濟(jì)南大學(xué)高等數(shù)學(xué)C一ch

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義思考題、小結(jié)

微分學(xué)是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分.本章著重介紹導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其計(jì)算方法，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.首先我們從尋找曲線的切線以及確定變速運(yùn)動的瞬時速度引出導(dǎo)數(shù)的概念.

一、問題的提出1.自由落體運(yùn)動的瞬時速度問題如圖,取極限得2.切線問題割線的極限位置——切線位置

如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.如圖,極限位置即：二、導(dǎo)數(shù)的定義1.定義增量比的極限（3）關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：注:（1）導(dǎo)數(shù)的其他表示方法：（2）導(dǎo)數(shù)不存在2.單側(cè)導(dǎo)數(shù)(1)左導(dǎo)數(shù):(2)右導(dǎo)數(shù):一般步驟：3.分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)4.由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解:例3解:更一般地:例如,例4解:利用等價無窮小替換例5解:利用第二個重要極限例解:定理函數(shù)可導(dǎo)必定連續(xù)，反之不一定成立.三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何意義切線方程為法線方程為例解:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理函數(shù)可導(dǎo)必定連續(xù)，反之不一定成立.證明即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是可導(dǎo)的條件.必要函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)但不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如例如011/π－1/π01例如思考題思考題解答小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.作業(yè)P90T5,

T8,T10,T14,T15第二節(jié)求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式初等函數(shù)的求導(dǎo)問題反函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思考題、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.內(nèi)容回顧一、函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則定理1證(3)推論例1解：例2解：例3解：同理可得解：同理可得例3注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時,分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必須用左右導(dǎo)數(shù)求.二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例4解：同理可得例5解：特別地三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)推廣證：注意例6解注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解,正確使用鏈?zhǔn)椒▌t.例7解：解：例8例9解例10解例11解四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).思考題1.求曲線上與軸平行的切線方程.3.冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（）.思考題解答1令切點(diǎn)為所求切線方程為和思考題解答2正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)，取在處可導(dǎo)，在處不可導(dǎo)，取在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)，正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，思考題解答3小結(jié)1.分段函數(shù)求導(dǎo)時,分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程,

合理分解,正確使用鏈?zhǔn)椒▌t）4.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).練習(xí)解關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).作業(yè)P100T3,

T7(奇),T9,T10(偶)

第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)的定義思考題、小結(jié)1.分段函數(shù)求導(dǎo)時,分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程,

合理分解,正確使用鏈?zhǔn)椒▌t）4.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).內(nèi)容回顧一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動的加速度.定義記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例1解：例2解：例3解：例4解：例5解：同理可得三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則萊布尼茲公式例6解：常用高階導(dǎo)數(shù)公式

利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則運(yùn)算、間接法:變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).例7解：例8解：思考題解:故用定義求小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)求法1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則3.間接法:運(yùn)算、變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).作業(yè)P105T1(3,6),

T4(偶)

,T8分析：P105T3參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考題、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)求法1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則3.間接法:運(yùn)算、變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).內(nèi)容回顧一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?例1隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).解：另解（顯化）：基本步驟：例2解：解得：例3解：所求切線方程為顯然通過原點(diǎn).例4解：二、對數(shù)求導(dǎo)法

先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).方法:------對數(shù)求導(dǎo)法方程兩邊取對數(shù),解：例5等式兩邊取對數(shù)得解：等式兩邊取對數(shù)得例6對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:

三、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:

消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得：看作復(fù)合函數(shù)解：例7

所求切線方程為：解：例8思考題思考題解答不對．小結(jié)1、隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).2、對數(shù)求導(dǎo)法：3、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：作業(yè)P112T1(3,6),

T3(偶),T4(2，3),T6(奇)第五節(jié)函數(shù)的微分微分在近似計(jì)算的應(yīng)用微分的幾何意義微分的定義微分公式與微分運(yùn)算法則思考題、小結(jié)1、隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).2、對數(shù)求導(dǎo)法：3、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：內(nèi)容回顧一、問題的提出引例1:正方形金屬薄片受熱后面積的變化量.引例2:既容易計(jì)算又是較好的近似值二、微分的定義定義1、微分的定義2、可微的條件定理注：;)(,)5(0有關(guān)和但與無關(guān)的常數(shù)是與xxfxAD2、可微的條件定理證：(1)必要性：(2)充分性：解：例1例2解：三、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)

P

Q四、微分公式與微分運(yùn)算法則1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的微分公式2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則解：例3解：例43.復(fù)合函數(shù)的微分法則—微分形式的不變性微分形式的不變性結(jié)論：解：例6解：例5練習(xí)解練習(xí)解五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例7解：解:例8常用近似公式：（1）（2）（3）（4）（5）思考題思考題解答：說法不對.

