高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型題型專題講解與練習(xí)88-條件概率與全概率公式

1/37高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型題型專題講解與練習(xí)專題88條件概率與全概率公式題型一利用定義求條件概率例1．（2022·全國(guó)·高二高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型題型專題講解與練習(xí)專題練習(xí)）2022年6月14日是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個(gè)粽子，其中兩個(gè)蜜棗餡，三個(gè)豆沙餡，王華隨機(jī)拿了兩個(gè)粽子，若已知王華拿到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為蜜棗餡的概率為(

)A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為蜜棗餡”，計(jì)算(A)、的值，從而．【詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為蜜棗餡”，則(A)，，．故選：A．規(guī)律方法利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，這個(gè)公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時(shí)發(fā)生．例2．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A=“三個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，B=“甲去了第一個(gè)景點(diǎn)”，如果甲、乙、丙互不相識(shí)，求．【答案】【解析】【分析】這是求甲去第一個(gè)景點(diǎn)的前提下，三個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同的條件概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】甲去了第一個(gè)景點(diǎn)，則有1個(gè)景點(diǎn)可選，乙丙能在三個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為種，所以甲去了第一個(gè)景點(diǎn)的可能性為種，因?yàn)槿齻€(gè)人去的景點(diǎn)不同的可能性為種，所以.例3．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地4月份的任一天吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為．求4月7日在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率．【答案】【解析】【分析】設(shè)事件表示吹東風(fēng)，事件表示下雨，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)事件表示吹東風(fēng)，事件表示下雨，則，所以在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為.題型二條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用例4．（2022·山東德州·高二期末）已知某電器市場(chǎng)由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．(1)現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；(2)現(xiàn)從市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買一臺(tái)該電器，則買到的是合格品的概率為多少？【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率和合格率，由條件概率公式計(jì)算可得.(1)記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個(gè)事件相互獨(dú)立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．(2)記事件B為購(gòu)買的電器合格，記隨機(jī)買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個(gè)品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買一臺(tái)電器，買到的是合格品的概率為．規(guī)律方法當(dāng)所求事件的概率相對(duì)較復(fù)雜時(shí)，往往把該事件分成兩個(gè)(或多個(gè))互不相容的較簡(jiǎn)單的事件之和，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得較復(fù)雜事件的概率．例5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)事件A，B，，，，求，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式及其變形求解即可．【詳解】由條件概率公式得：．．例6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，已知第1車間生產(chǎn)產(chǎn)品的合格品率為0.85，第2車間生產(chǎn)產(chǎn)品的合格品率為0.88，兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里且無(wú)區(qū)分標(biāo)志，假設(shè)第1，2車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的數(shù)量之比為2：3.今有一客戶從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，求該產(chǎn)品是合格品的概率.【答案】0.868【解析】【分析】利用條件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)表示從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提出的一臺(tái)產(chǎn)品是合格品，表示從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提出的一臺(tái)產(chǎn)品是第車間生產(chǎn)的，，則.由題意，知，，，由全概率公式，得.題型三全概率公式例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）袋中有10個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個(gè)，白球7個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到紅球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（Ⅲ）第二次摸到紅球的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）求出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)，從而可得所求的概率．