中考初中數(shù)學(xué)：二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題總結(jié)（含例題解析）

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中考初中數(shù)學(xué)：二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題總結(jié)（含例題解析）

1.求二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

2.求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)

式；

3.根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)ax2+bx+c=0中a,b,c的符號(hào)，或由二次函數(shù)

中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

4.二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

5.與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（@豐o）本身就是

所含字母x的二次函數(shù)；下面以a>0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和

一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

A>0+拋物線與X軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次錯(cuò)有兩個(gè)不相等實(shí)根

兩個(gè)交點(diǎn)P可零、可負(fù)

A=0；拋物線與工軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一京個(gè)相等的

有一

A<0<拋物線與工軸無二次三項(xiàng)式的值恒為正”一元二次第無實(shí)數(shù)根i

動(dòng)點(diǎn)問題題型方法歸納總結(jié)

動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)一一問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好

一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的

性質(zhì)、圖形的特殊位置。）

動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角

三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的

最值。

動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)兩個(gè)

問題背景特殊菱形兩邊上移動(dòng)特殊直角梯形拋物線中特殊直角梯

三邊上移動(dòng)形底邊上移動(dòng)

考查難點(diǎn)探究相似三角形探究三角形面探究等腰三角形

積函數(shù)關(guān)系式

①菱形性質(zhì)①求直線解析①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)

②特殊角三角函數(shù)式②探究平行四邊形

<③求直線、拋物線解析②四邊形面積③探究動(dòng)三角形面積

式的表示是定值

嘉④相似三角形③動(dòng)三角形面④探究等腰三角形存

⑤不等式積函數(shù)④矩形在性

性質(zhì)

①菱形是含60°的特①觀察圖形構(gòu)①直角梯形是特殊的

殊菱形；造特征適當(dāng)割（一底角是45°）

△A0B是底角為30°的補(bǔ)表示面積②點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)

等腰三角形。②動(dòng)點(diǎn)按到拐③線動(dòng)中的特殊性（兩

②一個(gè)動(dòng)點(diǎn)速度是參點(diǎn)時(shí)間分段分個(gè)交點(diǎn)D、E是定點(diǎn)；

數(shù)字母。類動(dòng)線段PF長(zhǎng)度是定值，

③探究相似三角形時(shí)，③畫出矩形必PF=0A）

按對(duì)應(yīng)角不同分類討備條件的圖形④通過相似三角形過

論；先畫圖，再探究。探究其存在性度，轉(zhuǎn)化相似比得出方

疝④通過相似三角形過程。

度，轉(zhuǎn)化相似比得出方⑤探究等腰三角形時(shí)，

程。先畫圖，再探究（按邊

⑤利用a、t范圍，運(yùn)相等分類討論）

用不等式求出a、t的

值。

共同點(diǎn)：

①特殊四邊形為背景；

②點(diǎn)動(dòng)帶線動(dòng)得出動(dòng)三角形；

③探究動(dòng)三角形問題(相似、等腰三角形'面積函數(shù)關(guān)系式)；

④求直線、拋物線解析式；

⑤探究存在性問題時(shí)，先畫出圖形，再根據(jù)圖形性質(zhì)探究答案。

二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題(動(dòng)點(diǎn))

1.如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是/(-4,0),8(-2,0),￡(0,8).

(1)求拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線g的解析

式；

(2)設(shè)拋物線G的頂點(diǎn)為“，拋物線g與x軸分

別交于C,。兩點(diǎn)(點(diǎn)(’在點(diǎn)。的左側(cè)),頂點(diǎn)為N,

四邊形MDNA的面積為S.若點(diǎn)4,點(diǎn)D同時(shí)以每

秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng);

與此同時(shí)，點(diǎn)〃，點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速

度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)力與點(diǎn)

。重合為止.求出四邊形MZW4的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)

間/之間的關(guān)系式，并寫出自變量/的取值范圍;

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形的面積S有最大

值，并求出此最大值；

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時(shí)/的值；若

不能，請(qǐng)說明理由.

