2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)（2019）選擇性第三冊課后習(xí)題：模塊綜合測評 含解析

模塊綜合測評

（時間：120分鐘滿分:150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的8個選項中，只有一項是符合題目要求的。

lo（2020江蘇揚州中學(xué)高二月考）函教/（x）=x（ex—l）+lnx的

圖像在點C1/（1））處的切線方程是（）

A.y=2ex-e-1B.y=2ex-e+l

C.y=2ex+e-1D.y=2ex+e+l

圖司由函數(shù)/(x)=x(e*一l)+lnx,知/(l)=e—1,f(x)=ex—

l+xe%+|,所以k=f'(l)=2e,在點fl,f(1))處的切線方程

是y-(e-l)-2e(x-1),化簡得y=2ex~~e-1o

答案|A

2.12020式邑宏達(dá)學(xué)校高一月考)設(shè)S〃是等差數(shù)列Lani的前

〃項和，若中=*則需=()

u5-L-La9

A.lBo-1C.2D.i

我在等差數(shù)列｛〃〃｝中，嶺=3得*舞上鬻=畀/1,故選A。

-2

答案|A

3。（2020濟(jì)南高三模擬）《張丘建算經(jīng)》舂上第22題為“今

有女善織，日益功疾，初目織五尺，0＜一月日織九匹三丈?！?/p>

其意思為:現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一

天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月(接30天

計算)共織390尺布。此問題中若記該女子一月中的第〃天所

織布的尺數(shù)為?！?，則。14+。17的值為()

A.56B.52C.28D.26

睥司等差數(shù)列的首項0=5,設(shè)公差為力故

S3O=3OQI+誓d=390,解得"二墨故〃I4+〃I7=2QI+29d=26.故選

D.

答案|D

4.(2020元處第一中學(xué)高一期中)已知等差數(shù)列的前〃項

和為S〃,6=2,S7=28,則數(shù)列｛嬴匕｝的前2020項和為()

'2020R2018

?2021*2020

「2018n2019

［。礪2020

博司由題意，設(shè)等差數(shù)列Lanl的公差為d,

則圖冷=2&解得｛建J

二教列［?！ǎ耐椆綖樗?1+(n-1)x1=^,/?EN+o

1_］

為即+1-n(n+l)-

設(shè)數(shù)列｛—H的前'〃項和為Tn，則￡尸，+，+…+，_=6+

7(即。升ygTara2a2a3?！?11x2

為+…+;^=1-卜3+…*-+=1-^1=島?

?..72020二篇。故選A。

答案|A

5.(2020四川北大附中成都為明學(xué)校高二月考)已知函教人力

=/_〃inx+l在(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)Q的取值范圍是

()

A.12,18JBo￡2,18]

C.C-oo,2]U￡18,+oo)D.[2,18)

圖司,.7'(x)=2xq/(x)-x2-a\nx+ly$.(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),

故2x-尸0在C1,3)存在變號零點，即。=212在fl,3)內(nèi)存在

零點，.,.2<〃<18。

答案|A

6.(2020江西石城中學(xué)嵩二月考)已知函數(shù)/(x)=x+sin€

R,若a=f(\o3),b=fClogi2),c=f(2-2),則a,b,c的大小為

gl23

()

Aoa>b>cBob>c>a

Coc>b>aD.b>a>c

解析/(x)=l+cosxN0,所以/(x)是R上的增函數(shù)。

..1ogi3=—Iog23<-log22=一1,0>logi2=一Iog32>-log33=-l,2"

23

2>0,

所以c=/(2》>b=fi\oS12)>a=fC10gl3),故選C.

