高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第七節(jié) 拋物線習(xí)題 理試題

第七節(jié)拋物線[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共30分)1.在同一坐標(biāo)系下,下列曲線中,右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合的是 ()A.=1 B.=1C.=1 D.=11.D【解析】因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0),而A中橢圓的半焦距c=,B中橢圓的半焦距c==2,C中雙曲線的半焦距c=,D中雙曲線的半焦距c==1,且焦點(diǎn)在x軸上,滿足題意.2.(2015·天水一模)過拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),若拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1,則線段|AF|= ()A.1 B.2 C.3 D.42.A【解析】∵x2=2y,∴y'=x,∵拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1,∴B,∵x2=2y的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線方程為y=-,∴直線l的方程為y=,∴|AF|=1.3.拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于 ()A.3 B. C.6 D.63.A【解析】拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線x=3與雙曲線=1的兩條漸近線y=±x所圍成的三角形的面積等于×2×3=3.4.(2015·濱州模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),且兩條曲線的交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F,則該雙曲線的離心率為 ()A. B.2 C.+1 D.-14.C【解析】由題意可得=a2+b2,且在雙曲線上,則=1,即=1,=1,化簡得b2=2ac,則c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e>1,解得e=+1.5.(2015·湖南雅禮中學(xué)月考)已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線=1(a>0,b>0)有相同的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),且AF⊥x軸,若l為雙曲線的一條漸近線,則l的傾斜角所在的區(qū)間可能是 ()A. B. C. D.5.D【解析】∵|AF|==p,c=,∴=2c,又c>b,∴tanθ=>2,∴l(xiāng)的傾斜角所在的區(qū)間可能是.6.(2015·赤峰期末)如圖所示,設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,A,B是C上兩點(diǎn),且AF⊥FB,弦AB的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的射影為M',則的最小值為 ()A. B. C. D.6.C【解析】如圖所示,設(shè)|AF|=a,|BF|=b,A,B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q,P,連接AQ,BP,由拋物線定義得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理,得2|MM'|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又∵ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×(a+b)2,得|AB|≥(a+b),∴,即的最小值為.二、填空題(每小題5分,共20分)7.(2015·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)若拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)A,B到焦點(diǎn)的距離之和為6,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.

7.2【解析】由|AF|+|BF|=xA+xB+p=xA+xB+2=6,得xA+xB=4,則AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=2,即線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2.8.(2015·湖州二模)設(shè)F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),當(dāng)|AB|=6時(shí),以AB為直徑的圓與y軸相交所得弦長是.

8.2【解析】過A,B兩點(diǎn)和AB的中點(diǎn)D分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,由拋物線定義和梯形中位線知識(shí)可得圓心D到y(tǒng)軸的距離d=2,又圓的半徑為3,所以以AB為直徑的圓與y軸相交所得弦長是2=2.9.若拋物線C1:y2=4x與拋物線C2:x2=2py(p>0)異于原點(diǎn)O的交點(diǎn)A到拋物線C1的焦點(diǎn)的距離為3,則拋物線C2的方程為.

9.x2=y【解析】由點(diǎn)A到拋物線C1的焦點(diǎn)的距離為3,得xA+1=3,解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),代入x2=2py(p>0),得p=,所以拋物線C2的方程為x2=y.10.(2015·南充月考)若以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)A,B滿足=2,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

