2023年湖北省武漢市新洲區(qū)雙柳街大埠中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)第一次模擬測(cè)試卷（解析版）

湖北省武漢市新洲區(qū)雙柳街大埠中學(xué)2022－2023學(xué)年第二學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)第一次模擬測(cè)試卷一、選擇題（共30分）1.2022的相反數(shù)是（）A. B. C.2022 D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)解答即可．【詳解】解：2022的相反數(shù)等于，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查的是相反數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．2.“擲一枚質(zhì)地均勻硬幣，正面朝下”．這個(gè)事件是（）A.不可能事件 B.隨機(jī)事件 C.必然事件 D.確定性事件【答案】B【解析】【分析】隨機(jī)事件是在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)；不可能事件是概率論中把在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件，不可能事件的概率為0；必然事件，在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的事件在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱必然事件．必然事件發(fā)生的概率為1，但概率為1的事件不一定為必然事件；確定性事件包括必然事件和不可能事件，根據(jù)概念即可求解．【詳解】解：“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝下”是隨機(jī)事件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查事件的分類，掌握隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件，確定事件的概念即可求解．3.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B．是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義是解答此題的關(guān)鍵．4.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、冪的乘方的法則、積的乘方的法則、同底數(shù)冪的除法法則對(duì)每一項(xiàng)判斷即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：．∵，不同類項(xiàng)，不能合并，∴選項(xiàng)不符合題意；．∵，∴選項(xiàng)符合題意；．∵，∴選項(xiàng)不符合題意；．∵，∴選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)的法則、冪的乘方的法則、積的乘方的法則、同底數(shù)冪的除法法則，熟記對(duì)應(yīng)法則是解題的關(guān)鍵．5.如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小正方體組成，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)左視圖是從左邊看到的圖形進(jìn)行求解即可．【詳解】解：從左邊看該幾何體，上面一層左邊是1個(gè)小正方形，下面一層是2個(gè)小正方形，如圖所示：故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何組合體的三視圖，熟知三視圖的定義是解題的關(guān)鍵．6.若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得到反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，得出A點(diǎn)在第四象限，B、C點(diǎn)在第二象限，最后得出．【詳解】解：在反比例函數(shù)中，，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．，A點(diǎn)在第四象限，B、C點(diǎn)在第二象限，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)k的值得出反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大是解題的關(guān)鍵．7.在一個(gè)不透明口袋中有個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為，充分搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出小球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出其中兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)的和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)的和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為4，所以兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)的和為偶數(shù)的概率為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，注意掌握利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．8.如圖1，四邊形中，，，P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，按的順序在邊上勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖像如圖2所示，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的面積為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】首先結(jié)合圖形和函數(shù)圖像判斷出和，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，從而可得E點(diǎn)坐標(biāo)，然后再計(jì)算出當(dāng)時(shí)直線解析式，然后再代入t的值計(jì)算出s即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：四邊形是梯形，當(dāng)點(diǎn)P從C運(yùn)動(dòng)到D處需要2秒，則，面積為4，則，根據(jù)圖像可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，面積為，則，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒，∴，設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)時(shí)間，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像、三角形面積公式，看懂函數(shù)圖像是解決問題的關(guān)鍵．9.如圖，，是的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，過半徑的中點(diǎn)C作交于點(diǎn)D，若，，則的半徑長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)O作交于M，連接，，由平行線等分線段定理得到，由得，由平行線的性質(zhì)推出得到，由勾股定理即可求出半徑的長(zhǎng)．【詳解】解：過點(diǎn)O作交于M，連接，，∵切于點(diǎn)B，∴半徑，∵，∴，∴，∵，∴，∵切于A，∴半徑，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的半徑長(zhǎng)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，平行線等分線段定理，關(guān)鍵是過點(diǎn)O作交于M，由平行線等分線段定理推出．10.