32

n[n+i

7.數(shù)列]?！ǎ凉M足“i=l,a\+2^2+...+2'an=2an+\(nEN+J,

若0+02+…+?！?lt;根恒成立，則根的最小值為()

Ao4Bo2CoIDo

圖可由ai+2〃2+…+2'1。尸2〃+1?！?1(nEN+J,

可得當(dāng)論2時，由。1+2。2+…+2/2al=2〃?！?，兩式相臧可

得：=vn-^°又。i=l,得。2弓，所以數(shù)列｛?！?的通項公式為

_(l,n=1,

廝飛x-”

所以當(dāng)論2時，+口2+〃3+...+〃“=1+曲詈^=2—?)〃一1<2,且

n=l時,〃i=l<2。

所以實數(shù)機的取值范圍是「2,+8),即根的最小值為2.

答案|B

8.(2019四川成都嵩二期末)已知函教/(x)~~/+2ex-〃(其中

e為《綏對數(shù)的底數(shù))至少存在一個零點，則實數(shù)〃的取值范圍

是()

A.(-8,e?+：)B.(-8,e?+

C.忖1,+8)D.(e2-|,+co)

博司令/(工)=*/+2叱-〃=0,即竽=/一2ex+ao令g(x)

言,/z(x)=x1-2ex+a,

則原問題等價于函數(shù)g(x)二號與函數(shù)Zz(x)-x1-2ex+a

的圖像至少有一個支點。

易知，函數(shù)/z(x)=x2_2ex+〃表示開口向上，對稱軸為x=e

的二次函數(shù)，(x)=4=字.

由g'(x))0,得0<r<e,由g'(x)<0,得x>e。

.：函數(shù)g(x)在CO,e)上單調(diào)遹增，在(e,+8)上單調(diào)遹減,

g(X)max=g(e)=io

作出函數(shù)g(X)與函數(shù)人1)的草圖，如圖所示.

由圖可知，要使得函數(shù)gG)與函數(shù)/z(x)的圖像至少有一

個支點，只需力(x)min<g(x)max,即e?—2e2+6Z<i,解得

^<e2+i.

￥￥]B

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小

題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有

選錯的得。分,部分選對的得3分。

9。(2020南京江宇高級中學(xué)高二期中)已知函數(shù)發(fā)爐行)的導(dǎo)

函教/'(X)的圖像如圖所示,則下列判斷正確的是()

Ao的數(shù)在區(qū)間（3目內(nèi)單調(diào)適增

B.當(dāng)x二一2時，函數(shù)產(chǎn)人工）取得極小值

C.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間>2,2）內(nèi)單調(diào)遹增

Do當(dāng)x=3時，函數(shù)尸火幻有極小值

睥司對于A,函數(shù)y守'G）在區(qū)間（一34）內(nèi)有增有減，故A不正

確；

對于B,當(dāng)x二一2時，函數(shù)y=/（x）取得極小值，故B正確;

對于C,當(dāng)X€（-2,2）時，恒有/'QJ>0,則函數(shù)產(chǎn)/但）

在區(qū)間C—2,2）上單調(diào)遹增，故C正確；

對于D,當(dāng)x-3時/（％）#0,故D不正確。

答案|BC

10o（2020山東高三一模）已知數(shù)列｛〃/的前〃項和為S,

QI=1,S+I=S〃+2Q/+1,數(shù)列^的瑞〃項和為Tn,n€N+,則下列選

項正確的為（）

Ao數(shù)列｛斯+11A等差數(shù)列

B.數(shù)列｛斯+1｝是等比數(shù)列

n

C.數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為an=2—l

D.Tn<i

|解析|由Sa+i=S〃+2a〃+1,得a〃+i=S〃+i-S〃=2a〃+1,

可化為z+i+l=2(an+1)，由=可得數(shù)列［an+l｝

是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

則?！?1=2",即〃〃=2〃-1。

又2n_2"_1__________1_可得T=1____1_++1__

入即％+1一①1)(2"+1-1)-2"-12"+%'」何/〃122.1+22-123-1…2七

白=1一露＜1，故A錯誤,B,C,D正確。

答案|BCD

11.12019遼宇省遼字實驗中學(xué)嵩二期中)已知數(shù)列｛〃/為等差

列，。1=1,且CL2,。4＞。8是一個等比數(shù)列中的相鄰三項，記

a

bn-anq-(＜7知,1),則［bnl的前〃項和可以是C)

