小五奧數(shù)第26講-行程問題(三)

第26講行程問題〔三〕在行程問題中，經(jīng)常會(huì)碰到相遇問題、追及問題、時(shí)間路程速度的關(guān)系問題等交織在一起的綜合問題，這類問題難度較大，往往需要畫圖幫助搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，并把綜合問題分解成幾個(gè)單一問題，然后逐次求解。例1兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時(shí)出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時(shí)他們距十字路口多少米？分析與解：如左下列圖所示，出發(fā)12分鐘后，甲由A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，乙由O點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，且OB=OC。如果乙改為向南走，那么這個(gè)條件相當(dāng)于“兩人相距1800米，12分鐘相遇〞的相遇問題，所以每分鐘兩人一共行1800÷12=150〔米〕。如右上圖所示，出發(fā)75分鐘后，甲由A點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)，乙由O點(diǎn)到達(dá)F點(diǎn)，且OE=OF。如果乙改為向北走，那么這個(gè)條件相當(dāng)于“兩人相距1800米，75分鐘后甲追上乙〞的追及問題，所以每分鐘兩人行走的路程差是1800÷75=24〔米〕。再由和差問題，可求出乙每分鐘行〔150-24〕÷2=63〔米〕，出發(fā)后75分鐘距十字路口63×75=4725〔米〕。例2小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí)、48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？分析與解：如下列圖所示，面包車與小轎車在A點(diǎn)相遇，此時(shí)大客車到達(dá)B點(diǎn)，大客車與面包車行BA這段路程共需30分鐘。由大客車與面包車的相遇問題知BA=〔48+42〕×〔30÷60〕=45〔千米〕；小轎車比大客車多行BA〔45千米〕需要的時(shí)間，由追及問題得到45÷〔60-42〕=2.5〔時(shí)〕；在這2.5時(shí)中，小轎車與面包車共行甲、乙兩地的一個(gè)單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地相距〔60+48〕×2.5=270〔千米〕。由例1、例2看出，將較復(fù)雜的綜合問題分解為假設(shè)干個(gè)單一問題，可以到達(dá)化難為易的目的。例3小明放學(xué)后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運(yùn)行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？分析與解：這是一道數(shù)量關(guān)系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數(shù)解法復(fù)雜且不易理解。為了搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，我們對題目條件做適當(dāng)變形。假設(shè)小明在路上向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于[7，9]=63。這時(shí)在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9〔輛〕車，后63分鐘有63÷9=7〔輛〕車追上他，那么在兩個(gè)63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，那么發(fā)車的時(shí)間間隔為例4甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時(shí)分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，那么在這段時(shí)間里，他們共相遇了多少次？分析與解：甲游一個(gè)單程需30÷1=30〔秒〕，乙游一個(gè)單程需30÷0.6=50〔秒〕。甲游5個(gè)單程，乙游3個(gè)單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個(gè)過程的時(shí)間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次〔見下列圖〕，實(shí)折線與虛折線的交點(diǎn)表示相遇點(diǎn)。以2.5分鐘為一個(gè)周期，11分鐘包含4個(gè)周期零1分鐘，而在一個(gè)周期中的第1分鐘內(nèi)，從圖中看出兩人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22〔次〕。例4用畫圖的方法，直觀地看出了一個(gè)周期內(nèi)相遇的次數(shù)，由此可見畫圖的重要性。例5甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時(shí)乙距山頂還有400米，甲回到山腳時(shí)乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x。分析與解：此題的難點(diǎn)在于上山與下山的速度不同，如果能在不改變題意的前提下，變成上山與下山的速度相同，那么問題就可能變得容易些。如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，那么題中“甲回到山腳時(shí)山頂?shù)木嚯x是練習(xí)261.甲、乙二人上午8時(shí)同時(shí)從東村騎車到西村去，甲每小時(shí)比乙快6千米，中午12點(diǎn)甲到達(dá)西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。問：東、西兩村相距多遠(yuǎn)？2.紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊(duì)步行去郊游，步行的速度是1米/秒，隊(duì)尾的王老師以2.5米/秒的速度趕到排頭，然后立即返回隊(duì)尾，共用10分鐘。求隊(duì)伍的長度。3.甲、乙二人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距離。4.某人沿公路前進(jìn)，迎面來了一輛汽車，他問司機(jī)：“后面有騎自行車的人嗎？〞司機(jī)答復(fù)：“10分鐘前我超過一個(gè)騎自行車的人。〞這人繼續(xù)走了10分鐘，遇到了這個(gè)騎自行車的人。如果自行車的速度是人步行速度的3倍，那么，汽車速度是人步行速度的多少倍？5.某人沿著電車道旁的便道以4.5千米/時(shí)的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每12分鐘有一輛電車從后面追過。如果電車按相等的時(shí)間間隔發(fā)車，并以同一速度不停地往返運(yùn)行，那么電車的速度是多少？電車發(fā)車的時(shí)間間隔是多少？6.鐵路旁有一條小路，一列長110米的火車以30千米/時(shí)的速度向南駛?cè)ィ?點(diǎn)時(shí)追上向南行走的一名工人，