濟南大學高等數學C一ch

第一節(jié)導數的概念可導與連續(xù)的關系導數的幾何意義導數的定義思考題、小結

微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導數與微分.本章著重介紹導數與微分的概念及其計算方法，學習導數的應用.首先我們從尋找曲線的切線以及確定變速運動的瞬時速度引出導數的概念.

一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題如圖,取極限得2.切線問題割線的極限位置——切線位置

如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.如圖,極限位置即：二、導數的定義1.定義增量比的極限（3）關于導數的說明：注:（1）導數的其他表示方法：（2）導數不存在2.單側導數(1)左導數:(2)右導數:一般步驟：3.分段函數在分段點的導數4.由定義求導數步驟:例1解:例3解:更一般地:例如,例4解:利用等價無窮小替換例5解:利用第二個重要極限例解:定理函數可導必定連續(xù)，反之不一定成立.三、導數的幾何意義幾何意義切線方程為法線方程為例解:由導數的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為四、可導與連續(xù)的關系定理函數可導必定連續(xù)，反之不一定成立.證明即函數在某點連續(xù)是可導的條件.必要函數在某點連續(xù)但不存在導數舉例0例如例如011/π－1/π01例如思考題思考題解答小結1.導數的實質:增量比的極限;3.導數的幾何意義:切線的斜率;4.函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5.求導數最基本的方法:由定義求導數.6.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.連續(xù)直接用定義;看左右導數是否存在且相等.作業(yè)P90T5,

T8,T10,T14,T15第二節(jié)求導法則與基本初等函數求導公式初等函數的求導問題反函數的求導法則函數四則運算求導法則復合函數的求導法則思考題、小結1.導數的實質:增量比的極限;3.導數的幾何意義:切線的斜率;4.函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5.求導數最基本的方法:由定義求導數.6.判斷可導性不連續(xù),一定不可導.連續(xù)直接用定義;看左右導數是否存在且相等.內容回顧一、函數四則運算求導法則定理1證(3)推論例1解：例2解：例3解：同理可得解：同理可得例3注意:分段函數求導時,分段點處的導數必須用左右導數求.二、反函數的求導法則定理2即反函數的導數等于直接函數導數的倒數.例4解：同理可得例5解：特別地三、復合函數的求導法則定理3即因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則)推廣證：注意例6解注意函數的復合過程,合理分解,正確使用鏈式法則.例7解：解：例8例9解例10解例11解四、初等函數的求導問題1.常數和基本初等函數的導數公式2.函數的和、差、積、商的求導法則3.復合函數的求導法則設)(),(xvvxuu==可導，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數)利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全解決.注意:初等函數的導數仍為初等函數.思考題1.求曲線上與軸平行的切線方程.3.冪函數在其定義域內（）.思考題解答1令切點為所求切線方程為和思考題解答2正確地選擇是（3）例在處不可導，取在處可導，在處不可導，取在處可導，在處可導，正確地選擇是（3）例在處不可導，在定義域內處處可導，思考題解答3小結1.分段函數求導時,分界點處導數用左右導數求.2.反函數的求導法則（注意成立條件）;3.復合函數的求導法則（注意函數的復合過程,

合理分解,正確使用鏈式法則）4.任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述求導法則求出.關鍵:正確分解初等函數的復合結構.練習解關鍵:正確分解初等函數的復合結構.作業(yè)P100T3,

T7(奇),T9,T10(偶)

第三節(jié)高階導數高階導數的運算法則高階導數求法舉例高階導數的定義思考題、小結1.分段函數求導時,分界點處導數用左右導數求.2.反函數的求導法則（注意成立條件）;3.復合函數的求導法則（注意函數的復合過程,

合理分解,正確使用鏈式法則）4.任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述求導法則求出.關鍵:正確分解初等函數的復合結構.內容回顧一、高階導數的定義問題:變速直線運動的加速度.定義記作三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統(tǒng)稱為高階導數.二階導數的導數稱為三階導數,二、高階導數求法舉例直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.例1解：例2解：例3解：例4解：例5解：同理可得三、高階導數的運算法則萊布尼茲公式例6解：常用高階導數公式

利用已知的高階導數公式,通過四則運算、間接法:變量代換等方法,求出n階導數.例7解：例8解：思考題解:故用定義求小結高階導數求法1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.2.高階導數的運算法則

利用已知的高階導數公式,通過四則3.間接法:運算、變量代換等方法,求出n階導數.作業(yè)P105T1(3,6),

T4(偶)

,T8分析：P105T3參數方程的導數對數求導法隱函數的導數第四節(jié)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數思考題、小結高階導數求法1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.2.高階導數的運算法則

利用已知的高階導數公式,通過四則3.間接法:運算、變量代換等方法,求出n階導數.內容回顧一、隱函數的導數

隱函數隱函數的顯化問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?例1隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.解：另解（顯化）：基本步驟：例2解：解得：例3解：所求切線方程為顯然通過原點.例4解：二、對數求導法

先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.方法:------對數求導法方程兩邊取對數,解：例5等式兩邊取對數得解：等式兩邊取對數得例6對數求導法適用范圍:

三、參數方程的導數例如消去參數問題:

消參困難或無法消參如何求導?由復合函數及反函數的求導法則得：看作復合函數解：例7

所求切線方程為：解：例8思考題思考題解答不對．小結1、隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.2、對數求導法：3、由參數方程所確定的函數的導數：作業(yè)P112T1(3,6),