A.nBonq

n+1nnn+2n+1n+1

Coq+nq-nq-q。q+nq-nq-q

0(l-q)20(1-q)2

區(qū)照設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為",又。1=1,且。2,14,〃8是一個等比

數(shù)列中的相鄰三項,

...謁二。248,即(QI+3J)2=(QI+J)(a\+7d)，化簡得d(d-

1)=0,所以d=Q或1,

n

故。尸1或斯二4所以bn-q或bn-ri'qo

設(shè)［bn］的前〃項和為Sn,

①當(dāng)bn-q時,S〃二叼；

②當(dāng)b〃二幾,q〃時，

S產(chǎn)1Xq+2xq2+3xq3+…+〃xq〃,qS〃=lx^2+2x^3+3x^4+...+nxqn+

i

2?)n

兩式相減，得(1-q)Sn=q+q+q+...+q一〃xq〃+i=^p—

〃xq〃+i,所以S—q(l-qn)nxqn+1q+nqn+2-nqn上故選BD.

1(1-q)1-q(l-<7)2

答案|BD

12.(2020蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高二月考)已知函教/

x

(x)=e+a\nxf其中正確結(jié)論的是()

A.當(dāng)4=0時，函數(shù)兀￥)有最大值

Bo對于任意的。<0,函數(shù)一定存在最小值

Co對于任意的〃>0,函數(shù)應(yīng)力是(0,+8)上的增函數(shù)

D.對于任意的0,都有函數(shù)?x)>0

解析忖于A,當(dāng)。=0時，函數(shù)/(x)二巴根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可

知，此時汽幻是單調(diào)增函數(shù)，故無最大值，故A錯誤.

對于B,對于任意的〃<0,

/(x)=ex+alnx,

.?/(x)=ex+m，易知八x)是在CO,+ooJ上的單調(diào)增函數(shù).

當(dāng)了一+8時應(yīng)￥)一+8,當(dāng)X一0時，f(X)—?一00,

二存在/'(xo)=0,

當(dāng)Q<x<xo時，f(x)<0,fix)單調(diào)遹減；

當(dāng)XO什8時/'(x))o/(x)單調(diào)適增。

.*.f(X)va\x\—ffxo),B正確.

對于c,對于任意的。>0,

;函數(shù)/(x)

.；/"(x)=e*+E，又Q>0X>0。

可得：ffx)>0,故函數(shù)/G)是(0,+8)上的增函數(shù)。故

C正確。

對于D,對于任意的。>0,

;函教/(x)=ex+alnx是C0,+8)上的增函教，

當(dāng)X—>0時,e“―4,lnx—?-8,可得/(x)--oo,故D錯誤.

故選BCo

答案|BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(2020河南鄭州高二期中)已知Z?為正實數(shù)，直線y=x+a與

曲線y=ex+”相切，則擠的取值范圍是.

x+bx+b

慨析|因為y=ef則y'=eo

由eA+/?=l,得x二一b.

當(dāng)x二一b時，y=l,故切點為f一by1),

將切點代入直線得到l=-b+a^=^-=b+l+2>2囚+2=4,當(dāng)

Z?=l時等號成立。

答案I「4,+8）

14o（2020紹興高級中學(xué)高一月考）已知等差數(shù)列｛〃/的前〃

項和為S〃，且。3=5,QIO=-9,則使S〃取得最大值時的

n-。

圖司丁教列廠。?｝為等差數(shù)列,。3=5,aio=-9,

二數(shù)列｛"〃｝的公差d二牛二一2,

.\ai=a3-2d=9,

.'.Sn=nai+^d=-n2+10n=-（n-5）2+25,

二當(dāng)n=5時,S2取最大值.

￥<]5

15O（2020宜賓敘州區(qū)高二期中）已知等比數(shù)列｛斯了,<22,Q6

是的數(shù)fix）=x3+9x2+l2x+3的兩個極值點，則〃4=.

