2023寧德一中期考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2023寧德一中期考工答案』及評分標(biāo)準(zhǔn)

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.已知z-(l+i)=4,則z的虛部為()

A.-2B.2C.-2iD.2i

K樣解】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算運算求解.

K詳析1因為z-(l+i)=4,所以z=±=2-2i,所以z的虛部為一2.

故選:A

2.設(shè)全集U是實數(shù)集R,M={x\x>3},N={x|24x45}都是U的子集(如圖所示),

則陰影部分所表示的集合為()

A.{x[2<x<3}B.1x|2<x<31

C.{x|2<x<31D.1x|2<x<5}

B

K祥解】題圖中陰影部分表示集合NC(Q,M),即可求

K詳析】題圖中陰影部分表示集合NC(QW)={X|24X45}C{X|X<3}={X[24X<3}.

故選：B

711

、門.乃_.tan---1-------=

3.設(shè)sin==/n,則10*71

5tan—

10

12

A.21TlB.—C.—D.tri

mm

K答案1c

4.中國空間站(C/zi〃aSpaceS/a"。")的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實

驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一

個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“廠字形

架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設(shè)

高考模擬試題

中國空間站要安排甲、乙等5名航天員進艙開展實驗，其中“天和核心艙“安排2人，“問

天實驗艙''安排2人,“夢天實驗艙”安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，

則不同的安排方案共有（）

A.9種B.24種C.26種D.30種

■答案』B

K祥解】先利用分組與分配的求法求得5名航天員共有30種不同的安排方案，再利用

分類加法計數(shù)原理求得甲、乙兩人在同一個艙內(nèi)有6種不同的安排方案，從而利用間接

法即可得解.

K詳析》依題意，先從5名航天員中安排1人到“夢天實驗艙”，則有C；=5種安排方

案，

￡1

再將剩下的4人分成兩組，每組2人，則有*=—=3種安排方案,

A22

接著將這兩組分配到“天和核心艙”與“問天實驗艙“，有A；=2種安排方案，

所以這5名航天員的安排方案共有5x3x2=30種，

其中甲、乙兩人同在“天和核心艙”內(nèi)的安排方案有C；C；=3種，同在“問天實驗艙”內(nèi)的

安排方案有C；C；=3種，

即甲、乙兩人在同一個艙內(nèi)做實驗的安排方案有3+3=6種，

所以甲、乙兩人不在同一個艙內(nèi)做實驗的安排方案有30-6=24種.

故選：B.

5.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且滿足5,“+$,,=$“+“，若4=2,貝）

A.2B.4C.20D.40

K答案』A

6.如圖所示，位于信江河畔的上饒大橋形如船帆，寓意揚帆起航，建成的上饒大橋?qū)?/p>

上饒市實施“大品牌、大產(chǎn)業(yè)、大發(fā)展”的戰(zhàn)略產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響.上饒大橋的橋型為自錨式獨

塔空間主纜懸索橋，其主纜在重力作用下自然形成的曲線稱為懸鏈線.一般地，懸鏈線

XX

的函數(shù)K解析2式為〃司=巴金（。＞0），則下列關(guān)于/（力的說法正確的是（）

2

A.3?>0,/(x)為奇函數(shù)

B.Va>0,/(x)有最小值1

C.3a>0,/(x)在(—,0)上單調(diào)遞增

D.V?>0,〃可在(0,+紇)上單調(diào)遞增

K答案』D

K祥解U運用奇偶函數(shù)的定義易知，為偶函數(shù)，運用基本不等式可求得最小值:

單調(diào)性可以從符合函數(shù)的角度進行驗證.

-X-XXX

R詳析』V〃〉0,“小二⑺,A錯誤；

v7la2a''

X_xlx_x

，小e"+e=2A/e”e:1,B錯誤；.

"卜2a"■2a~a

令/(x)=y=—,u=t+-,t=e'',w=—

V72ata

當(dāng)X?0,+8),對每層函數(shù)的單調(diào)性進行判斷后，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷原則易知:

/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故D對；

函數(shù)為偶函數(shù)，則在(-8,0)為單調(diào)遞減，故C錯；

故選：D

7.已知拋物線C:y?=4x的焦點為EN為C上一點，且N在第一象限，直線月V與C的

準(zhǔn)線交于點M,過點M且與x軸平行的直線與C交于點P,若|MN|=2|NF|,則

ZWR的面積為()

A.8B.12C.4>/3D.4瓜

K答案』C

K祥解R過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,準(zhǔn)線與X軸交于點E,進而根據(jù)幾何關(guān)系得

■為等邊三角形，|河目=3|收|=4,再計算面積即可.