T3(偶),T4(2，3),T6(奇)第五節(jié)函數的微分微分在近似計算的應用微分的幾何意義微分的定義微分公式與微分運算法則思考題、小結1、隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.2、對數求導法：3、由參數方程所確定的函數的導數：內容回顧一、問題的提出引例1:正方形金屬薄片受熱后面積的變化量.引例2:既容易計算又是較好的近似值二、微分的定義定義1、微分的定義2、可微的條件定理注：;)(,)5(0有關和但與無關的常數是與xxfxAD2、可微的條件定理證：(1)必要性：(2)充分性：解：例1例2解：三、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)

P

Q四、微分公式與微分運算法則1.常數和基本初等函數的微分公式2.函數和、差、積、商的微分法則解：例3解：例43.復合函數的微分法則—微分形式的不變性微分形式的不變性結論：解：例6解：例5練習解練習解五、微分在近似計算中的應用例7解：解:例8常用近似公式：（1）（2）（3）（4）（5）思考題思考題解答：說法不對.

從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念導數的概念求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.微分學所要解決的兩類問題:導數、微分與連續(xù)性的聯(lián)系:★可導可微連續(xù)★小結導數與微分的區(qū)別:★作業(yè)P122T3(偶),

T5,

T6第六節(jié)邊際與彈性經濟學中常見的彈性函數經濟學中的常見的邊際函數邊際概念小結彈性概念函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念導數的概念求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.微分學所要解決的兩類問題:導數、微分與連續(xù)性的聯(lián)系:★可導可微連續(xù)★內容回顧一、邊際概念1、概念的引入平均變化率是函數增量與自變量增量之比，函數

如年產量的平均變化率、成本的平均變化率、利潤的平均變化率等．

瞬時變化率

是函數對自變量的導數.瞬時變化率為的處可導，則在在如果函數xxxfy=00)(定義12、邊際的定義常略去“近似”經濟意義:例1解：注：二、經濟學中的常見的邊際函數1、邊際成本即總成本函數C(Q)的導數.因為總成本＝固定成本＋可變成本，即則邊際成本為邊際成本與固定成本無關.經濟意義:當已經生產了Q個單位產品時,再增產一個單位產品所增加的總成本.例2(1)指出固定成本、可變成本;(2)求邊際成本函數及產量為Q=200時的邊際成本，并說明其經濟意義.某廠生產某種產品，總成本C是產量Q的函數解：(1)固定成本為200，可變成本為(2)邊際成本函數：產量為200件時的邊際成本為24，它表示當產量為200件時，再生產1件產品總成本增加24元.平均成本為？

2、邊際收益即總收益函數R(Q)的導數.經濟意義:當已經銷售了Q個單位產品時,再銷售一個單位產品所增加的總收益.設P為價格，Q是銷售量，有例3設某產品的需求函數為：其中為價格，為銷售量，當銷售量為15個單位時，求總收益、平均收益與邊際收益；并求銷售量從15個單位增加到20個單位時的平均變化率。故銷售量為15個單位時，有(1)總收益函數為：

解：(2)平均收益為：

(3)邊際收益為：

(4)當銷售量從15個單位增加到20個單位時收益的平均變化率為：

3、邊際利潤即總利潤函數L(Q)的導數.經濟意義:當已經生產了Q個單位產品時,再生產一個單位產品所增加的總利潤.因為則邊際利潤為總利潤＝總收益－總成本，即

邊際利潤可由邊際收入與邊際成本決定，且經濟意義：

如產量已達到Q，再多生產一個單位產品，所增加的收益大于所增加的成本，總利潤有所增加。

如產量已達到Q，再多生產一個單位產品，所增加的收益要小于所增加的生產成本，總利潤將減少。

如產量已達到Q，再多生產一個單位產品，所增加的收益等于所增加的生產成本，總利潤達到最大。例4解：經濟解釋：當生產量為每月20噸時，再增產一噸，利潤將增加50元，當產量為每月25噸時，再增產一噸，利潤不變；當產量為35噸時，再增產一噸利潤減少100元。邊際利潤為某工廠對其產品的情況進行了大量統(tǒng)計分析后，得出總利潤L(Q)(元)與每月產量Q（噸）的關系為4、邊際需求即需求量Q對價格P的導數.例5解：經濟意義：巧克力的價格由原10元價再增加1元，每周需求量將減少0.432公斤。三、彈性概念

邊際函數中,函數改變量與函數變化率是絕對改變量與絕對變化率．在經濟問題中，有時僅知道函數的絕對改變量與絕對變化率是不夠的．

例如:

設有A和B兩種商品，其單價分別為10元和100元．同時提價1元，顯然改變量相同，但提價的百分數大不相同，分別為10%和1%，前者是后者的10倍。

因此有必要研究函數的相對改變量以及相對變化率，這在經濟學中稱為彈性．它定量地反映了一個經濟量(自變量)變動時，另一個經濟量(因變量)隨之變動的靈敏程度，即自變量變動百分之一時，因變量變動的百分數．定義2注:近似四、經濟學中常見的彈性函數1、需求的價格彈性例6解：一般地,需求量是價格的單減函數,因此需求的價格彈性Ed

一般為負值.有時為討