2023屆新高考地區(qū)百強名校新高考數(shù)學模擬考試壓軸題卷（五）（新高考通用）解析版

【百強名校】2023屆新高考地區(qū)百強名校

新高考數(shù)學模擬考試壓軸題精編卷（五）（新高考通用）

一、單選題

1.（2023春?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習）在平面直角坐標系x。），中，已知過

拋物線y,=4x焦點尸的直線與拋物線相交于A,B兩點,以AF,BF為直徑的圓分別與

x軸交于異于尸的P,°兩點，若|PF|=2|硝，則線段的長為（）

A.1B.1C.2D.月

2222

【答案】C

BE

【分析】設|AF|=2加，忸同="，通過幾何分析可求得tanNAFP=qm=20,從而求出

AB的方程，聯(lián)立AB的方程和拋物線方程即可求弦長|.

如圖，過點43分別作準線x=—l的垂線，垂足為C,。，

過8作AC的垂線，垂足為E,

因為AF,M為直徑的圓分別與x軸交于異于尸的P,。兩點,

所以ZAPF=ZBQF=90，且ZAFP=ZBFQ,

所以4QFB與.PFA相似,且相似比為|叫：|PF|=1:2,

所以訴=2,設|"j=2聞所|=相，

所以|C￡|=|陽=忸耳=〃7,則|AE|=m,

所以忸q=砰=2應m,

BEi-BE\r-

tanZAEB=——=2V2,g|JtanZAFP=—=2V2,

AEAE\

所以直線AB的斜率為2夜，所以48的方程為y=2夜（x-1），

y=2y/2(x-1)z2

聯(lián)立〈-可得2f_5x+2=0,

y2=4x

設4內(nèi),%）,5（%,%），則有N+W="|，

9

所以|48|=玉+*2+〃=5，

故選:C.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┰谶呴L為3的菱形A8CZ）中，ZBAO=60°,

將△ASO繞直線8。旋轉(zhuǎn)到，A3。，使得四面體從BCD外接球的表面積為18兀，則此時

二面角A—3D-C的余弦值為（）

D.近

3

【答案】A

【分析】由已知條件，得出/近是二面角A'-5D-C的平面角，作ABCD的中心產(chǎn)，

FG//HA,AG//HC,AGGF=G,知四面體ABC。外接球的球心。在GF上，根據(jù)

勾股定理求出A”=G，HE=2,進而可得二面角A'-E5-C的余弦值.

2

【詳解】由題意可知，△?/）和△38均為正三角形，

設E為8。中點，延長CE,作交CE于點”,

可得NAEC是二面角A-BD-C的平面角，

作△BCQ的中心尸，則尸在CEL且/C=2EF,

W-FG//HA,AG//HC,AGGF=G,可知四面體ABC。外接球的球心。在GF匕

又4兀/?2=1871,R=-,

2

在R/_AGO和R^CFO中，由C尸=3x且、2=石，EF=—,

232

R2=CF2+OF2=OG2+AG2,AE2=AH2+HE2-解得A"=?，HE=—,

2

n1]

.?.cosNAEH=翕=§,二面角A-BD-C的余弦值為一；

2

故選：A

3.(2023春?江蘇南京?高三南京師大附中校考開學考試)如圖，已知四棱錐S-ABCC的

底面ABC。為矩形，SALAB,SB=SC=2,SA=AD=l,則四棱錐S-ABC。的外接球的表

面積為()

【答案】A

【分析】判斷出球心的位置，利用勾股定理計算出球的半徑，進而求得球的表面積.

【詳解】設外接球的半徑為R,

由于SAJ.AB,AB1AD,SAnAD=A,SA,AZ)u平面SAD,

所以平面SA。，由于/Wu平面ABC。，所以平面ABC。/平面SA。.

CD=AB=4*-f=B由于CO///3,所以CE>J>平面SAD,

由于SDu平MilSAD,所以CD,LSD，所以SD=12。—(6)=1=SA=AD>

所以二角形SAD是等邊二角形，設其外心為。2,設E是AO的中點，

則SEJLAZ),由于平面他CDJ,平面SAD且交線為AO，SEu平面SAD,

所以SE_L平面ABCZ),

設ACc8。=Q,則O,是矩形ABCD的外心.

