為cos8,方

向沿對稱軸線，如圖所示.由于點0到場點A的距離x>>r0,利用教材第

5-3節(jié)中電偶極子在延長線上的電場強度

E=-^—空

4K￡0X

可求得電場的分布.也可由點電荷的電場強度疊加，求電場分布.

解1水分子的電偶極矩P=24cos，=2e“cos。在電偶極矩延長線上

12p_14eqcos。_1eqcos。

E

4無qx，4%x3吟x3

解2在對稱軸線上任取?點A,則該點的電場強度

E=E—+E.+

2ercos。2e

E-2EcosB-E

+4%/22

4K￡0X

由于r2=x24--2Mjcos。

八x-")cos。

cosp=------------

r

代入得

后_2ex-z^cos01

4%)8+02_2X^COS6/)-/>/

測量分子的電場時，總有/>>-o，因此，式中

廿+蠟一2跖cose廣川1一^^『X將上

式化簡并略去微小量后，得

E_1%ecos。

3

7T￡0X

5-12兩條無限長平行直導(dǎo)線相距為小，均勻帶有等量異號電荷，電荷

線密度為2.(1)求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強度(設(shè)該點到其中

一線的垂直距離為x)；(2)求每一根導(dǎo)線上單位長度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上

電荷作用的電場力.

題5-12圖

分析（1）在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強度為兩導(dǎo)線單獨在此所

激發(fā)的電場的疊加.（2）由尸=qE,單位長度導(dǎo)線所受的電場力等于另一根

導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電場強度乘以單位長度導(dǎo)線所帶電量，即：F=加.應(yīng)該

注意：式中的電場強度E是另一根帶電導(dǎo)線激發(fā)的電場強度，電荷自身建

立的電場不會對自身電荷產(chǎn)生作用力.

解（1）設(shè)點P在導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，E+、E一分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線在P

點的電場強度，則有

2Mxr0-xj

_r°j

2%x（6-x）

（2）設(shè)尸+、F分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線單位長度所受的電場力，則有

2兀%為

2%F

顯然有尸+=尸-，相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引.

5-13如圖為電四極子，電四極子是由兩個大小相等、方向相反的電偶極

子組成.試求在兩個電偶極子延長線上距中心為z的一點P的電場強度(假

設(shè)z>>d).

----------------------------------------------------------------j-

g-g-ggr

題5-13圖

分析根據(jù)點電荷電場的疊加求P點的電場強度.

解由點電荷電場公式，得

「12q,1q.1q,

E=--------^-k+-----7~~+------7-JrA

47WOz4n￡0\Z-d)4n￡0\z+d)

考慮到z?d,簡化上式得

a4121「11

z2z2[(j/z)2(j/z)[j

q[21r,Id3d2,2d3d2]]

=—2―〈一一5-+-Z-1+—+----+...+1-------+-----+...>k

4叫)[zz[_zzzz

：q6qd2k

4%z4

通常將。=2qf稱作電四極矩，代入得P點的電場強度

E=上當(dāng)k

4%z

5-14設(shè)勻強電場的電場強度E與半徑為R的半球面的對稱軸平行，試

計算通過此半球面的電場強度通量.

R

題5-14圖

分析方法1：由電場強度通量的定義，對半球面S求積分，即

R=[EdS

方法2：作半徑為R的平面S'與半球面S一起可構(gòu)成閉合曲面，由于

閉合面內(nèi)無電荷，由高斯定理

eo

這表明穿過閉合曲面的凈通量為零，穿入平面S'的電場強度通量在數(shù)值上

等于穿出半球面S的電場強度通量.因而

0=[EdS

解1由于閉合曲面內(nèi)無電荷分布，根據(jù)高斯定理，有

◎=廬dS=-j￡-dS

依照約定取閉合曲面的外法線方向為面元dS的方向，

0=-E-兀斤-cos兀=itR'E

解2取球坐標(biāo)系，電場強度矢量和面元在球坐標(biāo)系中可表示為①

E-￡(cose+sincosOe”+sinOsinej

2

dS=Rsin3d6der

@=4E?dS=[￡/?2sin2^sinMd

=￡E7?2sinW￡sind

=nR2E

5-15邊長為a的立方體如圖所示，其表面分別平行于Oxy、Oyz和0M

平面，立方體的一個頂點為坐標(biāo)原點.現(xiàn)將立方體置于電場強度

E=(Ei+kx)i+E2j(k,￡),E2為常數(shù))的非均勻電場中，求電場對立

方體各表面及整個立方體表面的電場強度通量.