從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).微分學(xué)所要解決的兩類問題:導(dǎo)數(shù)、微分與連續(xù)性的聯(lián)系:★可導(dǎo)可微連續(xù)★小結(jié)導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:★作業(yè)P122T3(偶),

T5,

T6第六節(jié)邊際與彈性經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見的邊際函數(shù)邊際概念小結(jié)彈性概念函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).微分學(xué)所要解決的兩類問題:導(dǎo)數(shù)、微分與連續(xù)性的聯(lián)系:★可導(dǎo)可微連續(xù)★內(nèi)容回顧一、邊際概念1、概念的引入平均變化率是函數(shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)

如年產(chǎn)量的平均變化率、成本的平均變化率、利潤的平均變化率等．

瞬時變化率

是函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù).瞬時變化率為的處可導(dǎo)，則在在如果函數(shù)xxxfy=00)(定義12、邊際的定義常略去“近似”經(jīng)濟(jì)意義:例1解：注：二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見的邊際函數(shù)1、邊際成本即總成本函數(shù)C(Q)的導(dǎo)數(shù).因?yàn)榭偝杀荆焦潭ǔ杀荆勺兂杀?，即則邊際成本為邊際成本與固定成本無關(guān).經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)已經(jīng)生產(chǎn)了Q個單位產(chǎn)品時,再增產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總成本.例2(1)指出固定成本、可變成本;(2)求邊際成本函數(shù)及產(chǎn)量為Q=200時的邊際成本，并說明其經(jīng)濟(jì)意義.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)解：(1)固定成本為200，可變成本為(2)邊際成本函數(shù)：產(chǎn)量為200件時的邊際成本為24，它表示當(dāng)產(chǎn)量為200件時，再生產(chǎn)1件產(chǎn)品總成本增加24元.平均成本為？

2、邊際收益即總收益函數(shù)R(Q)的導(dǎo)數(shù).經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)已經(jīng)銷售了Q個單位產(chǎn)品時,再銷售一個單位產(chǎn)品所增加的總收益.設(shè)P為價格，Q是銷售量，有例3設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為：其中為價格，為銷售量，當(dāng)銷售量為15個單位時，求總收益、平均收益與邊際收益；并求銷售量從15個單位增加到20個單位時的平均變化率。故銷售量為15個單位時，有(1)總收益函數(shù)為：

解：(2)平均收益為：

(3)邊際收益為：

(4)當(dāng)銷售量從15個單位增加到20個單位時收益的平均變化率為：

3、邊際利潤即總利潤函數(shù)L(Q)的導(dǎo)數(shù).經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)已經(jīng)生產(chǎn)了Q個單位產(chǎn)品時,再生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的總利潤.因?yàn)閯t邊際利潤為總利潤＝總收益－總成本，即

邊際利潤可由邊際收入與邊際成本決定，且經(jīng)濟(jì)意義：

如產(chǎn)量已達(dá)到Q，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，所增加的收益大于所增加的成本，總利潤有所增加。

如產(chǎn)量已達(dá)到Q，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，所增加的收益要小于所增加的生產(chǎn)成本，總利潤將減少。

如產(chǎn)量已達(dá)到Q，再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，所增加的收益等于所增加的生產(chǎn)成本，總利潤達(dá)到最大。例4解：經(jīng)濟(jì)解釋：當(dāng)生產(chǎn)量為每月20噸時，再增產(chǎn)一噸，利潤將增加50元，當(dāng)產(chǎn)量為每月25噸時，再增產(chǎn)一噸，利潤不變；當(dāng)產(chǎn)量為35噸時，再增產(chǎn)一噸利潤減少100元。邊際利潤為某工廠對其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后，得出總利潤L(Q)(元)與每月產(chǎn)量Q（噸）的關(guān)系為4、邊際需求即需求量Q對價格P的導(dǎo)數(shù).例5解：經(jīng)濟(jì)意義：巧克力的價格由原10元價再增加1元，每周需求量將減少0.432公斤。三、彈性概念

邊際函數(shù)中,函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對改變量與絕對變化率．在經(jīng)濟(jì)問題中，有時僅知道函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率是不夠的．

例如:

設(shè)有A和B兩種商品，其單價分別為10元和100元．同時提價1元，顯然改變量相同，但提價的百分?jǐn)?shù)大不相同，分別為10%和1%，前者是后者的10倍。

因此有必要研究函數(shù)的相對改變量以及相對變化率，這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為彈性．它定量地反映了一個經(jīng)濟(jì)量(自變量)變動時，另一個經(jīng)濟(jì)量(因變量)隨之變動的靈敏程度，即自變量變動百分之一時，因變量變動的百分?jǐn)?shù)．定義2注:近似四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)1、需求的價格彈性例6解：一般地,需求量是價格的單減函數(shù),因此需求的價格彈性Ed

一般為負(fù)值.有時為討