2007全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

PAGE62007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其他中間檔次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號(hào)為的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1.已知滿足，則的值為（）（A）1.（B）.（C）.（D）.【答】B.解由得，所以，故選（B）.注：本題也可用特殊值法來(lái)判斷.2．當(dāng)分別取值，，，…，，，，…，，，時(shí)，計(jì)算代數(shù)式的值，將所得的結(jié)果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.【答】C.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)（共8頁(yè)）解因?yàn)?，即?dāng)分別取值，為正整數(shù)）時(shí)，計(jì)算所得的代數(shù)式的值之和為0；而當(dāng)時(shí)，.因此，當(dāng)分別取值，，，…，，，，…，，，時(shí)，計(jì)算所得各代數(shù)式的值之和為0.故選（C）.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)（共8頁(yè)）3.設(shè)是△的三邊長(zhǎng)，二次函數(shù)在時(shí)取最小值，則△是（）（A）等腰三角形.（B）銳角三角形.（C）鈍角三角形.（D）直角三角形.【答】D.解由題意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形.故選（D）.4.已知銳角△的頂點(diǎn)到垂心的距離等于它的外接圓的半徑，則∠的度數(shù)是（）AECBDOH（A）30°.（B）45AECBDOH【答】C.解銳角△的垂心在三角形內(nèi)部，如圖，設(shè)△的外心為，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)，連、，則//，//，則，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故選（C）.5．設(shè)是△內(nèi)任意一點(diǎn)，△、△、△的重心分別為、、，則的值為（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答】A.解分別延長(zhǎng)、、，與△的三邊、、交于點(diǎn)、、，由于、、分別為△、△、△的重心，易知、、分別為、、的中點(diǎn)，所以.易證△∽△，且相似比為，所以.所以.故選（A）.6．袋中裝有5個(gè)紅球、6個(gè)黑球、7個(gè)白球，從袋中摸出15個(gè)球，摸出的球中恰好有3個(gè)紅球的概率是（）（A）.（B）.（C）.（D）.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)（共8頁(yè)）【答】B.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)（共8頁(yè)）＝.3.已知直角梯形的四條邊長(zhǎng)分別為，過(guò)、兩點(diǎn)作圓,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的值為_(kāi)___4_____.ABCDEFGMN解延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)分別為點(diǎn)，則易知.因?yàn)?，由割線定理，易證，所以.ABCDEFGMN4．若和均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù)，則整數(shù)的值是___17____.解設(shè)，，則，兩式相減得，因?yàn)?01是質(zhì)數(shù)，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.第二試（A）一、（本題滿分20分）設(shè)為正整數(shù)，且，如果對(duì)一切實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離不小于，求的值.解因?yàn)橐辉畏匠痰膬筛謩e為和，所以二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.由題意，，即，即.由題意知，，且上式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(yè)（共8頁(yè)）2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(yè)（共8頁(yè)）所以或ABCDEFMNP二、（本題滿分25分）如圖，四邊形是梯形，點(diǎn)是上底邊上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn).證明：∠=∠.ABCDEFMNP證明設(shè)與交于點(diǎn)，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，∴△∽△，∴,∴.∴,故又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵M(jìn)E//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.三、（本題滿分25分）已知是正整數(shù)，如果關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根.解觀察易知，方程有一個(gè)整數(shù)根，將方程的左邊分解因式，得因?yàn)槭钦麛?shù)，所以關(guān)于的方程（1）的判別式，它一定有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.而原方程的根都是整數(shù)，所以方程（1）的根都是整數(shù)，因此它的判別式應(yīng)該是一個(gè)完全平方數(shù).設(shè)（其中為非負(fù)整數(shù)），則，即.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(yè)（共8頁(yè)）顯然與的奇偶性相同，且，而，所以2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(yè)（共8頁(yè)）或或解得或或而是正整數(shù)，所以只可能或當(dāng)時(shí)，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時(shí)原方程的三個(gè)根為1，和.當(dāng)時(shí)，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時(shí)原方程的三個(gè)根為1，和.第二試（B）一、（本題滿分20分）設(shè)為正整數(shù)，且，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.如果對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的值.解因?yàn)橐辉畏匠痰膬筛謩e為和，所以；一元二次方程的兩根分別為和，所以.所以，（1）由題意知，，且（1）式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以所以或二、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁(yè)（共8頁(yè)）三、（本題滿分25分）設(shè)是正整數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，如果兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)都是整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求的值.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁(yè)（共8頁(yè)）解聯(lián)立方程組消去得，即，分解因式得（1）顯然是方程（1）的一個(gè)根，（1，56）是兩個(gè)函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)槭钦麛?shù)，所以關(guān)于的方程（2）的判別式，它一定有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.而兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)都是整點(diǎn)，所以方程（2）的根都是整數(shù)，因此它的判別式應(yīng)該是一個(gè)完全平方數(shù).設(shè)（其中為非負(fù)整數(shù)），則，即.顯然與的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整數(shù)，所以只可能或當(dāng)時(shí)，方程（2）即，它的兩根分別為和，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象還有兩個(gè)交點(diǎn)和.當(dāng)時(shí)，方程（2）即，它的兩根分別為和，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象還有兩個(gè)交點(diǎn)和.2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁(yè)（共8頁(yè)）第二試（C）2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁(yè)（共8頁(yè)）一、（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第一題相同.二、（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）設(shè)是正整數(shù)，如果二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象有公共整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求的值和對(duì)應(yīng)的公共整點(diǎn).解聯(lián)立方程組消去得＝，即，分解因式得（1）如果兩個(gè)函數(shù)的圖象有公共整點(diǎn)，則方程（1）必有整數(shù)根，從而關(guān)于的一元二次方程（2）必有整數(shù)根，所以一元二次方程（2）的判別式應(yīng)該是一個(gè)完全平方數(shù)，而.所以應(yīng)該是一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)（其中為非負(fù)整數(shù)），則，