將雙曲線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新雙曲線與直線（）相交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，另一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由于一次函數(shù)y=kx-2-k過定點(diǎn)P（1，-2），P（1，-2）恰好是原點(diǎn)（0，0）向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，將雙曲線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新雙曲線與直線y=kx-2-k（k＞0）相交于兩點(diǎn)，則在沒平移前這兩個(gè)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，表示出坐標(biāo)，根據(jù)中心對(duì)稱兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求出答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx-2-k（k＞0），∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，∴一次函數(shù)圖象過定點(diǎn)P（1，-2），∴P（1，-2）恰好是原點(diǎn)（0，0）向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，∵將雙曲線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新雙曲線與直線y=kx-2-k（k＞0）相交于兩點(diǎn)，∴在沒平移前這兩個(gè)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，平移前，這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a-1，），（，b+2），∴，∴（a-1）（b+2）=-2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解平移之前，相應(yīng)的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（共18分）11.計(jì)算的結(jié)果是__________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【詳解】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得．故答案為：5【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵要學(xué)會(huì)二次根式的性質(zhì)：|a|的運(yùn)用．12.為了了解某班學(xué)生每周做家務(wù)的時(shí)間，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：每周做家務(wù)的時(shí)間（h）011.522.533.54人數(shù)（人）2268121343則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：表中數(shù)據(jù)為從小到大排列，第25個(gè)，第26個(gè)數(shù)都是2.5，因此中位數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)的定義．13.計(jì)算：＝______．【答案】【解析】【分析】先通分，再根據(jù)同分母的分式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式通分和同分母加減運(yùn)算法則，熟練掌握同分母分式加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2km，從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長(zhǎng)）為_____km（精確到0.1）．【答案】3.4．【解析】【詳解】分析:根據(jù)題意在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，設(shè)BD=DE=x，則由AD與CD的關(guān)系和勾股定理可求得x，從而可求得CD的長(zhǎng)．詳解:在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，設(shè)BD=DE=x．∵BD=DE，∴∠EBD=45°，由題意可得∠CAD=45°，∴AD=DC，∵從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22.5°，∴BE=EC，∵AB=AD﹣BD=2km，∴EC=BE=DC﹣DE=2km，∵BD=DE=x，∴CE=BE=x，∴2+x=x+x，解得x=．∴DC=（2+）≈3.4（km）故答案為3.4．點(diǎn)睛:此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，得出BE=EC=2是解題關(guān)鍵．15.已知拋物線的圖象與x軸交于，頂點(diǎn)是，其中.下列結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②③##③②【解析】【分析】分析圖像走勢(shì)可得的正負(fù)性；將已知點(diǎn)代入函數(shù)則可得之間的數(shù)量關(guān)系，然后直接計(jì)算即可．【詳解】解：∵拋物線的圖象與x軸交于，頂點(diǎn)是，其中，∴拋物線開口向下，∴，∵對(duì)稱軸為直線，拋物線與x軸交于，∴，，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸交于，對(duì)稱軸為，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線可知，當(dāng)時(shí)，或0，根據(jù)二次函數(shù)圖象，若，則，故③正確；當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，即，①②得：，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，∴，故④錯(cuò)誤．故正確的序號(hào)為②③．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是直接代值求出系數(shù)之間的關(guān)系，通過等量代換推出不同的結(jié)論．16.如圖，在菱形ABCD中，CD＝6，∠ADC＝60°，在菱形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S菱形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)△APB的邊AB上的高為x，菱形AB邊上的高為y，求得x與y的關(guān)系，得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，過點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于P點(diǎn)，此時(shí)PA+PB最小，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)△APB的邊AB上的高為x，菱形AB邊上的高為y，∵，∴，∴在AD上取AM＝AD，過M點(diǎn)作MN∥AB，則點(diǎn)P在MN上，作A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于P點(diǎn)，如下圖：∵AP＝A'P，∴PA+PB＝A'P+PB＝A'B，此時(shí)PA+PB的值最小，∵CD＝6，∠ADC＝60°，∴∠DAA'＝30°，∴∴，∴AH＝AG＝，∴AA'＝，在Rt△ABA'中，A'B2＝AB2+AA'2，∴A'B2＝62+（）2，∴A'B＝，∴PA+PB的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡．三、解答題（共72分）17.解不等式組，請(qǐng)按下列步驟完成解答：（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：（4）原不等式組的解集為．【答案】（1）（2）（3）見解析（4）【解析】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【小問1詳解】解不等式①，得；故答案為小問2詳解】解不等式②，得；故答案為：【小問3詳解】把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；【小問4詳解】原不等式組的解集為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．18.如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，與交于點(diǎn)G，，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得；（2）根據(jù)可得，根據(jù)可得，因?yàn)?，根?jù)等量代換即可求出．【小問1詳解】證明：，；【小問2詳解】解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.為了解同學(xué)們?cè)诰€閱讀的情況，某校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)他們平均每天的在線閱讀時(shí)間t（單位：分鐘），然后利用所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．組別在線閱讀時(shí)間t人數(shù)A4B8CaD16E2根據(jù)以上圖表，解答下列問題：（1）這次被調(diào)查的同學(xué)共有人，，扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形D的圓心角的度數(shù)為；（2）若該校有1500名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)全校有多少學(xué)生平均每天的在線閱讀時(shí)間不少于50分鐘？