［解］(D點(diǎn)4-4,0),點(diǎn)陽-2,0),點(diǎn)￡(0,8)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為。(4,0),

C(2,0),A(0,-8).

設(shè)拋物線g的解析式是

y=ax2+bx+c(aH0),

16。+48+c=0,

則“4a+2b+c=0,

c=-8.

a=-1,

解得,6=6

c=-8.

所以所求拋物線的解析式是y=-X2+6x-8.

(2)由(1)可計(jì)算得點(diǎn)〃(-3,-1),N(3,l).

過點(diǎn)、N作NH上AD,垂足為

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻/時(shí)，AD=2()D=S-2t,NH=\+2t.

根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)OA=OD,OM=ON,所以四邊形MDNA是平行四邊形.

所以S=2s&ADN?

所以，四邊形MDNA的面積S=(8-2/)(1+2/)=-4/2+14/+8.

因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)至點(diǎn)彳與點(diǎn)。重合為止，據(jù)題意可知0W/<4.

所以，所求關(guān)系式是3=-4/2+14/+8,/的取值范圍是0W/<4.

(3)S=+(0^/<4).

所以/=工時(shí)，S有最大值肛.

44

提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求.

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形能形成矩形.

由(2)知四邊形MD仍是平行四邊形，對(duì)角線是4DMN,所以當(dāng)=時(shí)

四邊形MDNA是矩形.

所以O(shè)D=ON.所以O(shè)f)?=ON?=OfP+NH?.

所以/+4/2-2=0.解之得6=J^—2,q=-"―2(舍).

所以在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形可以形成矩形，此時(shí)/=&-2.

［點(diǎn)評(píng)］本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動(dòng)態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道

較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。

2.如圖，已知拋物線y=-3/+歷與坐標(biāo)軸交于4B,0三點(diǎn)，點(diǎn)力的橫坐

4

標(biāo)為-1,過點(diǎn)。(0,3)的直線y=--x+3與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是線段水'上的

4/

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PH1.0B于前H.若/>8=5/,且0</<1.

(1)確定6,c的值：b=,c=；

(2)寫出點(diǎn)8,Q,/,的坐標(biāo)(其中0,7用含/的式子表示)：

8(_，_)，Q{_,_),尸_);

(3)依點(diǎn)/>的變化，是否存在/的值，使△P08為等腰三角形？若存在，求出

所有/的值；若不存在，說明理由.

o

［解］⑴b=-

4

c=3

(2)8(4,0)

0(4/,0)

月(4-4/,3/)

(3)存在/的值，有以下三種情況

①當(dāng)PQ=PB時(shí)

?/PH1OB,則GH=HB

：.4-4t-4t=4/

1

t——

3

②當(dāng)PB=QB時(shí)

得4—4/=5/

4

9

③當(dāng)P0=0B時(shí)，如圖

解法一：過。作0QJ_8P,又PQ=QB

則皿="=3

22

又△BDQs△8”

BDBQ-------------------

：.——=。

BOBC

5

2l_4-4/

"T-5

32

t=--

57

解法二：作Rt△08C斜邊中線OE

則0E=BE,/?￡=-=-,

22

又；0</<1

...當(dāng)，=_!.或3或工時(shí)，△PQ8為等腰三角形.

3957

解法四：數(shù)學(xué)往往有兩個(gè)思考方向：代數(shù)和幾何，有時(shí)可以獨(dú)

立思考，有時(shí)需要綜合運(yùn)用。

代數(shù)討論：計(jì)算出APOB三邊長(zhǎng)度，均用t表示，再討論分析RtaPHQ中用勾股

定理計(jì)算PQ長(zhǎng)度，而PB、BQ長(zhǎng)度都可以直接直接用t表示，進(jìn)行分組討論即可

計(jì)算。

［點(diǎn)評(píng)］此題綜合性較強(qiáng)，涉及函數(shù)、相似性等代數(shù)'幾何知識(shí)，1、2小題不難,

第3小題是比較常規(guī)的關(guān)于等腰三角形的分類討論，需要注意的是在進(jìn)行討論并

且得出結(jié)論后應(yīng)當(dāng)檢驗(yàn)，在本題中若求出的t值與題目中的0</<1矛盾，應(yīng)舍

去

3.如圖1,已知直線尸-，,與拋物線”-$2+6交于％夕兩點(diǎn).

