導數(shù)題型五-利用導數(shù)證明不等式

導數(shù)習題題型分類精選題型五利用導數(shù)證明不等式〔學生用〕不等式的證明問題是中學數(shù)學教學的一個難點,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強,多數(shù)學生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導數(shù)證明不等式也時有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法并不了解.利用導數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的根本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡單的不等式。通過作輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)Ｆ〔x〕=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結(jié)為：Ｆ〔x〕≧0(a≦x≦b),這等價于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對Ｆ〔x〕求導，確定F＇(x)在所考慮的區(qū)間上的符號，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)〔主要是單調(diào)性〕，如象例３F＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算Ｆ＇＇〔x〕,直到符號能夠確定為止．注意：作輔助函數(shù)Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要 不拘一格，可對原題作適當變更．不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對原不等式的不同 同解變形．一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:由欲證形式構(gòu)造“形似〞函數(shù)。例如：構(gòu)造出對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四那么運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，那么另一端即為所求作的輔助函數(shù)F〔x〕例如：兩邊可取對數(shù)，變?yōu)榍笞C：令一．構(gòu)造形似函數(shù)型1．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構(gòu)造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過一階求導到達證明目的的不等式。例1．求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除兩邊同除以x得〕〔3〕〔4〕：，求證；〔換元：設〕〔5〕函數(shù)，，證明：穩(wěn)固練習：1.證明時，不等式2.，證明：3.時，求證：綜合應用4.例：〔理做〕設a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕.〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，討論F〔x〕在〔0.＋∞〕內(nèi)的單調(diào)性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2alnx＋1.例2.〔08全國卷22〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：、〔2023全國卷Ⅱ理〕(本小題總分值12分)設函數(shù)有兩個極值點，且〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；II〕證明：例：〔1〕：，求證；〔2〕：，求證：。解：(22)(2023山東理科22題本小題總分值13分)函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設，其中為的導函數(shù).證明：對任意.[來源:解：2023天津理科〔21〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱．證明當x>1時，f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果且證明．解：〔Ⅱ〕證明：〔Ⅲ)證明：〔1〕導數(shù)習題題型分類精選題型五利用導數(shù)證明不等式〔教師用〕不等式的證明問題是中學數(shù)學教學的一個難點,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強,多數(shù)學生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導數(shù)證明不等式也時有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法并不了解.利用導數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的根本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡單的不等式?！惨弧常ㄟ^作輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)Ｆ〔x〕=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結(jié)為：Ｆ〔x〕≧0(a≦x≦b),這等價于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.對Ｆ〔x〕求導，確定F＇(x)在所考慮的區(qū)間上的符號，從而確定Ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)〔主要是單調(diào)性〕，如象例３F＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算Ｆ＇＇〔x〕,直到符號能夠確定為止．注意：作輔助函數(shù)Ｆ(x)不同，確定F＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù)要不拘一格，可對原題作適當變更〔或換元〕．不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對原不等式的不同同解變形．一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:由欲證形式構(gòu)造“形似〞函數(shù)；構(gòu)造出對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四那么運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，那么另一端即為所求作的輔助函數(shù)F〔x〕例如：兩邊可取對數(shù)，變?yōu)榍笞C：令一．構(gòu)造形似函數(shù)型1．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構(gòu)造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過一階求導到達證明目的的不等式。例1．求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除〕〔3〕〔4〕：，求證；〔換元：設〕〔5〕函數(shù)，，證明：解：證：設〔1〕∴為上∴恒成立∴設∴在上∴恒成立〔2〕〔相除〕解〔2〕原式令∴∴∴在上是減函數(shù)。