平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（教案）（總8

頁）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（一）（教案）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：（1）理解平面向量的坐標(biāo)概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.過程與方法：（1）通過對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)和向量的類比，培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力；（2） 通過平面向量坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算法則的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生歸納、猜想、演繹的能力；（3） 通過用代數(shù)方法處理幾何問題，提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）讓學(xué)生在探索中體驗(yàn)探究的艱辛和成功的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的求索精神和合作交流的團(tuán)隊(duì)精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（2） 使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的重要性，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；（3） 讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，從一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律.教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；教學(xué)難點(diǎn)：平面向量坐標(biāo)的意義.教學(xué)方法：“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”、“探究學(xué)習(xí)”及“合作學(xué)習(xí)”的模式.教學(xué)手段：利用多媒體動(dòng)畫演示及實(shí)物展示平臺(tái)增加直觀性，提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)過程設(shè)計(jì)：一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入課題.同學(xué)們，我們知道，向量的概念是從物理中抽象出來的，人們最初對(duì)向量的研究是從幾何的的角度來進(jìn)行的，但是隨著問題的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)用圖形來研究向量有一些不便之處，那么，有沒有一種更簡潔的方式可以來表示向量呢？

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！眻D形關(guān)系往往與某些數(shù)量關(guān)系密切聯(lián)系在一起，數(shù)與形是互相依賴的，所以我們想到了用數(shù)來表示向量.思路一：用一個(gè)數(shù)能否表示向量（請(qǐng)學(xué)生回答）（不能，因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较颍┧悸范河脙蓚€(gè)數(shù)能否表示向量（引導(dǎo)學(xué)生思考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)和一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么，向量是否也能找到與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)呢?讓我們先來探討這樣一個(gè)問題：探究一：如圖，為互相垂直的單位向量，請(qǐng)用子,J表示圖中的向量a,b,c,d.請(qǐng)學(xué)生動(dòng)手完成并回答:4根據(jù)向量加法的幾何意義，我們只要把分解在i請(qǐng)學(xué)生動(dòng)手完成并回答:4根據(jù)向量加法的幾何意義，我們只要把分解在i，J的方向上，就可得到:3i+3，同理可得b=-j —,1jc +3z，c +3z，—5—4—3^——4^DL廠二-1，矗的這利2形式是否唯一根據(jù)是什么（提問學(xué)生）由此復(fù)習(xí)平面向量基本定理：如果e由此復(fù)習(xí)平面向量基本定理：如果e%是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向—4量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)七，氣，使a=y+%e2，其中的匕，e2稱為平面的一組基底.強(qiáng)調(diào)：基底不唯一，只要不共線，就可作為基底，而一旦基底選定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深認(rèn)識(shí).根據(jù)平面向量基本定理，我們知道，在選定基底的情況下，所給a,b,c,d.四個(gè)向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是說，這幾個(gè)向量用基底、來表示的形式是唯一的，每個(gè)向量對(duì)應(yīng)的這對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)我們就將其稱之為向量的坐標(biāo).

推廣到平面內(nèi)的任意向量，我們?cè)鯓觼矶x向量的坐標(biāo)(引導(dǎo)學(xué)生思考，請(qǐng)學(xué)生嘗試給出定義)如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得a-xi+y ①我們把(x,y)叫做向量的(直角)坐標(biāo)，記作a-(x,y) ①其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，②式叫做向量的坐標(biāo)表示在定義中，要注意a-xi+yj-(x,y)定義實(shí)際上給出了求向量坐標(biāo)的方法：寫出向量在正交基底方向的分解形式，就得到了向量的坐標(biāo)；反過來，知道了一個(gè)向量的坐標(biāo)，就相當(dāng)于知道了它在、方向的分解形式.結(jié)合定義，指導(dǎo)學(xué)生求出向量、、，OP的坐標(biāo).(多媒體演示)在坐標(biāo)系中觀察，向量及OP的坐標(biāo)與其終點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系這幾個(gè)向量在坐標(biāo)系中的位置有什么共同點(diǎn)什么樣的向量其坐標(biāo)就是終點(diǎn)坐標(biāo)通過這樣的問題引導(dǎo)讓學(xué)生得到結(jié)論：起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量其坐標(biāo)就是其終點(diǎn)的坐標(biāo).類比點(diǎn)的坐標(biāo)，提出：向量平移后具體位置發(fā)生了改變，其坐標(biāo)是否會(huì)發(fā)生變化？結(jié)合向量坐標(biāo)的定義，將平移前后的向量分別分解在基底的方向上，所得四邊形是全等的，因此，這兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同.也可這樣理解，通過動(dòng)畫演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通過平移，可以使它們的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)處，則其終點(diǎn)必然重合，此時(shí)，它們的坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)著這個(gè)終點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得到：相等向量的坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量.三、自主探索，推導(dǎo)法則.前面所學(xué)的向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積這幾種運(yùn)算的結(jié)果是向量，因此，引入向量后，這些運(yùn)算的結(jié)果也能用坐標(biāo)表示，