(1)求48兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求線段的垂直平分線的解析式；

(3)如圖2,取與線段48等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在43兩處.用

鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P將與A,B

構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，

求出最大面積，并指出此時(shí)夕點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

圖1圖2

12,

y——x+6

%二6x=-4

［解］⑴解:依題意得:解之得2

必=一3

y=——x%=2

2

A(6,-3),5(-4,2)

（2）作的垂直平分線交x軸，y軸于G。兩點(diǎn)，交于加（如圖1）

由(1)可知：0A=3^5OB=2y[5

:.AB=545

:.0M=-AB-OB=^~

22

過8作軸，￡為垂足

由ABEOs^ocM,得：—=()C=-,

OBOE4圖1

設(shè)CD的解析式為y=kx+b(k00)

0=-k+b［k=2

/J45

5,b=--

-=b7

2i

4?的垂直平分線的解析式為：y=2x--.

“2

（3）若存在點(diǎn)尸使△力分的面積最大，則點(diǎn)P在與直線48平行且和拋物線只

有一個(gè)交點(diǎn)的直線y=-;x+m上，并設(shè)該直線與x軸，j軸交于G〃兩點(diǎn)（如

圖2）.

1

V=——X+/W

2

y=X2+6

I4

：.—x~——x+w-6=0

42

???拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),

(1V1

——4x—(/n-6)=0,

k2J4

2523、

/.m=—

4

在直線GH：>=—1x+空中,

24

GH=—y[5

4

設(shè)。到G”的距離為d,

:.-GH-d=~'OG-OH

22

125石，125：

—x----a=—x—x-

2422

:.d=-4s

2

???AB//GH,

P至UAB的距離等于O到GH的距離4.

另解：過P做PC〃y軸，PC交AB于C,當(dāng)PC最大時(shí)4PBA在AB邊上的高h(yuǎn)最

大（h與PC夾角固定），則S^PB*最大T問題轉(zhuǎn)化為求PC最大值，設(shè)P（X,

--?+62x--

4）,C（X,2），從而可以表示PC長(zhǎng)度，進(jìn)行極值求取。

最后，以PC為底邊，分別計(jì)算S△刖和S,c即可。

［點(diǎn)評(píng)］這是一道涉及二次函數(shù)、方程、幾何知識(shí)的綜合壓軸題，有一定的能力要

求，第3小題是一個(gè)最值問題，解此類題時(shí)需數(shù)形結(jié)合方可較輕松的解決問題。

4.如圖①，正方形Z8C。的頂點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為（0,10）,（8,4）,頂點(diǎn)G/）在

第一象限.點(diǎn)/，從點(diǎn)Z出發(fā)，沿正方形按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)

￡（4,0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P,。兩點(diǎn)同

時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

（1）求正方形48CQ的邊長(zhǎng).

（2）當(dāng)點(diǎn)P在48邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，也。?。的面積S（平方單位）與時(shí)間/（秒）之

間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求P,。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.

（3）求（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間/（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最

大值時(shí)點(diǎn)，的坐標(biāo).

（4）若點(diǎn)P,。保持（2）中的速度不變，則點(diǎn)夕沿著邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，NOP0的

大小隨著時(shí)間/的增大而增大；沿著8C邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，NQP0的大小隨著時(shí)間/的增

大而減小.當(dāng)點(diǎn)P沿著這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使/。。。=90的點(diǎn)P有個(gè).

（拋物線尸爾+&+c（"0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是1-2,竺匕生、.