題5-15圖

解如圖所示，由題意E與。孫面平行，所以任何相對。孫面平行的立方

體表面，電場強度的通量為零，即=e加陽=°?而

%BGF=,?dS=財+kx》+E2j]?(dSj)=E2a2

考慮到面CDE。與面ABGF的外法線方向相反，且該兩面的電場分布相同，

故有

?CDEO=-?ABGF=—^20

2

同理外。EF=[E??=[甲+/1/)]?(-6/5/)=-E,a

2

⑦BCDG=JE?dS=j[(E,+ka)i+E2j]-[dSi)=^E[+ka)a

因此，整個立方體表面的電場強度通量

。江。=布3

5-16地球周圍的大氣猶如一部大電機，由于雷雨云和大氣氣流的作用，

在晴天區(qū)域，大氣電離層總是帶有大量的正電荷，云層下地球表面必然帶有

負(fù)電荷.晴天大氣電場平均電場強度約為120V,方向指向地面.試求

地球表面單位面積所帶的電荷(以每平方厘米的電子數(shù)表示).

分析考慮到地球表面的電場強度指向地球球心,在大氣層中取與地球同心

的球面為高斯面，利用高斯定理可求得高斯面內(nèi)的凈電荷.

解在大氣層臨近地球表面處取與地球表面同心的球面為高斯面，其半徑

R?RK(RE為地球平均半徑).由高斯定理

1E.dS=-E4*=—￡q

地球表面電荷面密度

o=>,q/4nR；?-&E=-1.06x109cm-2

單位面積額外電子數(shù)

n=(y!-e=6.63x105cm2

5-17設(shè)在半徑為R的球體內(nèi),其電荷為球?qū)ΨQ分布，電荷體密度為

p-kr(0<r<R)

〃=0(r>R)

k為一常量.試分別用高斯定理和電場疊加原理求電場強度歹步的函數(shù)關(guān)系.

題5-17圖

分析通常有兩種處理方法：(1)利用高斯定理求球內(nèi)外的電場分布.由題

意知電荷呈球?qū)ΨQ分布，因而電場分布也是球?qū)ΨQ，選擇與帶電球體同心的

球面為高斯面，在球面上電場強度大小為常量，且方向垂直于球面，因而有

=日4無，

根據(jù)高斯定理，E-dS=JjpdV,可解得電場強度的分布.

(2)利用帶電球殼電場疊加的方法求球內(nèi)外的電場分布.將帶電球分割成無

數(shù)個同心帶電球殼，球殼帶電荷為dq=〃-4兀廠”由，，每個帶電球殼在殼內(nèi)

激發(fā)的電場d￡=0,而在球殼外激發(fā)的電場

dE二尸F(xiàn)

4ns0r

由電場疊加可解得帶電球體內(nèi)外的電場分布

E（r）=JdE（0<r<R）

砌=1dE（r>/?）

解1因電荷分布和電場分布均為球?qū)ΨQ，球面上各點電場強度的大小為常

量，由高斯定理=-?-]pdV得球體內(nèi)（OWrWR）

E（r）47ir2=—f憶r4兀，”=—r4

￡0q

風(fēng)廣）="%

47

球體外。＞/?）

22Ttk4

E（r）47ir=—jpkr4nrdr='——r

%

E（，）=詈%

4%

解2將帶電球分割成球殼，球殼帶電

dq=pdV=kr^Ttr'Ar

由上述分析，球體內(nèi)（OWrWR）

加7/上中e,二kr2

—e

,04TK?0r4與

球體外。＞/?）

、F1k-d/kR-

（'）=碼P€r=4獷/

5-18?無限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為c,在平板中部有一半徑

為r的小圓孔.求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點尸的電場強度.

題5-18圖

分析用補償法求解利用高斯定理求解電場強度只適用于幾種非常特殊的

對稱性電場.本題的電場分布雖然不具有這樣的對稱性，但可以利用具有對

稱性的無限大帶電平面和帶電圓盤的電場疊加，求出電場的分布.若把小圓

孔看作山等量的正、負(fù)電荷重疊而成，挖去圓孔的帶電平板等效于一個完整

的帶電平板和一個帶相反電荷(電荷面密度，=一(7)的小圓盤.這樣中心軸

線上的電場強度等效于平板和小圓盤各自獨立在該處激發(fā)電場的矢量和.