連接。也，由于REu平面ABCD,所以SELOg,

球心。在。|的正上方也在。2的正上方，故四邊形。|。。2后是矩形,

OE=-AB=—,O,S=-^-=—

t1222233

所以R2=OS2=13

12

所以球的表面積為4兀配=子.

故選：A

4.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知數(shù)列｛0"｝中,4=2,

a；+a”+l=3%+i("eN"),S”是數(shù)列---的前"項和，貝U§2023=()

q+2J

?1,1?11------?—

A.1--—B.1--------—C.I----------D.

“2023—1“2024—1“2023+*。2024+1

【答案】B

111

【分析】把遞推公式轉(zhuǎn)化為一^7=-7---------T，再裂項相消即可求?

%+2an-\an+i-\

【詳解】由a；+a,,+l=3a,川(〃eN*)可得："-2=3。,m-3,

即(4+2)(4-1)=3(.-1)

兩邊同時取倒數(shù)得：一--——=——-，即一-r---------r

%-14+24”一14+21?！?1T

-------------------------1----------------------------------1--|----------------------------------------

所以§2023=一=1-

〃202411

a一1a2-la2-\a3-\a2Q23-1a2Q24-1

故選：B.

5.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在△ABC中，角A,B,C的對邊

111

分別為a,b,c,a2+b2=3c2,則--------p-----------------)

tanA--tanBtanC

_1_

A.0B.1C.2D.

2

【答案】A

【分析】易知結(jié)合余弦定理可得2而cosC=2c2,然后邊化角后利用sin（A+5）=sinC展

開，然后化簡可得.

【詳解】由余弦定理以及/+k=3/可得:

c7-c940萬?2.cosCsinC

2abeosC=2c~=>sinAsinncosC=sin~C=>-------=--------------,

sinCsinAsinB

又在三角形中有sin（A+/?）=sinC,即sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

cosCsinAcosB+cosAsinBcos8cosA

所以----------------=-----1----

sinCsinAsinBsinBsinA

故」7+一一一

tanAtanBtanC

故選：A.

6.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┘褐?lnl.21,6=0.21,c=e02-l,

則（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.h>c>a

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,利用導數(shù)研究其單調(diào)性，從而得到。<人再直

接計算1.2『=2.5937,從而得到e>1,215,進而得到c>6；由此得解.

【詳解】令f(x)=ln(l+x)-x,xe[0,l),

貝U尸(力=占-1=/40，故f(x)在[o,1)上單調(diào)遞減，

所以/(().21)</(0)=0,即ln(1.21)—0.21<0,即山(1.21)<0.21,故a〈b：

因為1.2F=1.21x1.21x1.21x1.21x1.21=2.5937-e?2.718,

所以e>1.2F,故e°2>1.21=0.21+1，即薩-1>0.21，即c>6；

綜上：c>b>a.

故選：C.

【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形

結(jié)合思想的應用；

二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

7.(2023春?江蘇南京?高三南京師大附中?？奸_學考試)已知函數(shù)

f(x)=e*-g/-or(aeR)有兩個極值點，則實數(shù)”的取值范圍()

A.(fl)B.(0,1)

C.[0,1]D.(1,+co)

【答案】D

【分析】利用多次求導的方法，列不等式來求得。的取值范圍.

【詳解】的定義域是R,r(x)=e,-x-a,

令Zi(x)=ev-x-a,/z,(x)=e'-1,

所以力(x)在區(qū)間(―,0)(x)<0,Mx)遞減；在區(qū)間(0,-K?),K(x)>0,/?(x)遞增.

要使/(x)有兩個極值點，則/'(0)=/?(0)=1-。<0,。>1,

此時,f(-a)=e-"-(-a)-a=b>0,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x_ln2x(x>l),g[x)=l-/=；J,

所以g(x)在上遞增，所以g(x)>l-ln2>0,

所以/'(ln2a)=eM2"—ln加一a=a-ln2a>0,

所以實數(shù)a的取值范圍

故選：D

【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，當一次求導無法求得函數(shù)的單調(diào)性時，可利用二

次求導的方法來進行求解.在求解的過程中，要注意原函數(shù)和導函數(shù)間的對應關系.