,2a4a,

［解］(1)作防_Ly軸于尸.

vJ(0,10),8(8,4),

:.FB=8,FA=6.

：.45=10.

(2)由圖②可知，點(diǎn)〃從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8用了10秒.

又?.?48=10,10+10=1.

AP，0兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位.

(3)方法一：作PGLy軸于G,則PG〃引L

GAAPRnGAt

FAAB610

：.GA=-t.

5

3

...OG=W——/.

5

?.?00=4+/,

...S=gxO0xOG=；(/+4)(lO-|/).

3IQ

SP5=-—Z2+—/+20.

105

19

=———v=—,且OW2WIO

2a_f3A33

I10；

.?.當(dāng)/=12時(shí)，S有最大值.

3

此時(shí)GP=±/="，＜；G=10--/=—,

51555

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(四,衛(wèi)、.

(8分)

(155)

方法二：當(dāng)/=5時(shí)，(9(7=7,00=9,S=-0(3-00=—.

22

設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為5=0/2+4+20.

???拋物線過點(diǎn)(10,28%卜?

100a+10/>+20=28,

AR

25。+5b+20——.

2

3

a=---，

10

/

5

319

/.5=--/2+—/4-20.

105

19

19io

by=—,且。<上W10,

2a)33

2x.4

.?.當(dāng)/=4時(shí)，S有最大值.

3

此時(shí)GP="，OG=—,

155

7631

二?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為—,—

155

(4)2.

［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單運(yùn)用和幾何知識(shí)，是近年來較為流行的試

題，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題目的要求動(dòng)中取靜，相信解決這種問題不會(huì)非常難。

5.如圖①，中，NB=90,ZCAB=30\它的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)為(10,0),

頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為(5,50)，/8=10,點(diǎn)/＞從點(diǎn)/出發(fā)，沿/—C的方向勻速

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)0(0,2)出發(fā)，沿J，軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)

('時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

(1)求/胡。的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△。尸0的面積S(平方單位)與時(shí)間/(秒)之間

的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖②)，求點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)速度.

（3）求（2）中面積S與時(shí)間/之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐

標(biāo).

（4）如果點(diǎn)P,0保持（2）中的速度不變，那么點(diǎn)P沿48邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，NOP0的

大小隨著時(shí)間，的增大而增大；沿著臺(tái)「邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙OPQ的大小隨著時(shí)間/的增

大而減小，當(dāng)點(diǎn)。沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使NOP0=9O的點(diǎn)/>有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由.

解：(1)ABAC)=60.

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.

(3)P(10-/,V3r)(0W/W5)

v5=^-(2/+2)(10-/)

?3

I2J4

當(dāng)弓時(shí),S有最大值為爭(zhēng)

11

此時(shí)P

2

（4）當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，NOP0=9O的點(diǎn)。有2個(gè).

①當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)力重合時(shí)，ZOPQ<90°,

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)6重合時(shí)，的長(zhǎng)是12單位長(zhǎng)度，

作ZOPM=9（T交y軸于點(diǎn)M,作P”_Ly軸于點(diǎn)H,

由△0/7/s/\OPM得：OM==11.5,

所以00>OM,從而ZOPQ>90.

所以當(dāng)點(diǎn)/，在4/3邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NOP0=9O”的點(diǎn)〃有1個(gè).（）Ax

第29題圖①

②同理當(dāng)點(diǎn)〃在8（‘邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可算得。。=12+詈=17.8.

而構(gòu)成直角時(shí)交y軸于［o,g身叵=20.2>17.8,

I3J3

所以NO。。<90,從而/OPQ=90的點(diǎn)〃也有1個(gè).

所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZOPQ=90的點(diǎn)夕有2個(gè).

6.（本題滿分14分）如圖12,直線y=-gx+4與x軸交于點(diǎn)力,與y軸交于點(diǎn)

C,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)力、。和點(diǎn)3（-1,0）.