【答案】（1）50，20，（2）1140人【解析】【分析】（1）用B組的人數(shù)除以B組所占的百分比，即可求出總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)乘以C組所占的百分比，即可求出a，用總?cè)藬?shù)乘以D組所占的百分比即可求出扇形D的圓心角的度數(shù)；（2）用全校人數(shù)乘以每天的在線閱讀時(shí)間不少于50分鐘的學(xué)生所占的百分比，即可求解．【小問1詳解】解：這次被調(diào)查的同學(xué)共有（人），∴，扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形D的圓心角的度數(shù)為：，故答案為：50，20，；【小問2詳解】（人），答：估計(jì)全校學(xué)生平均每天在線閱讀時(shí)間不少于50分鐘的有1140人．【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體．讀懂統(tǒng)計(jì)表，從不同的統(tǒng)計(jì)圖表中得到必要的信息是解題的關(guān)鍵．20.如圖，AC是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，四邊形ABCD是平行四邊形，BC交⊙O于點(diǎn)E（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若BE=9cm，弦CE的長(zhǎng)為16cm，求⊙O的半徑長(zhǎng)；【答案】（1）證明見解析（2）10cm【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的定義可得出∠BAC=90°，由平行四邊形的性質(zhì)可得出AB//CD，利用平行線的性質(zhì)可得出∠ACD=90°，再結(jié)合切線的定義可證出直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C；（2）連接AE，由∠AEC=90°=∠BAC，∠ACE=∠BCA可得出△ACE∽△BCA，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AC的長(zhǎng)．【小問1詳解】∵AC是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴AC⊥AB，∵AB//CD，∴CD⊥AC，∴直線CD是⊙O的切線；【小問2詳解】連接AE，如圖所示∵AC是⊙O的直徑,AB與⊙O相切于點(diǎn)A，，AC⊥AB∵BE=9cm，CE=16cm即半徑為10cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21.如圖是由小正方形組成的7×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖中的點(diǎn)，，均為格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，結(jié)果用實(shí)線表示．（1）在圖1中，先以為對(duì)角線畫出一個(gè)面積為的菱形，再過點(diǎn)畫直線，使平分菱形的面積；（2）在圖2中，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,與交于點(diǎn)，再將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，分別畫出線段及點(diǎn)．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的面積公式，得出，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，作出，順次連接得到菱形，設(shè)交于點(diǎn)，作直線即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出，與交于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出，取,即可求解．【小問1詳解】解：如圖，四邊形，直線即為所求，【小問2詳解】如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出，與交于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出，取,則線段及點(diǎn)即為所求．理由如下，∵，，，∴，∴，∵,∵，∴，∴，則，即，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了無刻度直尺作圖，菱形的性質(zhì)，相似三角形的性與判定，正弦的定義，勾股定理與網(wǎng)格問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22.某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖1所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位都是萬元）．（1）直接寫出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？（3）在（2）的基礎(chǔ)上要保證獲利不低于萬元，該園林專業(yè)戶至少應(yīng)投資種植花卉萬元．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）；（2）他至少獲得萬元利潤(rùn)，他能獲取的最大利潤(rùn)是萬元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖示1，設(shè)，函數(shù)的圖像過，由圖2所示，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，設(shè)，函數(shù)的圖像過，由此即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)種植花卉萬元（），則投入種植樹木萬元，設(shè)利潤(rùn)為萬元，由此列方程，分類討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，由此即可求解；（3）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，代入（2）中利潤(rùn)的式子，即可求出該園林專業(yè)戶投資種植花卉的至少投資量．【小問1詳解】解：由圖1所示，設(shè)，函數(shù)的圖像過，∴，∴，且，故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；由圖2所示，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，∴設(shè)，函數(shù)的圖像過，∴，∴，且，故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是．【小問2詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)種植花卉萬元（），則投入種植樹木萬元，設(shè)利潤(rùn)為萬元，∴，∵二次函數(shù)圖像開口向上，且，∴當(dāng)時(shí)，的最小值是；∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；∴當(dāng)時(shí)，的最大值是；∴他至少獲得萬元利潤(rùn)，他能獲取的最大利潤(rùn)是萬元．【小問3詳解】解：由（2）可知，，獲利不低于萬元，∴，∴（舍去）或，∵以8萬元資金投入種植花卉和樹木，∴，∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，故該園林專業(yè)戶至少應(yīng)投資種植花卉萬元，獲利不低于萬元，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的綜合，理解題目中的圖示，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)式求解是解題的關(guān)鍵．23.已知是等邊三角形，是直線上的一點(diǎn)．（1）問題背景：如圖，點(diǎn)，分別邊，上，且，與交于點(diǎn)，求證：；（2）點(diǎn)，分別在邊，上，與交于點(diǎn)，且．①嘗試運(yùn)用：如圖，點(diǎn)在邊上，且，求的值；②類比拓展：如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，直接寫出的值．【答案】（1）見解析（2）①；②或【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得證；（2）①在上截取，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，,證明，設(shè)，，則，證明得出，即可求解；②延長(zhǎng)至，使，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，，設(shè)，，則，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)