8.(2023?福建廈門?廈門雙十中學?？寄M預測)已知函數(shù)f(x)=1og3(31+3)-

若〃a-l)Z/(2a+l)成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(-oo,-2]B.2]j[0,+<x))

C.-2,—D.(—co,-2]?—?+°°I

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=log3(3*+l)-gx,根據(jù)函數(shù)的奇偶性及復合函數(shù)的單調(diào)性可

得函數(shù)為偶函數(shù)目在[0,+8)單調(diào)遞增，進而f(x)關于直線X=2對稱，口在[2,W)單調(diào)

遞增，結(jié)合條件可得以2a+l-2|,解不等式即得.

【詳解】因為g(x)=log3(3'+l)-：x=log3伊+3力的定義域為R,乂

g(-x)=log,(3+3^=(x),故函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

f

又xw[O,M）時，3>1.y=3：單調(diào)遞增，故由復合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)y=3*+3T在

[0,+8）單調(diào)遞增，函數(shù)y=k）g3X在定義域上單調(diào)遞增，

所以g（x）在[0,+8）單調(diào)遞增，

所以〃x）=log3（3i+3）_gx=l+Iog3（3i+i）-gx

-2

=log3（3'+l）-1（x-2）=^（x-2）,

所以/（x）關于直線x=2對稱，且在[2,4w）單調(diào)遞增.

所以/（a_l）Z/（2a+l）o|a_l_2怛囚+1-2|,

兩邊平方，化簡得（a+2）（3a-4）M0,解得-24aq.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=log3（3'+l）-；x,然后根據(jù)函數(shù)

的單調(diào)性及對稱性化簡不等式進而即得.

9.（2023?福建廈門?廈門雙十中學?？寄M預測）己知"，用分別是雙曲線

22

=的左、右焦點，過”的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B

兩點，點C在x軸上，C8=364,85平分則雙曲線「的離心率為（）

A.y/jB.75C.73D.V2

【答案】A

【分析】根據(jù)CB=3gAN知C8〃取1,再根據(jù)角平分線定理得到忸制,|BC|的關系，再

根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用。，仇c表示出來，根據(jù)邊的關系利用余弦定理即

可解出離心率.

因為C8=3gA,所以

設歸司=勿，則國C|=4c,設|A￡|=f,則忸制=3f,|明=2九

因為明平分ZFJBC,由角平分線定理可知，雪=幽=券=：

BC\4c2

所以忸C=2忸用=6f,所以|力印=g|BC|=2f,

由雙曲線定義知|伍HMl=2a,即2l=2a,t=2a,①

又由W|-四|=2a得忸閭=3.〃=2人

所以忸用=|他|=|A用=2/,即△ABE是等邊三角形，

所以NEBC=NABE=60。.

在耳8名中，由余弦定理知cosN歷86=笆且鼻察毋1

把①代入上式得e=￡=近，所以離心率為不.

a

故選：A.

10.(2023春?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習)若正實數(shù)〃，b滿足a>匕,且

ln44nb>0,則下列不等式一定成立的是()

(tb+l+lbla

A.logab<0B.a一一>b一一C.2<TD.a-<b-'

ba

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及l(fā)na-ln)>0得到或OvAvavl,分別討論兩種情況

下四個選項是否正確，A選項可以用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項可以用作差法，C選

項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行求解，D選項，需要構(gòu)造函數(shù)進行求解.

【詳解】因為a>6>0,y=lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，故lna>lnb,由于lna」nb>0,

故Ina>lnZ?>0,或InIna<0,

當lna>ln〃>0時,a>b>\,此時logaft>0；

?-y-||=1--7|>0,tha-\>b-；

b\a)\ab)ba

4zZ?+l-(6/+/?)=(6Z-l)(&-l)>Or2"川>2"";

當InbclnocO時，OVOVQVI,此時log,力〉。，

^1,1

故a——<b——；

ba

^/?+1-(?+/?)=(a-1)(/?-1)>0,沙'>2"種；

故ABC均錯誤；

D選項，兩邊取自然對數(shù)，伍—l)lna<(a—l)Inb,因為不管還是

均有(4-。伍-1)>0,所以半〈瞥，故只需證當〈”即可，

a-\b-\a-\b-\

1I

inxl---In1X|

設/(x)=---(x>0且xwl),則尸(%)=x，令g(x)=l-----Inx(x>0且

X-l(x-l)2"