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為求四邊形/OCM的面積；

（3）有兩動(dòng)點(diǎn)。、?同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)O以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

2

折線04c按OTATC的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折

線OC4按OTCT/1的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。、￡兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).

設(shè)。、E同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)/秒時(shí)，/足的面積為S.

①請(qǐng)問。、￡兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在?！辍∣C,若存在，請(qǐng)求出此時(shí)

/的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②請(qǐng)求出S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量/的取值范圍；

③設(shè)S。是②中函數(shù)S的最大值，那么S。=.

y

M

/B

圖12〃

解：(1)令x=0,則y=4；

令y=0貝l]x=3.???4(3,0).C(0,4)

丁二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)。(0,4),

???可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為

y=ax24-6x4-4

又二該函數(shù)圖象過點(diǎn)4(3,0).5(-1,0)

.J0=9。+38+4,

0=4—力+4.

解之，得b=—.

393

二?所求二次函數(shù)的關(guān)系式為歹=-3x?+號(hào)x+4

’33

4?

(2)y=——x2+-X+4

33

=，(x_iy+3

33

???頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為[1埒

過點(diǎn)"作施_Lx軸于尸

??S四邊形4OCW=S'AFM+S梯形尸0cM

1(、x161(⑹，

=—x(3-l)x—+—xA4+—x1=10

232I3)

，四邊形力打>的面積為10

（3）①不存在正〃0C

?.?若巫〃％則點(diǎn)。，￡應(yīng)分別在線段"，）上，此時(shí)1</<2,在RtZUOC中,

AC=5.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（七，必）.??咪=生丁，.?.聞=12?2DE//OC,

.12/-123.8

?-------=-/??/=一

523

Q

'''/=—>2,不滿足1</<2.

3

:.不存在D￡〃OC.

②根據(jù)題意得。，￡兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為

3上上5=%（秒）

3+411

2

現(xiàn)分情況討論如下:

I3

i）當(dāng)0</Wl時(shí),5=-x-/.4/=3/2;

22

）當(dāng)時(shí),（

ii1</W2設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為x2,y2）

.似5-（4/-4）,.網(wǎng)二36—16/

36-16/12227

—C+—/

555

Hi）當(dāng)2〈/〈—時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為?,“），類似ii可得閃=些言

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（％,九）

??S=S^AOE-S2AOD

36-16/6/-12

-x3x——x3x

2525

3372

一t+一

55

243

③s。

7.關(guān)于x的二次函數(shù)y=+(%2一書*+2%―2以y軸為對(duì)稱軸，且與y軸的交點(diǎn)

在x軸上方.

(1)求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的草圖；

(2)設(shè)％是j，軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)力作48垂直于x軸于點(diǎn)8,再

過點(diǎn)工作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。C垂直于x軸于點(diǎn)C,得到

矩形43("設(shè)矩形/8C。的周長(zhǎng)為/，點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為x,試求/關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式；

⑶當(dāng)點(diǎn)力在y軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形/8C.)能否成為正方形.若能,

請(qǐng)求出此時(shí)正方形的周長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

A一h~

參考資料：拋物線歹+版+CSWO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是一2,竺32、,對(duì)稱軸

、2a4a>

是直線》=-2.

2a

解：(1)據(jù)題意得:r-4=0,

.,.k=+2.

當(dāng)％=2時(shí),2k-2=2>0.

當(dāng)上=一2時(shí)，2左一2=—6<0.

又拋物線與》軸的交點(diǎn)在x軸上方，.?/=2.

???拋物線的解析式為:尸-物+2.

函數(shù)的草圖如圖所示.(只要與坐標(biāo)軸的三個(gè)交

點(diǎn)的位置及圖象大致形狀正確即可)

(2)解：令一/+2=0,得x=±>/2.

2

不0<x<五時(shí)，A{DX-2x,AlBi=-x+2,

=2（44+42）=-2x?++4.

當(dāng)x>及時(shí)，A2D2=2x,

22

A2H2=-(-X+2)=X-2.