（Ⅱ）第一次摸到紅球后，還余下個(gè)紅球和個(gè)白球，同（Ⅰ）可求概率．（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到紅球的概率．【詳解】設(shè)事件：第一次摸到紅球；事件：第二次摸到紅球，則事件：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次從10個(gè)球中摸一個(gè)共10種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共3種，所以.（Ⅱ）第一次摸到紅球的條件下，剩下的9個(gè)球中有2個(gè)紅球，7個(gè)白球，第二次從這9個(gè)球中摸一個(gè)共9種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共2種.所以.（Ⅲ）.所以第二次摸到紅球的概率.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用全概率公式計(jì)算隨機(jī)事件的概率時(shí)，注意把隨機(jī)事件分解為兩個(gè)隨機(jī)事件和，再利用條件概率公式計(jì)算兩者的概率即可．規(guī)律方法全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率，它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用．例8．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）現(xiàn)將兩個(gè)班的藝術(shù)類考生報(bào)名表分別裝進(jìn)2個(gè)檔案袋，第一個(gè)檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報(bào)名表，第二個(gè)檔案袋內(nèi)有5名男生和5名女生的報(bào)名表．隨機(jī)選擇一個(gè)檔案袋，然后從中隨機(jī)抽取2份報(bào)名表．(1)若選擇的是第一個(gè)檔案袋，求從中抽到兩名男生報(bào)名表的概率；(2)求抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生的概率．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）選擇的是第一個(gè)檔案袋，從中隨機(jī)抽取2份報(bào)名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報(bào)名表包含的基本事件個(gè)數(shù)為，由此能求出從中抽到兩名男生報(bào)名表的概率；（2）設(shè)事件表示抽取到第個(gè)檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生的概率．(1)（1）第一個(gè)檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報(bào)名表，選擇的是第一個(gè)檔案袋，從中隨機(jī)抽取2份報(bào)名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報(bào)名表包含的基本事件個(gè)數(shù)為，從中抽到兩名男生報(bào)名表的概率．(2)設(shè)事件表示抽取到第個(gè)檔案袋，，設(shè)事件表示抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報(bào)名表是一名男生一名女生的概率為：．例9．（2022·山東·德州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）今年中國(guó)共產(chǎn)黨迎來(lái)了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某區(qū)組織了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三所學(xué)?；卮鹨坏烙嘘P(guān)紅色革命根據(jù)地建立時(shí)間的問(wèn)題，已知甲校回答正確這道題的概率為，甲、丙兩所學(xué)校都回答正確這道題的概率是，乙、丙兩所學(xué)校都回答正確這道題的概率是.若各學(xué)?；卮疬@道題是否正確是互不影響的.(1)若規(guī)定三個(gè)學(xué)校都需要回答這個(gè)問(wèn)題，求甲、乙、丙三所學(xué)校中至少1所學(xué)?；卮鹫_這道題的概率；(2)若規(guī)定三所學(xué)校需要搶答這道題，已知甲校搶到答題機(jī)會(huì)的概率為，乙校搶到的概率為，丙校搶到的概率為，求這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙、丙3校答對(duì)這道題的概率分別為，，，利用獨(dú)立事件的概率公式結(jié)合題干條件列出方程，求解，，再利用對(duì)立事件的概率公式，即得解；（2）利用全概率公式結(jié)合題干條件，即得解(1)記甲、乙、丙3校獨(dú)自答對(duì)這道題分別為事件，，，分別設(shè)甲、乙、丙3校答對(duì)這道題的概率分別為，，，由于每人回答問(wèn)題正確與否是相互獨(dú)立的，因此，，是相互獨(dú)立事件由題意可知，，，解得，.所以，乙答對(duì)這道題的概率為，丙答對(duì)這道題的概率為.甲、乙、丙三所學(xué)校中至少1所學(xué)校回答正確為事件，則概率為，其反面是三所學(xué)校都回答錯(cuò)誤，即則三所學(xué)校中至少1所學(xué)?；卮鹫_的概率為；(2)若規(guī)定三所學(xué)校需要搶答這道題，則這個(gè)問(wèn)題回答正確設(shè)為事件，得到搶答機(jī)會(huì)分別是事件，，，則，，，，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為.題型四貝葉斯公式例10．（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)的志愿者中，來(lái)自甲、乙、丙三所高校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名.(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率；(2)先從三所高校中任選一所，再?gòu)倪@所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出這三名志愿者全是學(xué)生和全是教職工的概率，再由對(duì)立事件的概率關(guān)系可得答案（2）設(shè)事件D為這名志愿者是教職工志愿者，事件為選甲高校，事件為選乙高校，事件為選丙高校,由全概率公式可得答案.(1)設(shè)事件A為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是學(xué)生，則；設(shè)事件B為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是教職工，則；設(shè)事件C為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工，則.