XH1),則g<x)=!」=\^,當xe(o,l)時，g<x)>0,當xe(l,+oo)時，g<x)<0,

所以g(x)<g⑴=0,所以.f'(x)<0在x>0且xwl上恒成立，故〃勾=里(x>0且

XK1)單調(diào)遞減，因為。>人，所以上巴<學，結(jié)論得證，D正確

a-\b-\

故選：D

二、多選題

II.(2023?福建廈門?廈門雙十中學?？寄M預測)在一次全市視力達標測試后，該市甲

乙兩所學校統(tǒng)計本校理科和文科學生視力達標率結(jié)果得到下表：

甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生

達標率60%70%65%75%

定義總達標率為理科與文科學生達標人數(shù)之和與文理科學生總?cè)藬?shù)的比，則下列說法中

正確的有()A.乙校的理科生達標率和文科生達標率都分別高于甲校

B.兩校的文科生達標率都分別高于其理科生達標率

C.若甲校理科生和文科生達標人數(shù)相同，則甲校總達標率為65%

D.甲校的總達標率可能高于乙校的總達標率

【答案】ABD

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合達標率的計算公式對各選項逐一判斷即可.

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得甲校理科生達標率為60%,文科生達標率為70%,

乙校理科生達標率為65%,文科生達標率為75%,故選項AB正確;

設甲校理科生有x人，文科生有)’人，若0.6x=0.7y,即6x=7y,則甲?？傔_標率為

0.6x+0.7y

—>選項C錯誤;

x+y

由總達標率的計算公式可知當學校理科生文科生的人數(shù)相差較大時，所占的權重不同,

總達標率會接近理科生達標率或文科生達標率，

當甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生時，甲校的總達標率可能高于乙校的

總達標率，選項D正確；

故選：ABD

12.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）如圖，在棱長為2的正方體

ABC。-44Gq中，點M,N分別為接CQ,C8的中點，點Q為側(cè)面內(nèi)部（不

含邊界）一動點，則（）

A.當點。運動時，平面MNQ截正方體所得的多邊形可能為四邊形、五邊形或六邊形

B.當點。運動時，均有平面MNQ_L平面

C.當點Q為Aq的中點時，直線AC〃平面MNQ

D.當點Q為AM的中點時，平面MNQ故正方體的外接球所得截面的面積為?

【答案】BCD

（分析】點。運動時，平面MNO截正方體所得的多邊形可能為五邊形成六邊形判斷A,

根據(jù)線面垂直即可判斷B,根據(jù)線線平行可判斷C,根據(jù)幾何體外接球的性質(zhì)可計算長

度求解半徑即可判斷D.

【詳解】如圖2所示，當點Q運動時，平面MN。截正方體所得的多邊形可能為五邊形

成六邊形，故A錯誤：

DM廠

由于80J.AC,A4,，8,ACcA4,=4AC,AAu平面A4G,所以比）工平面AAG,由于

MN//D8,故直線MN_L平面AAG，MNu平面MNQ,平面MVQL平面AAg，故B

正確;

