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恩施市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.42.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.3.設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.4.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.5.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元6.點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn),且,,則的值為()A. B. C. D.7.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.8.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.9.本次模擬考試結(jié)束后,班級(jí)要排一張語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表,若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種10.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn),則()A. B. C. D.12.已知類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分開(kāi)來(lái),每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件類產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類產(chǎn)品時(shí),檢測(cè)結(jié)束,則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品,第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.能說(shuō)明“在數(shù)列中,若對(duì)于任意的,,則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.(寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式)14.若曲線(其中常數(shù))在點(diǎn)處的切線的斜率為1,則________.15.已知函數(shù)()在區(qū)間上的值小于0恒成立,則的取值范圍是________.16.己知函數(shù),若曲線在處的切線與直線平行,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè),求正實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)(,),且對(duì)任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.19.(12分)如圖,正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時(shí)的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請(qǐng)問(wèn)小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過(guò)紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過(guò)處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開(kāi)哪條路線?20.(12分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點(diǎn),與交于點(diǎn),,都垂直于平面,且,,是線段上一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí),求四面體的體積.21.(12分)已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實(shí)線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長(zhǎng)度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時(shí),棧道總長(zhǎng)度最短.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為和一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長(zhǎng)方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.2、A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生運(yùn)算能力,是一道容易題.3、D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過(guò)韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算,對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解,通常先求解模長(zhǎng)的平方,再開(kāi)平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析,得到的最小值.5、D【解析】
設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
可畫(huà)出圖形,根據(jù)條件可得,從而可解出,然后根據(jù),進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出.【詳解】如圖:點(diǎn)為的三條中線的交點(diǎn),由可得:,又因,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的定義及性質(zhì),向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.7、B【解析】
試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點(diǎn),所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題中,涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,焦點(diǎn)弦長(zhǎng),拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時(shí),常常考慮用拋物線的定義進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,從而與弦長(zhǎng)之間可通過(guò)余弦定理建立關(guān)系.8、C【解析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來(lái)表示,然后利用數(shù)量積公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】
利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語(yǔ)文,英語(yǔ),化學(xué),生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè),有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,不相鄰采用插空法求解,準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題10、A【解析】
由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn),求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長(zhǎng)為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn),.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).11、B【解析】
根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率,即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品,第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、答案不唯一,如【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知,不妨設(shè),則,很明顯為遞減數(shù)列,說(shuō)明原命題是假命題.所以,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列,還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】
首先根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍,由此求得函數(shù)的值域,結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于,所以,由于區(qū)間上的值小于0恒成立,所以().所以,由于,所以,由于,所以令得.所以的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法,考查三角函數(shù)值恒小于零的問(wèn)題的求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.16、【解析】
先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以,所以,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組,解出這兩個(gè)量的值,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求出,可得出,可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)不等式不成立,只考慮為偶數(shù)的情況,利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性,由此能求出正實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,整理得,解得,,因此,;(2),滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè),得,由于,若為奇數(shù),則不等式不可能成立.只考慮為偶數(shù)的情況,令,則,..當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則.所以,,又,,,,.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查正實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.18、(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗(yàn)證,可得當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個(gè)極值點(diǎn),,則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根,所以或解得或無(wú)解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時(shí),,即,所以在上單調(diào)遞減,所以即時(shí),.(Ⅲ)因?yàn)椋畹?,.由(Ⅱ)知時(shí),的對(duì)稱軸,,,所以.又,可得,此時(shí),在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn).又因?yàn)椋栽谏线f增,即時(shí),恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn):,1,.綜上所述,恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是近年高考?jí)狠S題的熱點(diǎn).19、(1)6種;(2);(3).【解析】
(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經(jīng)過(guò)處,共有4條路線,即,,,,分別對(duì)4條路線進(jìn)行分析計(jì)算概率;(3)分別對(duì)小明上學(xué)的6條路線進(jìn)行分析求均值,均值越大的應(yīng)避免.【詳解】(1)路途中可以看成必須走過(guò)2條橫街和2條豎街,即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.(2)小明途中恰好經(jīng)過(guò)處,共有4條路線:①當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率;②當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率;③當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率;④當(dāng)走時(shí),全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過(guò)處,且全程不等信號(hào)燈的概率.(3)設(shè)以下第條的路線等信號(hào)燈的次數(shù)為變量,則①第一條:,則;②第二條:,則;③另外四條路線:;;,則綜上,小明上學(xué)的最佳路線為;應(yīng)盡量避開(kāi).【點(diǎn)睛】本題考查概率在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用問(wèn)題,考查學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力,是一道有一定難度的題.20、(1).(2)【解析】
(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出,進(jìn)而得出,利用相似三角形的性質(zhì),得出,從而得出的值;(2)利用線
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