慨析|因為/（幻=3/+181+12,又。2,"6是函數(shù)fxj的兩個極值

占

則。2,。6是方程3x2+18x+12=0的才艮，

所以〃2〃6二4二W,所以解得04=一2或2。

亙-2或2

16.（2020貴岡中學(xué)第五師分校高二期中）已知的數(shù)》力口在R

上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且關(guān)于原點對稱，其導(dǎo)函教

為八x）,當(dāng)了）0時，有不等式工下⑴〉？狀x）成立.若對任意x€R,

不等式e2y(e%)-a^x2/(ax)>0恒成立，則正整教4的最大值

為.

圖司因為當(dāng)x>0時，有不等式x2f(x)>一2xf(x)成立，所以

x2f(x)+2xfix)>0,.I[x2fix)]>0.

令g(x)=X?(X),所以函教g(X)在<0,+8)上單調(diào)遹增，

由題意得g(-x)^x2fi-x)=-x2f(x)^-g(x),

所以函數(shù)g(x)是奇函教，所以函數(shù)在R上單調(diào)遹增。

因為對任意x€R,不等式e2xf(e")—a2^/(ax)>0恒成立,

所以e2y(eA)>a1x1J[ax),

.\g(ex)>g(ax),.".ex>ax,

因為Q)0,所以當(dāng)后0時，顯然成立。

當(dāng)x)0時,〃<?,令h(x)=三(x>0),

所以層(x)二空棄，所以函數(shù)力㈤在(0,1)上單調(diào)遹減，在

門,+土)上單調(diào)遹增.

所以h(x)min-h(1)=e,所以Qfe,

所以正整教〃的最大值為2o

答案2

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)(2019全國I)記S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的

前'〃項和。已知S9=一Q5.

(1)若〃3=4,求[anJ的通項公式；

(2)若0>0,求使得SZz的〃的取值范圍。

圄(1J設(shè)｛如｝的公差為do

由Sg=一〃5得〃1+4d=0.

由〃3=4得Qi+2d=4。

于是41=8,d--2.

因此]?！ǎ耐椆絡(luò)為?！?10-2幾

(2)由(1)得。1二一4d,故?！?(n一5)d,S〃=電磬.

由。1>0知d<0,故S侖斯等價于n2-lln+10<0,解得l<n<10o

所以n的取值范圍是｛川IS於104WN].

18。(本小題滿分12分)(2020天津南開中學(xué)濱海生志城學(xué)校

嵩二期中)已知函數(shù)/(工)=工3+|依2_^+1￡R).

(1)當(dāng)〃=2時，求曲線在點(1)門浦處的切線方程.

(2)當(dāng)。<0時，設(shè)g(x)=f(x)+Xo

0求函數(shù)g(x)的極值；

②若函數(shù)gG)在fl,2J上的最小值是-9,求實數(shù)〃的值.

阿⑴當(dāng)〃=2時次%)=工3+3/_%+[,f(x)=3x2+6x-l,

.\k^fCl)=8/(1)=4,故切線方程為y—4=8(x—1),即

8x~3；~4=0。

(2J(Dg{x)-f(x)+X-X3+|ox2+1,a<0,

?:令g'(x)=3/+3ax=3xfx+a)=0,得的二。,垃二一a>x\.

陵看x的變化,g(x)和g'(x)的變化如下：

(一(0,(-〃，

X0

00,0)-a)a+oo)

g'(x)+0-0+

極極

g/大\小/

(x)

值值

所以g(x)的極大值是g(0)=1；

極小值為1?(-〃)=噂.

②fx)=3x2+3ax=3x(x+a),

(i)當(dāng)一1%〈0時，g'G)K)在￡1,2］上恒成立,g(x)在

n,2j上單調(diào)遹增，

g(X)min=8(1)=|。+2=—9,〃=卷＜-1(舍去)。

(方)當(dāng)一2＜。＜一1時，則X,g\x),gD的變化如下：

極

g(x)小/

值

g(x)min=g(一二-3+1=9,一V20<-2(舍

(Hl)當(dāng)aS—2時,g(X)在［1,2］內(nèi)單調(diào)遹減,gfx)min=g

(2)=6a+9=一9,a=-3.