如圖3所示，當點。為Aq中點時，截面MNSER為五邊形，宜線MN與直線AC交于

點7,易得：會AT=:3，又在平面中，易得S色B,?=百AE'=：3，所以AC〃ET,AGO

TC1七d1

平面MNQ,ETu平面MN。,則直線\C//平面MNQ,故C正確；

黑4G=3,所以球心0到平面MNQ的距離等于點A到平

OG

面MN。距離的三分之一，乂由B選項可知，點A到直線ET的距離即是點A到平面MNQ

3x3V2

的距離，利用等面積法可得該距離為所以球心。到平面MNQ的距離

F

d」M=旦,所以截面圓的半徑「=左下=

,所以截面圓的面積

326

為?，故D正確，

6

【點睛】

13.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€Lx?=4），，。為坐標原點，

/為拋物線C的焦點，點尸在拋物線上，則下列說法中正確的是（）

A.若點A（2,3）,則|刻+|P尸|的最小值為4

B.過點B（3,2）且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條

C.若正三角形ODE的三個頂點都在拋物線上，則,ODE的周長為8/

D.點”為拋物線C上的任意一點，G（0,-l）,\HG\=t\HF\,當f取最大值時，GFH

的面積為2

【答案】AD

［分析）A選項，過p點做準線的垂線，垂足為匕由拋物線定義,四|+|閉=|期+|尸邛，

據(jù)此可得最小值；

B選項，過點8且與拋物線只有一個公共點的直線有兩類，拋物線的切線與斜率不存在

的直線；

C選項，設。（4乂），E（z，%），及￡>,E兩點在拋物線上可得多=%，

后可得.OOE的周長；

D選項，設“a，），），貝k=卜+（）’+1I=,4y二由基本不等式可得

y%2+（y-1）Vy+2y+\

t取最大值時，y=i,后可得sGM的面積.

【詳解】A選項，過P點做準線y=-1的垂線，垂足為4.則由拋物線定義，有|尸產(chǎn)I=|尸用.

則I固+|P尸1=1四+歸用，則當A,P,片三點共線時，|R4|+|P尸|有最小值4.故A正確;

B選項，當過點B直線斜率不存在時，直線方程為x=3,此時直線與拋物線只有一個

交點；當過點B直線斜率存在時，設直線方程為：y=Z（x-3）+2,將直線方程與拋物

線方程聯(lián)立，則V-4日+12%-8=0.令A=16/-48%+32=0=>%=1或

k=2,則直線y=x-l或y=2x-4為拋物線切線.綜上，過點B（3,2）且與拋物線只有一

個公共點的直線有3條，故B錯誤；

C選項，設￡（與，%），因二角形OQE為正三角形，

則\OD\=|0E|=x；+y；=x；+y；,又刀=4y,x；=4y2,

則4（x-%）=￥-￥=>（%-%）（%+,+q=o.

n

因X，y2>0,則%=Xn毛+X|=。.乂由圖可得/。。尸=y-

得,ODE的周長為2473.故C錯誤；

D選項，設”(x,y),則f='+。=Jl+,4y二

\x2+(y-l)V+2y+1

4

=11+44li+(

J'+922n+2,當'取最大值時，

y=l取H（2,1），則此時&G尸〃的面積為:x|FG|x|xc|=|x2x2=2.

故D正確.

14.(2023春?江蘇南京福三南京師大附中?？奸_學考試)已知函數(shù)〃x),g(x)是定義

域為R的奇函數(shù)，/(x+1)的圖像關于直線x=l對稱，函數(shù)g(2x+l)的圖像關于點(1,0)

對稱，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)的一個周期為8

B.函數(shù)g(x)的圖像關于點(3,0)對稱

C.若g。)—3g(3)—5g(5)=6,則g(2023)=l

D.若/(88)+g(88)=6,貝S(2)=6

【答案】ABC

【分析】根據(jù)奇偶性及對稱性得到f(x)的周期性,令“(x)=g(2x+l),則"(x)關于點

(1,0)對稱，即可得至++x)=0,從而得至Ug(3+x)+g(3—x)=0,即可得到

g(x)的對稱性，再根據(jù)g(x)的奇偶性得到g(x)的周期性，最后根據(jù)周期性判斷C、D.

【詳解】解：對于A：因為“X)是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(T)=-“X),

又〃x+l)的圖像關于直線x=l對稱，所以/[(l+x)+l]=/[(l-x)+l],即

F(2+x)=/(2-x),

所以/(4+x)=/(-x)=-/(x),則/(8+x)=/(x),即函數(shù)/(x)的一個周期為8,故A

正確；

對于B：令"(x)=g(2x+l),則"(x)關于點(1,0)對稱，

所以“(l+x)+〃(l-x)=0,即g(2(l+x)+l)+g(2(l-x)+l)=0,即

g(3+2x)+g(3-2x)=0,

所以g(3+x)+g(3—x)=0,即g(x)的圖像關于點(3,0)對稱，故B正確；

對于C：因為g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x),又g(x)的圖像關于

點(3,0)對稱，

所以g(6+x)+g(—x)=0,所以g(6+x)=g(x),即函數(shù)g(x)的一個周期為6,

所以g(5)=g(—l)=—g(),又g⑶=()，g(l)-3g(3)-5g(5)=6,

所以6g(1)=6,即g⑴=1,所以g(2023)=g(6*337+l)=g(l)=l,故C正確；

對于D：因為/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

所以〃88)+g(88)=〃8xll)+g(6xl4+4)=6,即/(0)+g(4)=6,所以g(4)=6,

所以2)=-g(4)=-6,故D錯誤；

故選：ABC

15.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考一模)已知。工0出工0且b>-l,

浦=(e"-l)ln(b+l),則下列說法中錯誤的是()