探究二：（1）已知a=（x,y）,b=（x,y）,求a+b,a-b的坐標(biāo).1 1 2 2（2）已知a=（x,y）和實(shí)數(shù)人,求人a的坐標(biāo)?請(qǐng)學(xué)生以四人小組為單位，自己討論推導(dǎo)，再將推導(dǎo)方法及所得結(jié)論在班上進(jìn)行交流，最后，教師再來歸納整理，由此得出平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：（1）兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：3土舌=（x土x,y土y）（其中~a=（x,y）,b=（x,y））12 12 1 1 2 2（2）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo):若b=(x,y)，則人b=(人x,Xy)；練習(xí)i.已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo).探究三：通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)就是其終點(diǎn)坐標(biāo)，那么，對(duì)于起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，又該如何來確定其坐標(biāo)若已知其起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，如何求出此向量的坐標(biāo)先來看一個(gè)具體的例子：求出圖中的向量的坐標(biāo)，并觀察其坐標(biāo)與其起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)之間有何關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一5學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：其坐標(biāo)等于4-推廣到一般的（氣,y（引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一5學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：其坐標(biāo)等于4-推廣到一般的（氣,y1）,（3c,例子中得到的猜想，要說%殳，歸納猜想）IB（4,5）句量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).再將A,B的坐標(biāo)結(jié)論。=教制指出：這只是我們從具體的明，關(guān)鍵說％已知虹-2 -嗎AB=OB-OA，從而轉(zhuǎn)由此，得到一個(gè)重要”2），明其正確茬，2）必須進(jìn)行嚴(yán)密的推證。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證I兩點(diǎn)的坐標(biāo)相當(dāng)于知道了向量,OB的坐標(biāo)，而一1 2 3 4x5為坐標(biāo)的運(yùn)算.的結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).練習(xí)2.⑴已知A(2,3),B=(-3,5),求BA的坐標(biāo).已知序=(L-2),A(2,1),求B的坐標(biāo).已知AB=(L-2),B(2,1),求A的坐標(biāo).四、鞏固應(yīng)用，加深理解.例1、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)^：AB=(1,2),DC=(3-x,4-y)由AB=DC,得 」 Ic、“ 』、2、已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),(1,2)=(3-x,4-y)S 1 r . B(1,3),C(3, 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)3一x= 1 Ix= 2構(gòu)成媒體二＜4-y=2「?]y=2平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).(構(gòu)成媒體.??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).演示)分析：未固定四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序，因此，點(diǎn)D的位置有3個(gè).五、課堂小結(jié).(先請(qǐng)學(xué)生歸納，再由教師完善)平面向量的坐標(biāo)的概念；幾個(gè)重要結(jié)論:相等的向量坐標(biāo)相同；坐標(biāo)相同的向量是相等向量;起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo).⑶一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).即：若A(x,y),B(x,y)，貝:AB=(x-x,y—y)TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 2 1 2 1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x,y),b=(x,y)，則(1)a+b=(x+x,y+y),1 1 2 2 12 12(2)a一b=(x一x,y一y),(3)人a=(人x,人y)12 12 1 1六、布置作業(yè).(必做題)課本P114.(選做題)我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系(兩條數(shù)軸的原點(diǎn)重合且單位長度相同)稱為斜坐標(biāo)系.平面上任意一點(diǎn)p的斜坐標(biāo)定義為：若op=xe+yr(其中e、e分別為斜坐標(biāo)系的x軸、1 2 1 2y軸正方向上的單位向量，x、yeR),則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x,y).在平面斜坐標(biāo)系xoy中，若/xoy=60。，已知點(diǎn)M的斜坐標(biāo)為(1,2),則點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為 （使學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)向量坐標(biāo)表示的理解，把對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究由課內(nèi)延伸到課外）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（一）（教案說明）一、教學(xué)內(nèi)容分析及目標(biāo)設(shè)定.向量是“形”與“數(shù)”的結(jié)合體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，常與三角、數(shù)列、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容交叉滲透，自然地交匯在一起；同時(shí)，向量具有豐富的物理背景，在物理中應(yīng)用很廣泛，因此，向量是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的內(nèi)容。