高考模擬試題

K詳析力解：如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,準(zhǔn)線與X軸交于點E,

所以，|NF|=|N@,|防|=2.

因為AMQNS&MEF,

所嚼惴惴4例小g網(wǎng)邱代.

IEFI1

所以cosNMFE=j^=],NMFE=&)o=NPMF.

又因為|PM|=|PF|,

所以/P/W=NPA小=60。，所以△MPF為等邊三角形，

所以以的=￥|例尸『=46

若河在第三象限，結(jié)果相同.

的取值范圍為()

<161I「91)

A?1彳刻B.[丁如

K答案》D

K祥解】轉(zhuǎn)化原不等式為e2(x-2)2>a(x-l)-e1由此構(gòu)造函數(shù)，對〃進行分類討論,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)，通過研究x=3,4,5時的函數(shù)值來確定。的取值范圍.

4

K詳析》依題意,關(guān)于x的不等式。-l<0的解集中有且僅有兩個大于2的

(>2)2

整數(shù),

即e2(x-2『>a(x-l)?e'的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù),

構(gòu)造函數(shù)/(x)=e2(x-2)2,g(x)=a(xT>e*，

即/(x)〉g(x)的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù),

當(dāng)aVO時，對于Vx>2,/(x)>0,g(x)<0,

即/(x)>g(x)的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，不符合題意.

所以a>0.

〃2)=0,屋2)=商>0,〃2)<g(2).

2

若〃3)4g⑶，^e<2ae\a>^,

/z(x)=f(x)-g(x)=e2(x-2)2-a(x-1)-ev(x>4),

"(x)=2e?(x-2)-arev<2e2(x-2)-:^--(x>4),

設(shè)=2e2(x-2)-^-(x>3),

加(x)=2e…x；；)er,

加(x)在[3,同上遞減,且加⑶=2e2-2e2=O,

所以當(dāng)x24時，加(x)<0,遞減，

4e4

由于機(4)=4/--^―=4e2-2e3=2e2(2-e)<0,

所以當(dāng)x“時，似(x)<0,

所以當(dāng)x“時，"(x)<0,〃(x)遞減，

所以〃(x)</i(4)=4e2-3ae4<4e2-^|-=e:(4-與)<0,

所以當(dāng)x"時:〃x)<g(x)恒成立，

即/(x)>g(“)的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，不符合題意.

〃3)>g(3)[e2>2ae3

所以/(4)>g(4),即卜e2>3ae4

y(5)<^(5)9e2<4ae5

高考模擬試題

94

解得,所以〃的取值范圍是

故選：D

K『點石成金』U利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一次求導(dǎo)無法解決時，可以利用多次

求導(dǎo)的方法來解決.在此過程中，要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系.

二、多選題

9.下圖為2022年8月5日通報的14天內(nèi)31省區(qū)市疫情趨勢，則下列說法正確的是（）

A.無癥狀感染者的極差大于400B.確診病例的方差大于無癥狀感染者的

方差

C.實際新增感染者的平均數(shù)小于389D.實際新增感染者的第80百分位數(shù)為

641

K答案UAD

R祥解】觀察圖表，逐一運算驗證即可.

K詳析》由圖表知無癥狀感染者的極差大于400,故A正確；

由圖表知無癥狀感染者的波動幅度明顯大于確診病例的波動幅度，

故B錯誤；

由圖表數(shù)據(jù)計算實際新增感染者的平均數(shù)為471.2,故C錯誤；

14x0.8=11.2,故實際新增感染者的第80百分位數(shù)為641,故D正確.

故選：AD.

6

10.已知函數(shù)/（x）=4：05（5+8）（4>0,。>0,0<*<兀）在》=|^處取得極小值一2,與

此極小值點最近的外力圖象的一個對稱中心為（看，0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃x）=2cos（2x+[B.將y=2sin2x的圖象向左平移整個單

位長度即可得到“X）的圖象

C.〃x）在區(qū)間（0,今|上單調(diào)遞減D.〃x）在區(qū)間0卷）上的值域為

[-2,可

K答案》ACD

K祥解？利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)以及圖象的平移變換即可一一判斷求解.