A.a<b

B.若關于6的方程尸辿=機有且僅有一個解，則機=e

a

C.若關于人的方程上心=機有兩個解伉，b2,則4+8>2e

a

D.當a>0時，—<—+―!—

b22b+2

【答案】BC

【分析】對于A,構(gòu)造〃力=后，無工0,然后得到其單調(diào)性即可判斷；對于B,轉(zhuǎn)化

為y=G與y=m的交點問題；對于c,結(jié)合前面結(jié)論得到告=〈=心*=/,代入計

ab,e"

算即可判斷：對于D,轉(zhuǎn)化為即告<1+」，即可判斷.

eM-122e"

【詳解】

因為必=(e"-l)ln(。+1),化簡可得，-=皿處!)

ea-1b

，/、e"(l—尤)—1

令/(可==Y"二°，則，("=.-1)2，

令〃(x)=e，(l-x)_l,則”(x)=e，(l_x)+e"(-l)=_Ae”,

故xvO時，〃(力>0,函數(shù)力(力在(一%0)上遞增;

x>o時，/r(x)<o,函數(shù)〃(x)在(o,y)上遞減;

所以/?(x)V/z(O)=e°-l=O

即/'("<0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

所以a=ln(b+l),

且令g(x)=e*-(x+l),則g，(x)=e*-l,令g'x)>0,得x>0,則g(x)遞增;

令g<x)<0,得xvO,則g(x)遞減;

所以g(x)Ng(O)=O,即e*Nl+x,所以b=e"-l2”成立，故A正確；

由上a=￡1=機轉(zhuǎn)化為y=￡l與y=m的交點問題，

aaa

則”叫丁),

a"

如圖所示，

當ae(?,O)時，y'<0,則、=《遞減，當a<0時，y<0,

a

當ae(l,m)時,/>0,則y=W遞增,

a

當ae(O,l)時，/<0,則尸《遞減，

a

即當a=l時，函數(shù)有極小值e,

所以只有一個解時加=e或〃?<0,故B錯誤;

1iAfl砂砂

由9=PJ="，由圖易知，不妨設a<%,則0<4<1<仇，貝I」有：=卜

4b2

取對數(shù)可得偽G-1）=Inr=4=「，即4=曲=--,r>l

所以々+打=9_業(yè)>26。-1）是否成立,

BP(r+l)lnr>2e(r-l),

令〃(zr)=(r+l)lnf-2e(/-l),r>1,

取Z=e時,zn(e)=e+l-2e(e-l)vO不成立,故C錯誤;

<1+—

<e“+l

所以2ae“<（e"+"e"-1）=e?"-1

^z（a）=e2a-l-2aea,a>0,只需證明z（a）>0成立即可，

z'（a）=2e2a-2（l+a）ea=2ef,（ea-l-a）>0,所以z（a）>z（O）=0成立

故D正確；

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍：

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系

中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

16.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）小明在家獨自用下表分析高三前

5次月考中數(shù)學的班級排名y與考試次數(shù)x的相關性時，忘記了第二次和第四次月考排

名，但小明記得平均排名亍=6,于是分別用旭=6和m=8得到了兩條回歸直線方程:

y=btx+at,y=b2x+a2,對應的相關系數(shù)分別為q、r2,排名），對應的方差分別為s；、

s；,則下列結(jié)論正確的是（）

Xi2345

yioin6n2

Yx^-nxy

(附：b=￥------------,a=y-bx')A.r,<rB.s：<s；

力x；一煙2

1=1

C.bt<b2D.<a2

【答案】BD

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和最小二乘法、相關系數(shù)的計算公式分別計算當機=6、加=8

時的R。、相關系數(shù)⑺和方差(S2),進而比較大小即可.