本課時(shí)內(nèi)容是向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，之前的教學(xué)內(nèi)容為向量的概念及向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，集中在對(duì)向量的幾何特征的研究上，而本節(jié)課之后，主要研究向量的代數(shù)運(yùn)算，因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，正是由于向量坐標(biāo)概念的引入及向量坐標(biāo)運(yùn)算法則的導(dǎo)出，使得對(duì)向量的研究由“形”轉(zhuǎn)向“數(shù)”成為了可能。本節(jié)內(nèi)容是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)化的一個(gè)很好的過程，它有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和數(shù)學(xué)的說理，所以它在學(xué)生的學(xué)習(xí)上也具有重要的作用。基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：知識(shí)與技能：（1）理解平面向量的坐標(biāo)概念，（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。過程與方法：（1）通過對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)和向量的類比，培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力；（2） 通過平面向量坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算法則的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生歸納、猜想、演繹的能力；（3） 通過用代數(shù)方法處理幾何問題，提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）讓學(xué)生在探索中體驗(yàn)探究的艱辛和成功的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的求索精神和合作交流的團(tuán)隊(duì)精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的重要性，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，從一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律。二教學(xué)診斷分析.本節(jié)課既有概念的教學(xué)，又有運(yùn)算法則的推導(dǎo)和應(yīng)用，知識(shí)點(diǎn)繁多而且相互間的銜接并不緊密，依據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生往往只注重對(duì)法則的應(yīng)用，而忽視對(duì)概念的理解，對(duì)概念本質(zhì)的理解不到位導(dǎo)致在處理相關(guān)問題時(shí)出現(xiàn)偏差，也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展受到限制。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要解決“學(xué)什么”的問題，更應(yīng)讓學(xué)生明白“為什么學(xué)”。依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，因此，在向量坐標(biāo)概念的引入過程中，我從平面向量知識(shí)體系的發(fā)展引入，使學(xué)生明白用數(shù)來表示向量是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的必然，是為對(duì)向量的研究從“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”搭建橋梁，從而激發(fā)起學(xué)生的求知欲。在提出“如何用數(shù)來表示向量”這一問題后，類比點(diǎn)的坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生猜想：點(diǎn)可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，向量也是平面圖形，是否也能用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示？這一問題的解決，不是由教師直接告訴學(xué)生，而是通過學(xué)生自己探索得到答案。通過設(shè)置探究：讓學(xué)生將所給向量用給定的基底表示出來，結(jié)合平面向量基本定理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所給的每一個(gè)向量用基底來表示的形式都是唯一的，也就是說，對(duì)于每一個(gè)向量，都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示，這就使剛才的問題得到了解決，從而引入坐標(biāo)的概念。學(xué)生對(duì)向量坐標(biāo)表示的意義的理解是本節(jié)課的難點(diǎn)，由于對(duì)概念理解不清，使得不少學(xué)生到高三時(shí)還常常在這樣一個(gè)問題上犯錯(cuò)：向量平移后，將向量坐標(biāo)也按平移公式來進(jìn)行計(jì)算。這正是對(duì)向量坐標(biāo)概念的理解不到位造成的，因此，類比坐標(biāo)系內(nèi)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)不同，提出：平移后向量的具體位置發(fā)生了變化，向量的坐標(biāo)會(huì)不會(huì)變？師生共同分析：平移前后的向量是相等向量，其方向相同，大小相等，按照向量坐標(biāo)的定義，將其分解在方向的形式是一致的，因此，坐標(biāo)相同。接著通過動(dòng)畫演示，從另一個(gè)角度來說明此問題：平移前后的向量是相等向量，通過平移，可以使它們的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)處，則其終點(diǎn)必然重合，此時(shí)，它們的坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)著這個(gè)終點(diǎn)的坐標(biāo)。通過不同的途徑，讓學(xué)生自己得出“平移不改變向量的坐標(biāo)”即“相等向量坐標(biāo)相同”這一重要結(jié)論，在這一過程中也滲透了對(duì)向量坐標(biāo)概念本質(zhì)的理解。三、 教法特點(diǎn).建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是獲取知識(shí)的過程，學(xué)習(xí)是在一定的情境下,借助他人的幫助而實(shí)現(xiàn)的意義建構(gòu)過程。因此“情境”、“協(xié)作”、“交流”和“意義建構(gòu)”被認(rèn)為是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)過程的四大要素。因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，我采用了“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”、“探究學(xué)習(xí)”及“合作學(xué)習(xí)”的模式，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，教師充當(dāng)?shù)氖呛献髡?、引?dǎo)者和組織者的角色，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比和歸納，充分發(fā)掘?qū)W生的自主能力，組織學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，在交流合作