綜上可知,。=-3.

19.(本小題滿分12分)(2020宜賓敘州區(qū)第二中學(xué)校離一月考)

設(shè)數(shù)列廠所｝的前〃項和為S”，若對于任意的正整教〃，都有

Sn~2cin—3Ho

(1J設(shè)瓦=a〃+3,求證:數(shù)列［bn｝是等比數(shù)列，并求出｛跖白的通

項O

(2J求教列｛〃〃〃｝的前〃項和.

|解|C1J由題意，教,列Letnl滿足S〃=2a〃—3M,

當(dāng)〃=1時，則〃1=2。1-3,解得。1=3。

當(dāng)論2時，則an=Sn-Sn—\=2an-3n-［2an-i-3(n—1)J，整理得

—1+3,

所以?！?3=2(?！耙?+3),即為=2/?〃一1,即薩=2.

又由%=。1+3=6,所以教列［bnl是首項為6,公比為2的

等比數(shù)列,

所以為=6x2〃/,即z+3=6x2〃L解得z=6x2〃-i-3=3x2〃-

3,

即數(shù),列Ecinl的通.項公1式為Cln—3X2"--3.

（2）由（1），可得〃?！?〃（3x2〃-3）=3〃x2"-3〃，

設(shè)4尸2+2x22+3x23+…+a2",

24=22+2x23+3x24+…+Ol>2〃+a2/i,

所以-An=2+22+23+...+2〃力2什1二空p-a2〃+i=（n—l\2n+l+2,

又由&=3+6+9+…+3〃=誓u吟上

n+1

所以數(shù)列｛nan）的前'〃項和為:Tn=3A〃-Bn=Gn-3J-2+6一

筆坦二（3小3）-2〃+i_3"（九+1）+6.

20。（本小題滿分12分）（2020山東濟(jì)南高三三模）在0

Sn-r^+riy②33+。5=16,53+55=42,^^=嚕，S7=56這三個條件中

任選一個補充在下面的問題中，并加以解答。

設(shè)等差數(shù)列廠斯｝的前〃項和為S小數(shù)列｛狐?為等比數(shù)

列,,b\-a\yZ?2二等。

求教列K+b』的前〃項和Tno

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

卿選0

當(dāng)n-1時,QI=SI=2。

當(dāng)〃之2yCln~Sn—Sn-l~2??o

又幾二1滿足an=2n,

所以〃〃二2〃,S〃二超產(chǎn)二層+〃(nEN+J。

選②

設(shè)公差為d,由。3+。5=165+55=42,

得圖窗梟解電登

所以an-lri.Sn-^Y^-r^+n^n€N+J.

選③

由等1=平，得得若，

所以合？，即an-am,S7=7Q4=28II=56,所以a\-2f所以

111

an-2n,Sn-'^-'n+n(nEN+).

①②③典可求得an=2nfS〃二%如二層+〃(〃€N+)。

設(shè)｛兒｝的公比為q,又因為41=2,6=4,由Z?i=〃i=2,

^O2A

岳二=

得bi=2,q=2,所以b〃=2〃(nEN+),

所以教列｛瓦｝的第'〃項和為罟=2/i—2.

因為力念=；^T5+總

戴列囹的前n項和為1全鴻+...+%擊=1扁,

故￡尸2〃+1-2+1-去=2〃+1—+-1。

(本小題滿分12分)C2020全國〃)已知函數(shù)/(x)=sin2xsin

2x.

(1)討論/QJ在區(qū)間CO,兀)的單調(diào)性；

(2)證明：\f(x)/瑤；

(3)設(shè)〃€N+,證明:sin2xsin22xsin24x...sin22nx<^。

口)甌⑴=cosx(sinxsin2xj+sirL￥

2

(sinxsin2x)-2sinxcosxsin