，、'心"、、、”-i.—1+2+3+4+5,—10+6+6+4+2,血血/

【詳解】當，"=6n時，x=---------------=3,y=--------——!=6,解得4=6,

5

則2蒼必=1x10+2x6+3x6+4x6+5x2=74,

;=|

5

^x,2=12+22+32+42+52=55,6=18,

1=1

5_

Z(占7)(%-刃

/=!

=(1-3)(10-6)+(2-3)(6-6)+(3-3)(6-6)+(4-3)(6-6)+(5-3)(2-6)=-16,

￡(王-君2(y一］)2

i=l

=(1-3)2(10-6)2+(2-3)2(6-6)2+(3-3)2(6-6)2+(4-3)2(6-6)2+(5-3)2(2-6)2=128,

^x^-nx-y

74—5x188

所以a=R-------------

-55-5x325

1=1

--54

得4=y-btx=-

Z(x,-x)(%-y)

.--JfeL-Jill一萬

(10-6)2+(6-6f+(6-6)2+(6-6尸+(2-6『_四

55

"s"8,

同理，當m=8時，%=一2,4=12,4=一

17

所以斗<s；,白>￡>2,a,<a2,

故選：BD.

17.（2023春?江蘇南京?高三南京師大附中校考開學考試）如圖，在五面體ABCQE中,

平面ABCOJ_平面ABEF,四邊形48co與四邊形ABE尸全等，S.ABLAD,AB//CD,

48=2,8=1,則下列說法正確的是（）

A.ADA.BE

B.若G為棱CE中點，則DEL平面A8G

C.若A￡>=C￡>,則平面AO￡_L平面BDE

D.若AE=6,則平面AOE_L平面8CE

【答案】ABC

【分析】對于A,利用面面垂直的性質(zhì)定理得到A￡>_L平面ABE尸，從而得以判斷；對

于B,利用線面垂直的判定定理推得CE_L平面ABG，由此判斷即可；對于C,利用面

面垂直的的判定定理，結(jié)合勾股定理即可判斷；對于D,先證得E”與BE不重合，再

推得平面〃CE_L平面AOE,從而得到矛盾，由此判斷即可.

【詳解】對于A,因為平面ABCD上平面ABEF,A8J.,平面ABCDc平面AB￡F=45，

4）u平面ABCD,

所以AZ?J?平面AfiM,因為8Eu平面ABEF,所以故A正確：

對于B,取棱CE的中點G,連接3G,AG,AE,AC,如圖①，

圖①

因為四邊形ABCD與四邊形ABEF全等，所以BC=BE,AC=AE,

因為G為棱CE中點，所以BG_LCE,AG，CE,

因為3GAG=G,8G,AGu平面A8G,所以CEL平面A8G,

由題意知AB//CD//EF,CD=EF,所以四邊形8EF為平行四邊形,

所以DF//CE,則。尸/平面ABG,故B正確;

對于C,連接。如圖①，

由題意知AF=AD=CD,AFLEF,所以人后=^AF2+EF2=近，

又在直角梯形ABE尸中易知跖=血，所以AEhBE?=，即EBJ_AE,

由選項A知EBA.AD,又AOcAE=A,AD,A￡u平面ADE,

所以￡8J_平面ADE,又￡3u平面8￡）￡，所以平面AOEJ,平面BDE,故C正確；

對于D,連接過點E作四，越交A8的延長線于點H,連接C”，如圖②,

圖②

由AE=J5,EF=1,得斗尸=｛AE2-EF。=立，所以8E=J『+（揚?=下），

AE2+BE2-AB23+3-411

此時cosZAEB=—_________=_<_

2AEBE2X6XG32

所以60。<ZAEB<90°,故EH與8E不重合,

因為AO_L平面Aa卯，平面AfiEF,所以A￡>_LE”，

又EH工AE,4￡>門4￡=44。,人￡：匚平面4￡）￡',所以E"J_平面ADE,

又E"u平面HCE,所以平面HCE，平面ADE,

假設平面6CE_L平面ADE,

因為￡?與8E不重合，所以平面HCE與平面5CE不重合，

又平面HCEc平面BCE=CE,則CE_L平面A￡>E,

因為4￡>u平面ADE,所以CE_LAO,

y.DF//CE,所以DF1AO，這與A￡>_LA尸矛盾;

所以假設不成立，故平面5CE與平面A￡?E不垂直，故D錯誤.