2

I=2(A2D2+A2B2)=2X+4X-4.

???/關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是：

當(dāng)0<x<V5時(shí)，/=-2x?+4x+4；

當(dāng)x>&時(shí)，/=2x?+4x-4.

(3)解法一：當(dāng)o<x<e時(shí)，令/由=4/4,

得X?+2x-2=0.

解得x=-l-G(舍)，或X=-1+A/J.

將X=-1+百代入/=-2/+4X+4,

得/=8百-8.

當(dāng)x>&時(shí)，令44=4。2，得》2-2》一2=0.

解得x=1->/3(舍)，或x=l+Vi.

將x=l+V5代入/=2x?+4x-4,得/=8百+8.

綜上，矩形/8C7)能成為正方形，且當(dāng)x=百-1時(shí)正方形的周長(zhǎng)為8百-8；當(dāng)

x=G+l時(shí)，正方形的周長(zhǎng)為8百+8.

解法二：當(dāng)0<x<8時(shí)，同“解法一”可得x=-l+G.

/.正方形的周長(zhǎng)/=44。1=8x=85/3-8.

當(dāng)X>也時(shí)，同“解法一”可得X=1+宕.

正方形的周長(zhǎng)/=44八2=8x=8百+8.

綜上，矩形/灰7)能成為正方形，且當(dāng)x=G-1時(shí)正方形的周長(zhǎng)為8百-8；當(dāng)

x=^+l時(shí)，正方形的周長(zhǎng)為8方+8.

解法三：?.?點(diǎn)4在y軸右側(cè)的拋物線上，

.,.X〉O,且點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(x,-*2+2).

令A(yù)B=AD,貝”一/+2卜2%.

/.-x2+2=2x,.....(D^Jc-x2+2=-2x....②

由①解得x=-l-Vi(舍)，或x=-l+石；

由②解得x=l-6(舍)，或x=l+VJ.

又/=8x,

.?.當(dāng)x=—l+VJ時(shí)/=8百一8；

當(dāng)x=l+百時(shí)/=86+8.

綜上，矩形4灰力能成為正方形，且當(dāng)％=百-1時(shí)正方形的周長(zhǎng)為8&-8;當(dāng)

x=>A+l時(shí)，正方形的周長(zhǎng)為8G+8.

8.已知拋物線xax'+bx+c與x軸交于48兩點(diǎn)，與卜軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)8

在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段08、0C的長(zhǎng)(O8<0C)是方程

10*+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2.

(1)求力、&C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求此拋物線的表達(dá)式；

(3)連接彳C、BC,若點(diǎn)￡是線段四上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)4點(diǎn)8不重合)，

過點(diǎn)日乍小〃4C交8c于點(diǎn)尸，連接宏，設(shè)彳￡的長(zhǎng)為加，△C￡尸的面積為S,求

S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量勿的取值范圍；

(4)在(3)的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大

值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△仇衽的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.

y

8

6

4

2

—8—6—4—2Q24x

第26題圖

解：(1)解方程x?—10X+16=0得x=2,*2=8

???點(diǎn)8在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，目OBVOC

二點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8)

又?..拋物線產(chǎn)=3必+—+。的對(duì)稱軸是直線x=-2

二由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-6,0)

(2)?.?點(diǎn)C(0,8)在拋物線＞=3義+。*+6的圖象上

.?.c=8,將4(-6,0)、B(2,0)代入表達(dá)式，得

0=36a—66+83

解得V

0=4a+2b+88

2Q

，所求拋物線的表達(dá)式為y=--x—~x+3

(3)依題意，AE=m,則BE=8—m,

-：0A=6,0C=8,：.AG=\Q

'：EF//AC:.XBEFsABAC

EFBEEF8-OT

:,甫彘即行=丁

40—5m

:?EF=—;—

4

4

過點(diǎn)廠作用，彳瓦垂足為G,則sinN/TG=sinNOI8=E

□

FG_4440—5/77

￡F=5=8-m

?,S=SABCE—8肝￡=](8—ni)X8—,(8—ni)(8—rn)

111

=-(8-ni)(8-8+m)=-(8—勿)m=+4/w

自變量力的取值范圍是0V/w<8

(4)存在.