10.【解析】設(shè)||=2m,||=m,m>0,由已知可得xA=2m-1,xB=m-1,則=2,解得m=.由梯形中位線得弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.三、解答題(共10分)11.(10分)如圖,直線l與拋物線y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)M,且y1y2=-1.(1)求證:M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0);(2)求證:OA⊥OB;(3)求△AOB的面積的最小值.11.【解析】(1)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,0),直線l的方程為x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0, ①∵y1,y2是此方程的兩根,∴y1y2=-x0,∴x0=-y1y2=1,即M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0).(2)∵y1y2=-1,∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,于是S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1,∴當(dāng)m=0時(shí),△AOB的面積取最小值1.[高考沖關(guān)]1.(5分)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在y軸上,若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,且點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A.(0,±2) B.(0,2) C.(0,±4) D.(0,4)1.A【解析】由題意可得xB=,又點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為,所以,解得p=,拋物線方程為y2=2x,又因?yàn)閤B=,所以yB=±1,yA=±2,故A(0,±2).2.(5分)(2015·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且F2恰為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A,若△AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形,則雙曲線C的離心率為 ()A. B.1+ C.1+ D.2+2.B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,由F2恰為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),得雙曲線的c=1,又△AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形,則|AF2|=|F1F2|=2,點(diǎn)A也在拋物線上,由拋物線的定義可得A(1,2),F1(-1,0),則|AF1|=2,由雙曲線定義得|AF1|-|AF2|=2a=2-2,解得a=-1,所以離心率e==1+.3.(5分)(2015·湖北黃岡中學(xué)模擬)過曲線C1:=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1作曲線C2:x2+y2=a2的切線,設(shè)切點(diǎn)為M,延長F1M交曲線C3:y2=2px(p>0)于點(diǎn)N,其中C1,C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn),若|MF1|=|MN|,則曲線C1的離心率為()A. B.-1 C.+1 D.3.D【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2,則F2的坐標(biāo)為(c,0).因?yàn)榍€C1與C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn),所以y2=4cx,因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),M為F1N的中點(diǎn),所以O(shè)M為△NF1F2的中位線,所以O(shè)M∥NF2,因?yàn)閨OM|=a,所以|NF2|=2a,又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.設(shè)N(x,y),則由拋物線的定義可得x+c=2a,則x=2a-c,過點(diǎn)F1作x軸的垂線,點(diǎn)N到該垂線的距離為2a,由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e=(負(fù)值已舍).4.(5分)(2015·長沙三模)已知A,B為拋物線C:y2=4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且A,B位于x軸異側(cè),若=5,同時(shí)拋物線C的焦點(diǎn)F到直線AB的距離為2,則△AOB的面積為.

4.20【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1=,x2=,直線AB的斜率kAB==x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=5,由A,B位于x軸異側(cè),得y1y2=-20(舍去正數(shù)4),則直線AB的方程為y-y1=(x-x1),化簡得y=(x-5),則直線AB恒過點(diǎn)(5,0),又由拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0)到直線AB的距離為2,得AB的傾斜角為30°或150°,不妨設(shè)為30°,則,得y1+y2=4,則|y1-y2|==8,所以△AOB的面積為×5×8=20.5.(10分)已知點(diǎn)P為拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在y軸上,且PQ⊥y軸,A(2,a),求PQ+PA的最小值.5.【解析】點(diǎn)A(2,a)可能在拋物線內(nèi)部,也可能在拋物線的外部,所以要討論.①當(dāng)|a|≤2時(shí),點(diǎn)A(2,a)在拋物線內(nèi)部,直接過點(diǎn)A向y軸作垂線,與拋物線的交點(diǎn)即為PQ+PA最小時(shí)的點(diǎn)P,此時(shí)(PQ+PA)min=2;②當(dāng)|a|>2時(shí),點(diǎn)A(2,a)在拋物線外部,由拋物線的定義知PQ=PF-1,得PQ+PA=PF+PA-1,則A,P,F三點(diǎn)共線時(shí),PQ+PA取得最小值,即(PQ+PA)min=|AF|-1=-1.6.(10分)(2015·梅州一模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形.(1)求C的方程.(2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,證明直線AE過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).6.【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,∴A(3,),F,|AF|=3+.當(dāng)點(diǎn)D在焦點(diǎn)F的右側(cè)時(shí),如圖所示.∴|FD|=|AF|=3+.∵△ADF為正三角形,∴|FG|=|FD|=.又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-,∴3-,∴p=2.∴C的方程為y2=4x.當(dāng)點(diǎn)D在焦點(diǎn)F的左側(cè)時(shí),|FD|=|AF|=3+,此時(shí)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸,不成立,應(yīng)舍去.∴C的方程為y2=4x.(2)設(shè)A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,∴D(x1+2,0