故選：ABC.

18.（2023春?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習）已知數(shù)列｛凡｝滿足勺=e匹-1,

且4=1，S,是數(shù)列｛q｝的前"項和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.??>0B.an+l>an

C.出021+a2023>2a2022D.Sig>2

【答案】ACD

【分析】對?于選項A,B證明數(shù)列｛凡｝為單調(diào)遞減數(shù)列即得解；對于選項C,證明隨著

?！皽p小，從而為+1-4,增大，即得解：對于選項D,證明即得解.

【詳解】解：對于選項A、B,因為q=l,.?.《尸0,所以e〃"=右3,

a?

設g(x)=e*-1-xe',g'(x)=ev-e*-xex=-xe'

當x>0時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當x<0時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)<g(0)=0,則xe、>e'-l,

所以>e""一1,

當%>。時，e"”>上二^=e"""，atl>a,l+l

a”

e""—1

當a“<0時，e""--------=e',，a?<a?+l,

a“

因為4=1,所以這種情況不存在，

則數(shù)列也｝滿足當4>0時，巴>??+1,為單調(diào)遞減數(shù)列，

故A選項正確，B選項錯誤；

a

對于選項C,a?+t-=In(e--1)-Inan-a?

令x=a“,xe(0,l],設/(x)=ln(e*-l)-lnx-x,xe(O,l]

xiii

則r(x)=』e一上一1=±一±<0,

e-1xe-1x

所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以隨著凡減小，從而。向一%增大,

所以々2023一。2022>。2()22一。2021，即%()21+。2023>2a2022,所以C選項正確,

對于選項D,由前面得。<。向</41,

下面證明4+1>,只需證明凡+i1aIe"--l1eu"-1%”，

"'2-^>一=----2n——oln-------->—a?<=>-------->e2

a

?2an2a?2a?

b-\11.1

令。=6"”，則1<6<e,所以——>b20b2-b2-lnb>。,

\nb

貝ij加揚+方240,

人令m(b)—-—b—2-In/?,/?€(l,e]

m（。）>m（l）=0成立，則"I>-an

所以$2023>4+電+^%+,+^T〃2=4.

=l+21n（e-l）-^-ln（e-l）>2

所以D選項正確：

故選：ACD.

【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數(shù)、不等式與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該

問題應該注意的事項：

（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點；

（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時，應該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往

往是很容易被忽視的問題；

（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關問題時，應準確構(gòu)造相應的函數(shù)，注意數(shù)列中

相關限制條件的轉(zhuǎn)化.

19.（2023春?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習）在棱長為"的正方體

48CO-A2CA中，與平面ACR相交于點E,尸為內(nèi)一點，且

S△鶴"=為"四，設直線叨與AG所成的角為°,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BQ工PEB.點尸的軌跡是圓

C.點P的軌跡是橢圓D.。的取值范圍是三仁

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意可得結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證得與DJ■平面,

分析可得點E即為△4CR的中心，結(jié)合5曠,/=可得PE=ga，從而可得點戶的

軌跡是以E為圓心，半徑為ga的圓，轉(zhuǎn)化為PD是以底面半徑為高為3a的圓

333

錐的母線，分析求得。的范圍即可得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，

BQ與平面AC。相交于點E,連接距）交AC于點。，連接BQ：

由題意可知，平面ABCD,ACu平面ABCD,則BB、1AC.

又因為ACJ.8。，BBqBD=B,BB^BDu平面BDRB],

所以ACL平面B。。用，

又與。u平面8力￡（百，所以ACLBQ；

同理可證AR1BQ,

又ARiAC=A,4〃,ACu平面ACR,

所以BQ1.平面AC。；

又因為AC=AD,=CD,=AB『BR=4c，由正三棱錐性質(zhì)可得點E即為△AC。的中心,

連接。。；

因為。為AC的中點，。。交片。于點E,連接PE，

由平面4cA