111

理由：,「S=-5/+4"=1](/77—4)2+8且一,<0,

二當(dāng)R=4時(shí)，S有最大值，S最大值=8

..”=4,...點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(-2,0)

二△及莖為等腰三角形.

9.(14分)如圖：拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)已知AD=AB(D在線段AC上)，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每

秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段

BC移動(dòng)，經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；

(3)在(2)的情況下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使MQ+MC的值

最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

(注：拋物線歹=辦2+方X+C,的對(duì)稱軸為x=———)

2a

(第26題圖)

(1)解法一：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-4)

因?yàn)锽(0,4)在拋物線上，所以4=a(0+3)(0-4)解得a=-1/3

所以拋物線解析式為y=(*+3)(》一4)=一；》2+；8+4

解法二：設(shè)拋物線的解析式為y=以2+6x+c(。。0),

.__[9a-3/?+4=0.~3

依題忌z侍：c=4且J解得^

16〃+48+4=0,1

ib=—

[3

所以所求的拋物線的解析式為y=—gx2+；x+4

(2)連接DQ,在RtZ\A0B中，AB=y/AO2+BO2=732+42=5

所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7,CD=AC-AD=7-5=2

因?yàn)锽D垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ±BD,所以NPDB=NQDB

因?yàn)锳D=AB,所以NABD=NADB,NABD=NQDB,所以DQ〃AB

所以NCQD=NCBA。NCDQ=NCAB,所以△CDQsACAB

。。CDDQ210

---=---即---=——,=--

ABCA577

10252525

所以AP二AD-DP=AD-DQ=5--=—,/=—-1=—

7777

所以t的值是二25

7

(3)答對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M,使MQ+MC的值最小

理由：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為'=-2=,

2a2

所以A(-3,0),C(4,0)兩點(diǎn)關(guān)于直線x=,對(duì)稱

2

連接AQ交直線x=，于點(diǎn)M,則MQ+MC的值最小

2

過點(diǎn)Q作QE_Lx軸，于E,所以NQED=NB0A=900

D0/7AB,NBA0=NQDE,ADQE^AABO

所以QE=§,DE=-,所以0E=0D+DE=2+-=—,所以Q(型，-)

777777

設(shè)直線AQ的解析式為y=+(〃WO)

8

20,8k=—

WljT7由此得41

-3k+掰=0

x=-

所以直線AQ的解析式為y=+2聯(lián)立2

一x-\---

由此得

—X+一

128

則：在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Ml/,/),使MQ+MC的值最小。

10.如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+/>x+c(a〉o)的圖象的頂

點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)

的坐標(biāo)為(3,0),

0B=0C,tanZAC0=-.

3

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E,在該拋物線上是否存在這樣

的點(diǎn)F,使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與

x軸相切，求該圓半徑的長(zhǎng)度.

(4)如圖10,若點(diǎn)G(2,y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋

物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，4APG的面積最大？求出此時(shí)P

點(diǎn)的坐標(biāo)和4APG的最大面積.

(1)方法一：由已知得：C(0,—3),A(—1,0)?■11分

4-6+c=0

將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得9o+3b+c=0

-3

a=1

解得：，方二-2

c二-3

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-3

方法二：由已知得：C(0,-3),A(-1,0)

設(shè)該表達(dá)式為：y=a(x+l)(x-3)

將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：。=1

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-3

(注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分)

(2)方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3)

理由：易得D(1,-4),所以直線CD的解析式為：y=-x-3

??.E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)

由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE=CF=2,AE/7CF

??.以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

,存在點(diǎn)F,坐標(biāo)為(2,-3)

方法二：易得D(1,-4),所以直線CD的解析式為：)=-*-3

??.E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)

.??以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

.?.F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,