K詳析》第一步：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出A,。，*的值，判斷A選項

A選項：由題知，A=2,

設(shè)〃x）的最小正周期為T,

則4=???7=兀=",0=2.（三角函數(shù)圖象的相鄰對稱中心與對稱軸之

41264a）

間的距離為《，其中T為該三角函數(shù)的最小正周期）

4

JT

得S=1+2E(A:GZ),(整體思想)

7T

又0<。<兀，：.（p=-,

6

"（x）=2cos（2x+聿）=2sin（2x+/）,故A正確；

第二步：利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則判斷B選項

B選項：/（"的圖象可以由y=2sin2x的圖象向左平移3個單位長度得到,

故B錯誤；

第三步：利用整體思想及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷C,D選項

C選項：由0<x<9導(dǎo)3<2x+g<學(xué)，則〃x）在區(qū)間卜"上單調(diào)遞減，

3666I

故C正確；

D選項：???034，F(xiàn)+SETc71),5/3

.二COS2.XH-----G—1,----------

I6j2

高考模擬試題

2cos^2x+—G2,-^3J,

??./（X）在區(qū)間0,9上的值域為［-2,6］,故D正確.

故選:ACD.

11.如圖，在多面體ABCDES中，SA_L平面ABCD,四邊形ABCO是正方形，且DE//SA,

SA=AB=2DE,M,N分別是線段8C,S8的中點，Q是線段0c上的一個動點（含端

B.存在點。，使得異面直線N。與曲所成的角為60

C.三棱錐體積的最大值是:

D.當(dāng)點。自。向C處運動時，直線0c與平面所成的角逐漸增大

K答案》ACD

K樣解】以A為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（加,2,0）（04加42）,根據(jù)向量

垂直的坐標(biāo)表示和異面直線所成角的向量求法可確定，"是否有解，從而知AB正誤；利

用體積橋可知%設(shè)。。=〃?（04%42）,可求得S八的的最大值，由此可

求得體積的最大值，知C錯誤；利用向量法求二面角余弦關(guān)于參數(shù)機的表達(dá)式，結(jié)合

二次函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷二面角的變化情況，判斷D.

K詳析］以A為坐標(biāo)原點，A8,AD,4s正方向為％y,z軸，可建立如圖所示空間直角

坐標(biāo)系,

z”

設(shè)DE=1,則SA=AB=2；

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,E（0,2,1）,S（0,0,2）,N（l,0,1）,M（2,1,0）；

8

對于A,假設(shè)存在點。（利,2,0）（04mW2）,使得NQ_LSB,

則NQ=（機一1,2,-1）,又S3=（2,0,-2）,

:.NQSB=2（m--［）+2=0,解得：m=0,

即點Q與。重合時，NQ1SB,A正確：

對于B,假設(shè)存在點。（加,2,0）（04〃?42）,使得異面直線NQ與弘所成的角為60，

NQ=（m-1,2,-\）,&4=（0,0,-2）,

I?|NQ-SA|11

.MS＜N°'SA＞卜網(wǎng)網(wǎng);行聲=5,方程無解；

不存在點。，使得異面直線N。與必所成的角為60，B錯誤;

對于C,連接AQ,AM,AN；

設(shè)DQ=/n(0<in<2),

m

SAMQ~SABCD-SABM—SQCM_SADQ=2—-,

???當(dāng)機=0,即點。與點。重合時，SAM。取得最大值2;

又點N到平面AMQ的距離d=4SA=1,

2

[X2X1=2,

二(%-刖，)3=(%AMo)1rax=35C正確；

對于D,由上分析知：NQ=(〃L1,2,—1),NM=Q,1,-1),

m?NQ=(機一l)x+2y-z=0

若機=（x,y,z）是面NMQ的法向量，則＜

NM=x+y-z=0

令％=1,貝！Jm=，

\\\.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且〃x)+g(l—x)=3,g(x)+/(x—3)=3.若

y=g（x）的圖象關(guān)于點（L0）對稱，則（）

高考模擬試題

A./(-x)=-/(x)B.g(—x)=g(x)

20222020

C.E/(Z)=6O66D.￡g(A)=0

*=lk=\

R答案』BD

R祥解1對A選項從函數(shù)關(guān)于點對稱得到；對B選項，通過賦值，得到“X)的其中

一個周期為4,對C選項進行求和得到值與/⑴值相關(guān)；對D由前面知道其一個周期

為4,通過計算得到其每四個數(shù)值和為0,最后得到2020組數(shù)據(jù)和也為0.