(2)設(shè)事件D為這名志愿者是教職工志愿者，事件為選甲高校，事件為選乙高校，事件為選丙高校.，，，.所以這名志愿者是教職工志愿者的概率為：規(guī)律方法此類問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小．例11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車與客車的數(shù)量之比是1：2，貨車中途停車修車的概率為0.02，客車中途停車修車的概率為0.01．今有一輛汽車中途停車修理，求該車是貨車的概率．【答案】．【解析】【分析】由全概率公式計(jì)算出停車修理的概率，再由貝葉斯公式計(jì)算出結(jié)論．【詳解】記事件為經(jīng)過(guò)的車是貨車，事件是經(jīng)過(guò)車是客車，事件是停車修理．，，，，，所以.例12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)，，，某打字員使用各臺(tái)打字機(jī)打字的概率依次為0.6，0.3，0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01，0.05，0.04.已知該打字員因打字機(jī)發(fā)生故障而耽誤了工作進(jìn)度，求該打字員使用，，打字的概率分別為多少.【答案】0.24；0.6；0.16【解析】【分析】設(shè)“該打字員因打字機(jī)發(fā)生故障而耽誤了工作進(jìn)度”為事件，“該打字員用打字”為事件，“該打字員用打字”為事件，“該打字員用打字”為事件，則根據(jù)全概率公式與貝葉斯公式求解即可【詳解】設(shè)“該打字員因打字機(jī)發(fā)生故障而耽誤了工作進(jìn)度”為事件，“該打字員用打字”為事件，“該打字員用打字”為事件，“該打字員用打字”為事件，則根據(jù)全概率公式有，根據(jù)貝葉斯公式，可得該打字員使用，，打字的概率分別為：，，.題型五全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用例13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)字通訊中，信號(hào)是由數(shù)字0和1的長(zhǎng)序列組成的，由于隨機(jī)干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1各有可能錯(cuò)誤接收為1或0．現(xiàn)假設(shè)發(fā)送信號(hào)為0和1的概率均為；又已知發(fā)送信號(hào)為0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.7和0.3，發(fā)送信號(hào)為1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1．求已知收到信號(hào)0時(shí)，發(fā)出的信號(hào)是0（即沒(méi)有錯(cuò)誤接收）的概率．【答案】0.875【解析】【分析】設(shè)事件“發(fā)送信號(hào)為0”，事件“發(fā)送信號(hào)為1”，事件“收到信號(hào)為0”，事件“收到信號(hào)為1”，根據(jù)題意可得與構(gòu)成一完備事件組，分別求出，，，再根據(jù)求得，再利用貝葉斯公式即可求出答案.【詳解】解：設(shè)事件“發(fā)送信號(hào)為0”，事件“發(fā)送信號(hào)為1”，事件“收到信號(hào)為0”，事件“收到信號(hào)為1”．因?yàn)槭盏叫盘?hào)為0時(shí)，除來(lái)自發(fā)送信號(hào)為0外，還有發(fā)送信號(hào)為1時(shí)，由于干擾接收的信號(hào)0，因此導(dǎo)致事件發(fā)生的原因有事件與，且它們互不相容，故與構(gòu)成一完備事件組．由題意有，，，故．由貝葉斯公式得收到信號(hào)0時(shí)，發(fā)出的信號(hào)是0的概率為．規(guī)律方法P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì)，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫(huà)了這種變化．例14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為，，．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任抽取一個(gè)人，假設(shè)每個(gè)人來(lái)自三個(gè)地區(qū)的可能性相同．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人來(lái)自乙地區(qū)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用貝葉斯概率公式可得，即可求概率.【詳解】（1）由題意，所抽取的人感染此病的概率.（2）若分別表示來(lái)自甲、乙、丙的事件，表示感染此病的事件，∴此人感染此病且來(lái)自乙地區(qū)的概率.例15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間，它們生產(chǎn)同一種工件，每個(gè)車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%，35%，40%，它們的次品率依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從這批工件中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲車間生產(chǎn)的概率．（精確到0.01）【答案】(1)0.0345；(2)0.36.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合條件概率計(jì)算公式，即可求解.(1)設(shè)事件，，分別表示取出的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，A表示“取到的是次品.易知，，兩兩互斥，根據(jù)全概率公式，可得．故取到次品的概率為0.0345．(2)．故已知取到的是次品，它是甲車間生產(chǎn)的概率為0.36．例16．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)字通信中心信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的．(1)分別求接收的信號(hào)為0和1的概率；(2)已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)是1的概率．【答案】(1)0.475，0.525(2)【解析】【分析】（1）由全概率公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算．（2）由條件概率公式計(jì)算．(1)設(shè)“發(fā)送的信號(hào)為0”，“接收到的信號(hào)為0”，則“發(fā)送的信號(hào)為1”，“接收到的信號(hào)為1”．由題意得，，，，．；．(2)．例17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂都是一個(gè)分裂成兩個(gè)）和死亡的概率相同．