解由教材中第5-4節(jié)例4可知，在無限大帶電平面附近

-1cn

2跖

e〃為沿平面外法線的單位矢量；圓盤激發(fā)的電場

E=0

在距離圓孔較遠時/>>r,則

E「=-0---.1=e

2571+r2/x2

G

?--e

2%"

上述結(jié)果表明，在x>>r時，帶電平板上小圓孔對電場分布的影響可以忽

略不計.

5-19在電荷體密度為0的均勻帶電球體中，存在一個球形空腔，若將帶

電體球心0指向球形空腔球心0,的矢量用。表示（如圖所示）.試證明球形空

腔中任一點的電場強度為

題5-19圖

分析本題帶電體的電荷分布不滿足球?qū)ΨQ，其電場分布也不是球?qū)ΨQ分

布，因此無法直接利用高斯定理求電場的分布，但可用補償法求解.挖去球

形空腔的帶電球體在電學(xué)上等效于一個完整的、電荷體密度為2的均勻帶電

球和一個電荷體密度為一p、球心在0,的帶電小球體（半徑等于空腔球體的半

徑）.大小球體在空腔內(nèi)P點產(chǎn)生的電場強度分別為反、E2,則P點的電

場強度E=Et+E2.

證帶電球體內(nèi)部一點的電場強度為

E=〃-r

3%

所以E,=''r,E-,=—F-,

373%

E=E,+E2=^（r,-r2）

根據(jù)幾何關(guān)系上式可改寫為

E=〃-a

3%

5-20一個內(nèi)外半徑分別為％和&的均勻帶電球殼，總電荷為2，球

殼外同心罩一個半徑為總的均勻帶電球面，球面帶電荷為02.求電場分布.

電場強度是否為離球心距離r的連續(xù)函數(shù)？試分析.

題5-20圖

分析以球心0為原點，球心至場點的距離r為半徑，作同心球面為高斯面.

由于電荷呈球?qū)ΨQ分布，電場強度也為球?qū)ΨQ分布，高斯面上電場強度沿徑

矢方向，且大小相等.因而jEd5=E-4兀產(chǎn).在確定高斯面內(nèi)的電荷

后，利用高斯定理《EdS=即可求出電場強度的分布.

解取半徑為r的同心球面為高斯面，由上述分析

E-47rr2=

r<R\，該高斯面內(nèi)無電荷，>=0,故旦=0

R}<r<&，高斯面內(nèi)電荷=

E-

故2-4血血-槨

曲<r<R3,高斯面內(nèi)電荷為。1,故

當(dāng)

4

r>/?3，高斯面內(nèi)電荷為。1+。2，故

。1+。2

4

電場強度的方向均沿徑矢方向，各區(qū)域的電場強度分布曲線如圖(B)所示.

在帶電球面的兩側(cè)，電場強度的左右極限不同，電場強度不連續(xù)，而在緊貼

r=&的帶電球面兩側(cè)，電場強度的躍變量

AE=E「E廣02(7

43

4%用%

這?躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的必然結(jié)果，且具有普遍性.實際帶

電球面應(yīng)是有一定厚度的球殼，殼層內(nèi)外的電場強度也是連續(xù)變化的，本題

中帶電球殼內(nèi)外的電場，在球殼的厚度變小時，￡'的變化就變陡，最后當(dāng)厚

度趨于零時，E的變化成為一躍變.

5-21兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面，半徑分別為此和公

>幻），單位長度上的電荷為人.求離軸線為r處的電場強度：（1）r</?,,

(b)

題5-21圖

分析電荷分布在無限長同軸圓柱面上，電場強度也必定沿軸對稱分布，取

同軸圓柱面為高斯面，只有側(cè)面的電場強度通量不為零，且

jEdS=E2m±,求出不同半徑高斯面內(nèi)的電荷即可解得各區(qū)域電

場的分布.

解作同軸圓柱面為高斯面，根據(jù)高斯定理

E-271rL=￡q/%

r<R],

￡,=o

在帶電面附近，電場強度大小不連續(xù)，電場強度有一躍變

R\<r</?2，

r>Ri.￡q=。

4=0

在帶電面附近，電場強度大小不連續(xù)，電場強度有一躍變

2無力r2morLso

這與5-20題分析討論的結(jié)果一致.

5-22如圖所示，有三個點電荷Qi、。2、。3沿一一條直線等間距分布且

Qi=。3=Q-已知其中任一點電荷所受合力均為零，求在固定。|、。3的

情況下，將。2從點0移到無窮遠處外力所作的功.

y

?o.Qi牛.