K詳析]因為y=g(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以g(l-x)+g(l+x)=0,

g(x)的定義域均為R,故g(l)=0,由f(x)+g(I)=3,得f(-x)+g(l+x)=3,所

以.f(x)+/(-x)=6,故A錯誤；

令x=0得，"0)=3,因為g(x)+/(x-3)=3,

所以g(x+l)+〃x—2)=3與f(x)+g(l-x)=3聯(lián)立得，

/(x)+/(x-2)=6,貝4(x-2)+〃I)=6,

所以f(x)=〃x—4),即的其中一個周期為4,

因為g(x)+/(*-3)=3,所以g(x+4)+/(x+l)=3.

即g(x+4)=g(x),所以g(x)的其中一個周期也為4,

由g(x)+f(x-3)=3,得g(x-l)+/(x-4)=3,

與f(x)+g(l-x)=3聯(lián)立，得g(x-l)=g(l-x),

即g(x)=g(-x).所以B正確;

由〃x)+/(x—2)=6,得/⑴+"3)=6,但/1⑴與"3)的值不確定,

又/(0)=3,42)=3,

2022

所以27(%)=/(D+/(2)+505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=6063+/(I)

hl

故C錯誤；

由g(x)+/(x-3)=3,得g(3)+f(0)=3,所以g(3)=0,

又〃—l)+g⑵=3,/⑴+g(4)=3,

10

2020

兩式相加得，g⑵+g(4)=o,所以⑷=0=505［g⑴+g(2)+g⑶+g(4)］=0,

Jt=l

故D正確，

故選：BD.

K『點石成金崎抽象函數(shù)的對稱性、周期性、奇偶性綜合的問題難度較大，不易推導(dǎo)求

解，平時要多去推導(dǎo)練習(xí).

第H卷(非選擇題)

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三、填空題

13.已知向量a=(3,4),b=(l,0),c=。+力，若<a,c>,貝打=.

K答案』5

K祥解》利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

K詳析】解：c=(3+r,4),cos(t7,c)=cos(/7,c),g|J—而j—=可，解得r=5,

14.某地區(qū)調(diào)研考試數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(95,CT2),且P(X<70)=0.15,從該地

區(qū)參加調(diào)研考試的所有學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，記成績在［70,120］的人數(shù)

為隨機變量3貝母的方差為.

K答案』2.1

K祥解】利用正態(tài)分布的對稱性，求得每個人的數(shù)學(xué)成績在［70,120］的概率

2704X4120),又所有學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，記成績在［70,120］的人

數(shù)為隨機變量J~5(10,0.7),利用二項分布的方差公式求解即可.

K詳析』解：由正態(tài)分布知，均值〃=95,且P(X<70)=0.15,所以P(X>120)=0.15

每個人的數(shù)學(xué)成績在［70,120］的概率為/5(704*412())=2、(0.5-0.15)=0.7,所以10

名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在［70,120］的人數(shù)J~8(10,0.7),所以。0=10x0.7x0.3=2.1.

故K答案》為：2.1.

15.設(shè)點A(-2,3),8(0,a),若直線AB關(guān)于V=。對稱的直線與圓(x+3產(chǎn)+(y+2了=1有

公共點，則〃的取值范圍是.

'13'

K答案1

K祥解？首先求出點A關(guān)于V=。對稱點4的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心

高考模擬試題

到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

R詳析』解:A（-2,3）關(guān)于y=a對稱的點的坐標(biāo)為A（-2,2°-3）,8（0,a）在直線產(chǎn)。

上，

所以所在直線即為直線/,所以直線/為y=+即（a-3）x+2y—2a=0；

一2

圓C:（x+3y+（y+2）z=l,圓心C（-3,-2）,半徑廠=1,

|-3（?-3）-4-2a|

依題意圓心到直線/的距離d=?「W1,

BP（5-5a）2＜（a-3）2+22,解得即ae；,|；

-13'

故K答案』為：

16.已知雙曲線E：=力＞0）斜率為的直線與E的左右兩支分別交于

A,B兩點,P點的坐標(biāo)為（-1,2）,直線轉(zhuǎn)交E于另一點C，直線交E于另一點。，

如圖1.若直線CO的斜率為則E的離心率為________.