如果一個(gè)種群從這樣一個(gè)細(xì)胞開(kāi)始變化，那么這個(gè)種群最終滅絕的概率是多少？【答案】【解析】【分析】求出不分裂就滅絕，分裂1次，2次和3次滅絕的概率，4次以上，概率很小忽略不計(jì)，把不分裂和分裂前3次加起來(lái)作為這個(gè)種群最終滅絕的概率，需要用到條件概率【詳解】由題意得：該細(xì)胞分裂和死亡的概率均為，設(shè)這個(gè)種群最終滅絕是事件A，其中沒(méi)有分裂就滅絕為事件，分裂一次后滅絕為事件，分裂兩次后滅絕為事件，分裂三次后滅絕為事件，……，其中，，若分裂n次后種群最終滅絕，則故當(dāng)時(shí)，，隨著的增大，變得特別小，可忽略不計(jì)，故【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·山東濟(jì)寧·一模）甲?乙兩個(gè)箱子里各裝有5個(gè)大小形狀都相同的球，其中甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則取出的球是紅球的概率為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件表示從甲箱中隨機(jī)取出一紅球放入乙箱中，事件表示從甲箱中隨機(jī)取出一白球放入乙箱中，設(shè)事件表示：從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則取出的球是紅球，則有：，所以，故選：B2．（2022·山東菏澤·一模）第24屆冬奧會(huì)奧運(yùn)村有智能餐廳A、人工餐廳B，運(yùn)動(dòng)員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38【答案】A【解析】【分析】第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個(gè)互斥事件的并，利用全概率公式求解.【詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥，根據(jù)題意得：，，，則.故選：A.3．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）太行山脈有很多優(yōu)美的旅游景點(diǎn).現(xiàn)有甲?乙兩位游客慕名來(lái)到太行山脈，都準(zhǔn)備從C?D?E?F，4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.設(shè)事件A為“甲和乙至少一人選擇C”，事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則條件概率（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由獨(dú)立乘法公式、互斥事件加法公式求、，再利用條件概率公式求即可.【詳解】由題設(shè)，甲乙選景點(diǎn)C的概率為，選其它景點(diǎn)的概率為，則，，所以.故選：D4．（2022·江蘇高郵·高三開(kāi)學(xué)考試）某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率．【詳解】某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），在男生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)：，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是．故選：C.5．（2022·廣東深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”是互斥事件B．事件“該家庭3個(gè)孩子都是男孩”和事件“該家庭3個(gè)孩子都是女孩”是對(duì)立事件C．該家庭3個(gè)小孩中只有1個(gè)男孩的概率為D．當(dāng)已知該家庭3個(gè)小孩中有男孩的條件下，3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩的概率為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念判斷A、B；利用列舉法求出只有一個(gè)男孩的概率，即可判斷C；利用條件概率的求法計(jì)算，即可判斷D.【詳解】A：假設(shè)事件A：該家庭3個(gè)小孩至少有1個(gè)女孩，則包含(女，男，男)的可能，事件B：該家庭3個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩，則包含(女，女，男)的可能，所以，故A錯(cuò)誤；B：事件“3個(gè)孩子都是男孩”與事件“3個(gè)孩子都是女孩”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；C：3個(gè)小孩可能發(fā)生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8種，其中只有一個(gè)男孩的概率為：，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)M={至少一個(gè)有男孩}，N={至少有2個(gè)男孩}，由選項(xiàng)C可知，，所以，故D正確.故選：D6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從3個(gè)“0”和3個(gè)“1”中任選3個(gè)組成三位數(shù)組，若用A表示“第二位數(shù)字為‘0’的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為‘0’的事件”，則等于（

）.A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：由“0”“1”組成的三位數(shù)組共有（個(gè)），第一位數(shù)字為“0”的三位數(shù)組有（個(gè)），則，第一位和第二位數(shù)字均為“0”的三位數(shù)組有2個(gè)，則，所以.故選：C.7．（2022·安徽亳州·高二期末）某種疾病的患病率為0.5%，通過(guò)驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性，患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性，隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的概率為（

）A．0.0689B．0.049C．0.0248D．0.02【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可求出．【詳解】隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的概率為0.0248．故選：C．8．（2022·全國(guó)·高二）深受廣大球迷喜愛(ài)的某支足球隊(duì)在對(duì)球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2．當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為（