Ld一.一d一1

題5-22圖

分析由庫侖力的定義，根據(jù)、。3所受合力為零可求得。2.外力作功W'

應(yīng)等于電場力作功W的負(fù)值，即沙=一卬.求電場力作功的方法有兩種：（1）

根據(jù)功的定義，電場力作的功為

W=[Q2Edl

其中E是點電荷a、。3產(chǎn)生的合電場強度.

（2）根據(jù)電場力作功與電勢能差的關(guān)系，有

卬=&（—8）3。

其中％是、。3在點。產(chǎn)生的電勢（取無窮遠處為零電勢）.

解1山題意a所受的合力為零

Q._+Q.——、2=0

47iqd~4ne0（2d）

解得02=—；。3=-

由點電荷電場的疊加，2、03激發(fā)的電場在y軸上任意一點的電場強度為

2

E~Ely+E3V=223/2

27t￡0（d+y

將。2從點。沿y軸移到無窮遠處，（沿其他路徑所作的功相同，請想一想

為什么？）外力所作的功為

產(chǎn)12vxQ2

W'-f-4Q,

2%儼+y2廣）

解2與解1相同，在任一點電荷所受合力均為零時。2=-：。，并由電勢

的疊加得。I、。3在點。的電勢

v0=0+&=Q

4兀4m/2兀

將仍從點。推到無窮遠處的過程中，外力作功

Q2

卬'=_。2匕

8叫）d

比較上述兩種方法，顯然用功與電勢能變化的關(guān)系來求解較為簡潔.這是因

為在許多實際問題中直接求電場分布困難較大，而求電勢分布要簡單得多.

5-23已知均勻帶電長直線附近的電場強度近似為

2%r'

為電荷線密度.（1）求在，和r=r2兩點間的電勢差；（2）在點電荷的電

場中，我們曾取廠一8處的電勢為零，求均勻帶電長直線附近的電勢時，能

否這樣取？試說明.

解（1）由于電場力作功與路徑無關(guān)，若沿徑向積分，則有

U|2=『Edr="ln豆

（2）不能.嚴(yán)格地講，電場強度E=」一e,只適用于無限長的均勻帶電直

2mor

線，而此時電荷分布在無限空間，r-8處的電勢應(yīng)與直線上的電勢相等.

5-24水分子的電偶極矩p的大小為6.20X10-3°cm.求在下述情況

下，距離分子為，?=5.00X1（T9m處的電勢.（1）6=0。；（2）6=45。；

（3）6=90。，8為r與p之間的夾角.

解由點電荷電勢的疊加

吟=匕+丫=，_+」_=笆

4兀4/24%/

(I)若。=0"Vp=P,=2.23x10-3V

4%/

/JCS45(3

(2)若。=45°Vp=°=1.58xlQ-V

4叫了

⑶若。=90°<=〃cos90"二。

4叫廠

5-25一個球形雨滴半徑為0.40mm,帶有電量1.6pC,它表面的電勢有

多大？兩個這樣的雨滴相遇后合并為一個較大的雨滴，這個雨滴表血的電

勢又是多大？

分析取無窮遠處為零電勢參考點，半徑為R帶電量為q的帶電球形雨滴

表面電勢為

4%R

當(dāng)兩個球形雨滴合并為一個較大雨滴后，半徑增大為啦R,代入上式后可

以求出兩雨滴相遇合并后，雨滴表面的電勢.

解根據(jù)已知條件球形雨滴半徑R=0.40mm,帶有電量3=1.6pC,可

以求得帶電球形雨滴表面電勢

V.=」--36V

4%/?|

當(dāng)兩個球形雨滴合并為一個較大雨滴后，雨滴半徑&=蚯凡，帶有電量42

=2qi,雨滴表面電勢

V--___2._57V

L4吸臟R、ev

5-26電荷面密度分別為和一。的兩塊“無限大”均勻帶電的平行平板，

如圖(a)放置，取坐標(biāo)原點為零電勢點，求空間各點的電勢分布并畫出電勢

隨位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線.

題5-26圖

分析由于“無限大”均勻帶電的平行平板電荷分布在“無限”空間，不能

采用點電荷電勢疊加的方法求電勢分布：應(yīng)該首先由“無限大”均勻帶電平

板的電場強度疊加求電場強度的分布，然后依照電勢的定義式求電勢分布.