8

K祥解］設(shè)A（和苗）,8（物力），，線段AB的中點”（山，為），代入雙曲線的方程中可得

用弁-1

,兩式相減得21二&=一（，可得加=—警①，設(shè)C5,%），"%%）,

XX

X2y2\~25礦

了一方

線段CD的中點N（XN，%）,同理得丫=一空.4②，由原8=%m，得P，M，N三點共

礦

線，從而求得4c2=5/,由此可求得雙曲線的離心率.

K詳析』設(shè)A(x”兇),B(x2,y2),,線段AB的中點M(xM,yM),

代工1

":b\，兩式相減得正匹=4?五巴=4?a=-：

則

x；y；_X\fa-yx+y2cryM8

篇一齊

所以”①

QR2

設(shè)CG，%）,￡＞（%%）,線段CD的中點N（/，w）,同理得用=一咚.4②,

因為勤=府》，所以A8//CD,則P,M,N三點共線,

8b2c8b2c

2V2

所以工匚1=曳',將①②代入得:2人M42人N4日n

a_a,即

%+1鳳+1

%+1心+1

12

）.（r）=o,

2

所以『=g=4（?-a）,即4c2=5a2，

17.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1，%=5,｛“用一24,｝是公差為1的等差數(shù)列.

⑴證明：｛q+〃｝是等比數(shù)列；

⑵求｛q｝的前”項和S,.

［［答案』⑴K答案』見K解析』

(2)5.=2'm_"-+；+4,〃eN*.

Cl.+/?+1

K祥解】對于(1),證明3-----------=常數(shù)即可;

an+n

對于(2),由(1)可知/=2〃-〃，后可求得S〃.

K詳析］(1)根據(jù)題意有出-2津+1=%-2a2,

即a,-2+1=5—2。2,%=2,

所以4向一2?！?（%-24）+〃-1=〃-1,.......................................................3分

故。向+"+1=2（4,+〃），

所以｛4+〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列..............................5分

（2）由（1）可知，a,,+〃=（4+l）x2"T=2",.......................................................6分

所以4,=2"-",所以

高考模擬試題

S?=(2+22++2")-(1+2++n).............................................................7分

=227〃(〃+1)=2,川2"(〃+l)=2向/+〃+4,其中

2-1222

N”?.............................................................10分

TT

18.在①c=12；②asin8=/>cos(A-w)這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充到

6

下面的橫線上，并給出解答。

問題：已知a,4c分別為一ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，。是AC邊的中點，a=BD=4>/7,

且______。

求人的值；(2)若D3AC的平分線交BC于點E，求線段AE的長。

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

R答案』(1)^=8

5

K祥解1(1)選①,在和ABCD中，應(yīng)用余弦定理，由COSZADB+cosZCDB=0,

求得結(jié)論：

選②，由正弦定理化邊為角，求得A角，然后設(shè)/?=2x,。=兒在ABC和中

對A角應(yīng)用余弦定理列方程組求解；

(2)由+求得AE,再由角平分線定理求得BE后可得三角形周長.

K詳析1(1)解：選擇①：設(shè)b=2x,則AZ)=OC=x,

在公ABD中，

f+U2-144_F-32

cosZADB=2分

8缶-8幣x

■)

*2+112-112X"

在△BCD中,cosNCDB=3分

8缶一8缶

*.?ZADB+/CDB=it,cosZADB+cosZCDB=0,

x2-32x2

即--f=—+―,所以1=4,故。=8.............6分

8V7x8V7x

選擇②：由正弦定理得，sinAsinB=sinBcos^

,/.sinB>0,sinA=cos^A-^,

即sinA=3cosA+』sinA,于是tanA=百，***

22

14

A=?,............................3分

設(shè)6=2x,c=y,

r2+V2-1121

在△ABD中，cosA=:---------=-,BPx2+y2-xy=\\2(i),

2xy2

4r2+v2-1121

在.ABC中，cosA=-——:------=-,i\14x2+y2-2xy=112(ii),

4xy2

聯(lián)立⑴(ii)解得，x=4,y=12,即c=12,6=8..............................6

分

(2)解：由題意得，SABE+SACE=§ABC，

—x12xAExsin30+—x8xAExsin30=—xl2x8xsin60,

222

246.............................