又∴〔3〕解：〔3〕令∴在上是增函數(shù)?！唷?〕：，求證；〔換元：設〕解：〔4〕令，由x>0，∴t>1，〔巧點：巧在換元，降低了做題難度〕原不等式等價于令f(t)=t-1-lnt，∵當時，有，∴函數(shù)f(t)在遞增∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得例5函數(shù)，，證明：證：函數(shù)的定義域為．＝－1＝－當x∈〔－1，0〕時，＞0，當x∈〔0，＋∞〕時，＜0，因此，當時，≤，即≤0∴．令那么＝．∴當x∈〔－1，0〕時，＜0，當x∈〔0，＋∞〕時，＞0．∴當時，≥，即≥0，∴．綜上可知，當時，有．穩(wěn)固練習：1.證明時，不等式2.，證明：3.時，求證：2．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構(gòu)造形如Ｆ〔x〕=f(x)-g(x)的函數(shù)，并通過一階或二階、三階求導到達證明目的的不等式。例3使用了二階求導的方法判出函數(shù)的導數(shù)的導函數(shù)單調(diào)性后再去證明不等式，也凸 顯判斷函數(shù)零點的作用。例3.當時,證明:證:令,那么, 而 當時, 因為在同一坐標系中畫出，的圖像可知，∴在上遞減,即,從而在(0,1)遞減∴f(x)<f(0)=0,從而原不等式得證.Ex:證明:當時,解:注意x=1時,原不等式〞=〞成立,而設：F(x)=, 那么F(1)=0 且，∴F(x)=,在上是增函數(shù)。從而根據(jù)F(1)=0推出與同號，∴方法二 解：欲證當時, 即證時, 設， 即證時，>0 注意到時，那么時，是減函數(shù)是增函數(shù)是減函數(shù)時是減函數(shù)是增函數(shù)∴時是增函數(shù)∴時，∴二．作輔助函數(shù)型：對含有兩個變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個變量為為自變量的 函數(shù)，再采用上述方法證明不等式。使使用用了使用例2.：a、b為實數(shù)，且b＞a＞e,其中e為自然對數(shù)的底，求證：ab＞ba.證法一：∵b＞a＞e,∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,設f(x)=xlna－alnx(x＞e),那么f′(x)=lna－.∵x＞a＞e,∴l(xiāng)na＞1,且＜1,∴f′(x)＞0.∴函數(shù)f(x)=xlna－alnx在(e,+∞)上是增函數(shù)，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.證法二：要證ab＞ba,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,即證,設f(x)=(x＞e)，那么f′(x)=＜0,∴函數(shù)f(x)在(e,+∞)上是減函數(shù)，又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.Ex:假設,證明:解：要證：,需證：,設，那么需證因為∵時，?！嘣谏显谏鲜窃龊瘮?shù)∴∴在上成立練習證明(1)(2)思考：(3),證明,并指出〞=〞成立的條件綜合運用典例精講例1.〔理做〕設a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx〔x>0〕.〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕，討論F〔x〕在〔0.＋∞〕內(nèi)的單調(diào)性并求極值；〔Ⅱ〕求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2alnx＋1.解：〔Ⅰ〕根據(jù)求導法那么有， 故，于是， 列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．〔Ⅱ〕證明：由知，的極小值．于是由上表知，對一切，恒有．從而當時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當時，，即．(利用單調(diào)性證明不等式〕故當時，恒有．例2.〔08全國卷22〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),，令，解得：x=0，當-1<x<0時,,在〔-1，0〕上是增函數(shù)當x>0時,，在〔0，+∞〕上是減函數(shù)當x=0時，f(x)取得最大值，f(x)≤f(0)又f(0)=0，f(x)最大值是0(II)證法一：〔綜合法〕由(I)的結(jié)論知，由題設0<a<b,得a-b<0,因此，所以又〔這一隱性條件的挖掘很重要，一是看學生的轉(zhuǎn)換能力，二是看學生的分析能力，據(jù)需取舍?！?1)(使用了放縮法，放縮的目的要明確。)綜上(II)證法二：作輔助函數(shù)法(構(gòu)造新函數(shù)法)：解：∵，那么，又設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2. 構(gòu)造輔助函數(shù)：設，那么，當0<x<a時，因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)當x>a時，因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù)從而，當x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因為F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即設,那么當x>0時,,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，因為G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即例3.〔2023全國卷Ⅱ理〕(本小題總分值12分)設函數(shù)有兩個極值點，且〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；〔II〕證明：解:〔I〕令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得x⑴當時，在內(nèi)為增函數(shù)；x⑵當時，在內(nèi)為減函數(shù)；o-1x⑶當時，在內(nèi)為增函數(shù)；o-1x〔II〕由〔I〕，〔學習難點，也是考試的區(qū)分點〕y設，那么⑴當時，在單調(diào)遞增；⑵當時，，在單調(diào)遞減。故．例4.〔1〕：，求證；〔2〕：，求證：。解：〔1〕令，由x>0，∴t>1，〔巧點：巧在換元，降低了做題難度〕原不等式等價于令f(t)=t-1-lnt，∵當時，有，∴函數(shù)f(t)在遞增∴f(t)>f(1) 即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0∴綜上得〔2〕由〔1〕令x=1,2,……(n-1)并相加得…即：高考新動態(tài)例1.(2023山東理科22題本小題總分值13分)函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設，其中為的導函數(shù).證明：對任意 .[來源:解：(I)，由，，∴.(II)由(I)知，.設，那么，即在上是減函數(shù)，由知，當時，從而，當時，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當時，≤0＜1+，故只需證明在時成立.當時，＞1，且，∴.設，，那么，當時，，當時，，所以當時，取得最大值.所以.綜上，對任意，.例2.〔2023天津理科21題，本小題總分值14分〕函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱．證明當x>1時， f(x)>g(x)；(Ⅲ)如果且證明．〔21〕本小題主要考查導數(shù)的運算、利