西北工業(yè)大學(xué)矩陣論課件第五章例題 特征值的估計(jì)與表示

例解

所以又因?yàn)樗怨烙?jì)矩陣的特征值上界。因?yàn)?.50第五章特征值的估計(jì)與表示

§1特征值的界的估計(jì)

實(shí)際計(jì)算可求得A的特征值為估計(jì)的效果較好。由于A是實(shí)矩陣，所以即A的特征值在虛軸上區(qū)間之內(nèi)。G3G1例解

A的四個(gè)蓋爾圓為畫(huà)在復(fù)平面上如圖：于是A的全部特征值在這四個(gè)估計(jì)矩陣的特征值范圍。012-1-2i2i-i-2iG2G4蓋爾圓的并集中?！?特征值的包含區(qū)域

例滿足應(yīng)用Gerschgorin定理證明A的特征值的實(shí)部小于零。證從而由知A的第i個(gè)蓋爾圓在左半平面，故A的特征值的實(shí)部小于零。設(shè)矩陣因?yàn)槔?/p>

A的四個(gè)蓋爾圓為估計(jì)矩陣的特征值范圍。G3G1012-1-2i2i-i-2iG2G4A的四個(gè)列蓋爾圓為畫(huà)在復(fù)平面上如圖：

可見(jiàn)A的四個(gè)特征值位于中，四個(gè)孤立圓盤(pán)且各圓盤(pán)中僅有A的一個(gè)特征值。例

分布范圍，

解

A的三個(gè)蓋爾圓為試估計(jì)矩陣的特征值并適中選擇一組正數(shù)，使A的三個(gè)蓋爾圓互不相交。作圖:G3G2G100.51.0G2取那么B的三個(gè)蓋爾圓為：G3G100.51.0綜合考慮知，中各有A的一個(gè)特征值。在G2G3G1例

解

A的三個(gè)蓋爾圓為：取那么試別離矩陣的特征值。039i作圖：中各有A的一個(gè)特征值。綜合考慮知，在G1，B的三個(gè)蓋爾圓為：G2G3G1039i作圖：G1G4G2例

的特征值(要求畫(huà)圖表示)，A的四個(gè)蓋爾圓為應(yīng)用蓋爾定理隔離并利用實(shí)矩陣特征值解的性質(zhì)改進(jìn)所得結(jié)果。作圖：0310-2G3取那么B的四個(gè)蓋爾圓為作圖：G1G4G20310-2G3故在中各有A的一個(gè)特征值。于是在區(qū)間中各有A的一個(gè)特征值。G2G1G3例

并在復(fù)平面上畫(huà)圖。A的三個(gè)蓋爾圓為：試別離矩陣的特征值，解作圖：應(yīng)取但G1與G2靠太近，無(wú)法分。01020G1例

并在復(fù)平面上畫(huà)圖。試別離矩陣的特征值，解AT的三個(gè)蓋爾圓為：作圖：G2G301020取那么B的三個(gè)蓋爾圓為：作圖：G1G2G301020它們已別離，中各有A的一個(gè)特征值。故在例解A的三個(gè)蓋爾圓為隔離矩陣的特征值(要求畫(huà)圖表示)。作圖：01020取令那么B的三個(gè)蓋爾圓為作圖：01020在中各有A的一個(gè)特征值。G1G2G3例

的特征值A(chǔ)的三個(gè)蓋爾圓為：試估計(jì)矩陣分布區(qū)域。解作圖：0123而A的三個(gè)Ostrowski圓為〔取G1G2作圖：0123O3G3O1O2G1G2例

的特征值分布區(qū)域。A的兩個(gè)蓋爾圓為：試估計(jì)矩陣解00.51.0作圖：A的一個(gè)Cassini卵形為：令那么由得Cassini卵形線其中心在左端點(diǎn)右端點(diǎn)最高點(diǎn)最低點(diǎn)可見(jiàn)結(jié)果較為精確，的標(biāo)準(zhǔn)方程不過(guò)Cassini卵形線比較難畫(huà)。作圖：G1G200.51.0例的奇異值為又設(shè)那么分析設(shè)的特征值為故§3實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的表示

例

其中求解廣義特征值問(wèn)題解

§4廣義特征值問(wèn)題

廣義特征值為求解得對(duì)應(yīng)的廣義特征向量為求解得對(duì)應(yīng)的廣義特征全部廣義特征向量為全部廣義特征向量為向量為例

求B-正交矩陣Q使得解

廣義特征