解由“無限大”均勻帶電平板的電場強度土上-i,疊加求得電場強度的

2%

分布，

0(x<-a)

(-a<x<a)

2%

0(x>a)

電勢等于移動單位正電荷到零電勢點電場力所作的功

V=fE-dZ=--x(-a<x<a)

工%

V=raE-dZ+f)E-dl=—a(x<-a)

V=+Edl=--a{x>a

電勢變化曲線如圖(b)所示.

5-27兩個同心球面的半徑分別為R和/?2，各自帶有電荷Qi和。2.求:

(1)各區(qū)域電勢分布，并畫出分布曲線；(2)兩球面間的電勢差為多少？

題5-27圖

分析通?？刹捎脙煞N方法(1)由于電荷均勻分布在球面上，電場分布也具

有球?qū)ΨQ性，因此，可根據(jù)電勢與電場強度的積分關(guān)系求電勢.取同心球面

為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場強度分布，再由匕=

可求得電勢分布.(2)利用電勢疊加原理求電勢.一個均勻帶電的球面，在球

面外產(chǎn)生的電勢為

V=—

4兀％r

在球面內(nèi)電場強度為零，電勢處處相等，等于球面的電勢

V=—^—

4%R

其中R是球面的半徑.根據(jù)上述分析，利用電勢疊加原理，將兩個球面在各

區(qū)域產(chǎn)生的電勢疊加，可求得電勢的分布.

解1(1)由高斯定理可求得電場分布

6=0(「＜鳥)

E2=-^er(&<"4)

4%r

當(dāng)=*當(dāng)*Q4)

4%/

由電勢y=可求得各區(qū)域的電勢分布.

當(dāng)rWR時，有

乂=（6-（1/+A&7/+1區(qū)劃

=0+」］+儲+。2

4g）/?,R24兀qR）

_QI+。2

4?！辏ㄈ?jC￡0/?2

當(dāng)RWrW&時，有

V2=pE2dZ+￡E.-dl

a「1iLe,+e2

4?！?。r尺24兀//?2

_Q1?。2

47120r4兀%/?2

當(dāng)r2燈時，有

匕=「當(dāng)d/=Q+Q

4m0r

(2)兩個球面間的電勢差

解2(1)由各球面電勢的疊加計算電勢分布.若該點位于兩個球面內(nèi)，即r

WRi,貝IJ

4冗￡國4TU-()R2

若該點位于兩個球面之間，即尺WrWRz,則

_4712v4TO07?2

若該點位于兩個球面之外，即尸》/?2，則

Y=21+02

,4兀%r

(2)兩個球面間的電勢差

12=(匕一眩上-1=—^---------------

24鵬內(nèi)47r￡()&

5-28一半徑為R的無限長帶電細棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷的

體密度為？現(xiàn)取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出分布曲線.

V

@5-28圖

分析無限長均勻帶電細棒電荷分布呈軸對稱,其電場和電勢的分布也呈軸

對稱.選取同軸柱面為高斯面，利用高斯定理

亞」口丫

%

可求得電場分布EG）,再根據(jù)電勢差的定義

V?-Vfc=fE（r）.d/

并取棒表面為零電勢（％=0），即可得空間任意點。的電勢.

解取高度為/、半徑為/且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面，由高斯定理

當(dāng)rWR時

E-271/7=ur'lpl

得￡（「）=F

2%

當(dāng)時

2

E-2nrl=nRlp/￡0

得雙尸）=遮

取棒表面為零電勢，空間電勢的分布有

當(dāng)r<K時

當(dāng)r2R時

如圖所示是電勢丫隨空間位置r的分布曲線.

5-29一圓盤半徑R=3.00XIO、m.圓盤均勻帶電，電荷面密度c=

2.00X10-5cm、.（1）求軸線上的電勢分布；（2）根據(jù)電場強度與電勢梯

度的關(guān)系求電場分布；（3）計算離盤心30.0cm處的電勢和電場強度.

題5-29圖

分析將圓盤分割為一組不同半徑的同心帶電細圓環(huán)，利用帶電細環(huán)軸線上

一點的電勢公式，將不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線上一點的電勢積分相加，即

可求得帶電圓盤在軸線上的電勢分布，再根據(jù)電場強度與電勢之間的微分關(guān)

系式可求得電場強度的分布.

解（1）帶電圓環(huán)激發(fā)的電勢

,,,1cr2nrdr

dV----------一

4%7r2+x2

由電勢疊加，軸線上任一點尸的電勢的

（2）軸線上任一點的電場強度為

電場強度方向沿x軸方向.

（3）將場點至盤心的距離x=30.0cm