AE=......120分

5

19.如圖①在平行四邊形ABCD中，AELDC,AO=4,AB=3,ZADE=60°,^VADE

沿AE折起，使平面4比，平面ABCE,得到圖②所示幾何體.

⑵在線段DB上，是否存在一點M,使得平面MAC與平面ABCE所成銳二面角的余弦

值為空，如果存在，求出誓的值，如果不存在，說明理由.

5DB

K答案［(1)竽

(2)存在；g

K祥解1(1)先證明平面43CE,然后根據(jù)錐體體積公式求得與_ABC￡.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面MAC與平面ABCE所成銳二面角求得〃點的位

置，再利用向量法求得直線EM與平面MAC所成角的正弦值.

K詳析FQ)由圖①知，AE_LQC,所以CE_LA￡,在VADE中，因為AD=4,ZA￡>F=60o,

可得AE=2b，DE=2,所以EC=1...............................1分

由圖②知，平面4)E_L平面MCE,DEu平面ADE,平面AOE，「平面ASCE=,

高考模擬試題

因為￡)E_LAE,所以￡)￡_/,平面ABCE,3分

因為M為BD的中點,

所以

^M-ABCE~5%-ABCE=5X§XSABCEXDE=%X,X(1+3)X26X2=3~

（2）由（1）知EA,EC,ED三者兩兩垂直，以點E為原點，

E4，EC，E￡）的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

則E（0,0,0）,0（0,0,2）,C（0,l,0）,A（2^,0,0）,8（233,0）,￡>B=（2^,3-2）,

71C=(-2>/3,l,0),

設(shè)0M=408=(2后,34-24),O<Z<1,

EM=￡力+OM=(0,0,2)+(2643/1,-22)=(2石彳,3/1,2-2/1),

g|JM(2^2,32,2-22),

所以CM=(2?l,34-1,2-22),

設(shè)平面ACM的法向量為〃?=(x,y,z),

m-AC=0-2\/3x+y=0

所以，貝1J廠;、/、，

m-CM=0[2V3/lx+(3A-l)y+(2-2A)z=0

,〃rz4&-⑸八

令x=l,得〃?=1,2"--；~--).................................9分

k-)

設(shè)平面ABCE的法向量為n=(0,0,1),

所以

4A/32-V3

2A/3

cos(/n,/?10分

1+12+f4^-73?

解得此時空■的值為《

12分

2DB2

16

20.甲、乙兩地教育部門到某師范大學(xué)實施“優(yōu)才招聘計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆

試，面試，模擬課堂考核這3項程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項程序分別由

3個考核組獨立依次考核，當(dāng)3項程序均通過后即可簽約.去年，該校數(shù)學(xué)系130名畢

業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”的具體情況如下表(不存在通過3項程序考核

放棄簽約的情況).

性別人數(shù)參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)

男生4515

女生6010

今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明準(zhǔn)備參加兩地的“優(yōu)才招聘計劃”，假定他參加各程序的

結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計：小明通過甲地的每項程序的概率均

為通過乙地的各項程序的概率依次為:，|,m,其中0<mVl.

(1)判斷是否有90%的把握認(rèn)為這130名畢業(yè)生去年參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”

能否簽約與性別有關(guān)；

(2)若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事件A,B,他通過甲、乙兩地的程序的項數(shù)分

別記為X,Y.當(dāng)E(X)>E(Y)時，證明：P(A)>P(B).

參考公式與臨界值表：.=(〃+4;爍?)("“)，-a+b+c+d.

尸(/女)0.100.050.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

K答案2(1)沒有90%的把握認(rèn)為去年該校130名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)

高考模擬試題

才招聘計戈能否簽約與性別有關(guān)

⑵證明見K解析》

n(ad-be1

K祥解》(1)依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入/=求出后參考臨

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

界值表.

(2)分別列出小明參加甲乙程序的分布列，算出E(X)與E(Y),通過E(X)>E(Y)

即可證明：P(A)>P(B).

