函數(shù)的極值與最值

5函數(shù)的極值與最值一、極值的定義二、函數(shù)極值的求法三、最值的求法四、應(yīng)用舉例一、函數(shù)極值的定義定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.極大值與極小值統(tǒng)稱極值。注意：函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)注意:例如,定理2(第一充分條件)設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)數(shù),

且，(不是極值點(diǎn)情形)(是極值點(diǎn)情形)例5解：極大值極小值例6解：注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).求極值的步驟:定理3(第二充分條件)證例7解：注意:三、最值的求法則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)四、應(yīng)用舉例例1解計(jì)算比較得(k為某常數(shù))例2.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點(diǎn)D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B運(yùn)到工

20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小值點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn),問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何取?Km,公路,價(jià)之比為3:5,實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;例3某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。最大收入為1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值五、小結(jié)(3)第二充分條件為極大值為極小值2.最值與極值的區(qū)別:最值是整體概念而極值是局部概念.1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟:P162習(xí)題3-51(1)(2),3,4(1),