K詳析U⑴因為八一［一=130x(45x10-60x15)-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x70x105x25

117

=—?2.388<2.706,.............................4分

49

且P(/22.706)=0.10,

所以沒有90%的把握認(rèn)為去年該校130名數(shù)學(xué)系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計

劃”能否簽約與性別有關(guān)...............................5分

(2)因為小明參加各程序的結(jié)果相互不影響，

所以則E(x)=3x』=g...............................6分

k2)22

Y的可能取值為0,1,2,3.

z224(1—ni)

P(VY=0)=-x—(1-m)=------,

3515

…1、12”、23“、228—4m

P(Y=1)=—x—(l—機)+—X_(l—"7)+—X—機=-----,

35353515

八八7八、13八.12233+5m

r(Y=2)=-x—(1-機)+—x—m+—x—"?=-----,

35353515

p(y=3)=-x-；=—.

35n5

隨機變量Y的分布列：

Y0123

4(1-/w)8-4/H3+5//1tn

P

151515~5

............................9分

「八八八4(l—/n),8—4m_3+5m_m14

E(y)=0x-^-----4-lx-----+2x------+3x—=—+m.

151515515

31417

因為E(X)>E(Y),所以一>---,即0<相<—,

21530

18

/、33—xx

所以尸(A)_p(B)=P(X=3)_P(y=3)=j』］=-----30J^_>0'>

0540401200

所以P(A)>P(B)............................12分

22

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:=+4=l("匕>0)的焦距與短軸長相等,

crb~

且過焦點垂直于X軸的弦長為2vL

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點M(虛,0)的直線/與橢圓C交于A,B兩點，點P為直線x=4&上(不在x軸

上)的一動點.

①|(zhì)AB|=O叵，求直線AB的方程；

3

②設(shè)直線PA,PB,PM的斜率分別為心區(qū)人，試探究：是否存在常數(shù)使得

匕+自=2匕恒成立？若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

22

R答案』(1)二+2L=1；(2)①y=±。一&)；②存在，2=2.

84

K祥解1(1)由題意布列關(guān)于a,b,c的方程組，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)①由弦長I481的值求出直線AB的斜率；②分直線AB的斜率存在和不存在兩種情

況，設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出直線外，PB,的

斜率，由勺+&=幾七可得4的值.

c=b

2方2

1詳析［(1)由題意可得產(chǎn)=2&,解得：/=8,6=4,

a

b-

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)形式：1+==1；..........................3分

84

(2)(1)直線AB斜率不存在時，顯然不符合題意，

設(shè)直線AB的方程為y=k(x-嗎

高考模擬試題

，）="（"一⑹=*2+2公（12_2反+2）=8

x2+2y2=8

（1+2公卜2-40公工+442_8=04=32/—16（1+2用伏2_2）=16（3公+2）.................

....................................4分

卜中=迎............................6分

11i+2k23

=（13/+8）,2_］）=0,

:.k=±1>

所以直線AB的方程為y=±（x_&）；..........................................................7分

（2）（i）當(dāng)AB斜率不存在時，設(shè)4（&,-仃）,8（虎,6）,河（夜,0）

【ir-t、n.c///T\.〃？+j3m-\j32m.m

此口寸設(shè)尸（4J2,"?）,k、+k2=—'—3^/^=

,,2m.m

k、+=Ak^—f==A,—產(chǎn),

-3N/2372

A=2；.........................................................8分

（ii）當(dāng)AB斜率存在時，設(shè)直線A8的方程為丫=4（*-&），4（芭,X），8（*2，當(dāng)）

由（1）知,）=*（*-五）=（1+2公）工2-40%2》+4%2-8=0

f+2y2=8'7

y,-m當(dāng)一加［左（4_&）_"］（/_4&）+［（1（々一夜）一切］（看一4夜）

1+2—…&+x,-4>/2-1_4?0-4a）

2煙工2—（5血左+〃7）（玉+工2）+16%+80"2

=-----------------------J-........................................］0分

xxx2-4v2（x1+々）+32

=2ke::2/-3瘋+加）:+16憶+8鬲_［2向/+8鬲=也

,"叫&.里+/36儲+24丁

1+2公1+2公

*1mV2-tn._

FfU《