）A．0.3B．0.32C．0.68D．0.7【答案】C【解析】【分析】利用全概率公式可求球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率.【詳解】設(shè)表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”，表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”，表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”，表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”，B表示“當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，球隊(duì)輸球”．則，所以當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為．故選：C．二、多選題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）有兩個(gè)箱子，第1個(gè)箱子有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，第2個(gè)箱子有4個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里，再?gòu)牡?個(gè)箱子中隨機(jī)取1個(gè)球放到第1個(gè)箱子里，則下列判斷正確的是（

）A．從第2個(gè)箱子里取出的球是白球的概率為B．從第2個(gè)箱子里取出的球是紅球的概率為C．從第2個(gè)箱子里取出的球是白球前提下，則再?gòu)牡?個(gè)箱子里取出的是白球的概率為D．兩次取出的球顏色不同的概率為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于ABD，根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解，對(duì)于C，根據(jù)條件概率的公式求解即可【詳解】從第2個(gè)箱子里取出的球是白球的概率為，故選項(xiàng)A正確；從第2個(gè)箱子里取出的球是紅球的概率為，故選項(xiàng)B正確；設(shè)從第2個(gè)箱子取出的球是白球?yàn)槭录?，再?gòu)牡?個(gè)箱子取出的球是白球?yàn)槭录?，則，故選項(xiàng)C正確；兩次取出的球顏色不同的概率為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.10．（2022·山東·青島二中高三開(kāi)學(xué)考試）從有大小和質(zhì)地相同的3個(gè)紅球和2個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，則（

）．A．第一次摸到紅球的概率為B．第二次摸到紅球的概率為C．在第一次摸到藍(lán)球的條件下，第二次摸到紅球的概率為D．在前兩次都摸到藍(lán)球的條件下，第三次摸到紅球的概率為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)對(duì)古典概型的理解直接計(jì)算，即可判斷A；根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式直接計(jì)算，即可判斷B；根據(jù)對(duì)條件概率的理解，即可判斷C、D.【詳解】第一次摸到紅球的概率為，則A正確；第二次摸到紅球的概率為，則B正確；在第一次摸到藍(lán)球的條件下，第二次摸到紅球，相當(dāng)于從4個(gè)球中摸出1個(gè)紅球，其概率為，則C錯(cuò)誤；在前兩次都摸到藍(lán)球的條件下，第三次摸到紅球相當(dāng)于從3個(gè)球中摸出1個(gè)紅球，其概率為1，則D錯(cuò)誤．故選：AB．11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）箱子中有6個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球．每次從箱子中隨機(jī)的摸出一個(gè)球，摸出的球不放回．設(shè)事件A表示“第1次摸球，摸到紅球”，事件B表示“第2次摸球，摸到紅球”則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】【分析】利用條件概率及全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，A正確；PBA由全概率公式可知：所以BC錯(cuò)誤，D正確.故選：AD12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．第一次就接通電話的概率是B．若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則第一次就接通電話的概率是C．撥號(hào)不超過(guò)三次接通電話的概率是D．若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則撥號(hào)不超過(guò)三次接通電話的概率是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合古典概率與條件概率，以及互斥事件概率的“加法”與“乘法”計(jì)算公式，一一判斷即可.【詳解】設(shè)表示“第i次接通電話”，，2，3，…，10；表示“撥號(hào)不超過(guò)3次接通電話”．由題意，知，選項(xiàng)A正確；若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則第一次就接通電話的概率是，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；事件，則，選項(xiàng)C正確；若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．三、填空題13．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）袋中裝有編號(hào)為的個(gè)球，先從袋中一次性任取兩個(gè)球，在取出的兩個(gè)球編號(hào)之和為偶數(shù)的條件下，號(hào)球被取出的概率為_(kāi)______________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】記事件為“取出的兩個(gè)球編號(hào)之和為偶數(shù)”，事件為“號(hào)球被取出”，則，，，即在取出的兩個(gè)球編號(hào)之和為偶數(shù)的條件下，號(hào)球被取出的概率為.故答案為：.14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知袋子內(nèi)有7個(gè)球，其中4個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中不放回地依次抽取2個(gè)球，那么在已知第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率是______.【答案】##【解析】【分析】記“第一次抽到紅球”為事件，記“第二次抽到紅球”為事件,分別求出和的概率，利用條件概率的公式即可求解.【詳解】記“第一次抽到紅球”為事件，記“第二次抽到紅球”為事件,∵,,∴已知第一次抽到紅球的條件下，第二次也抽到紅球的概率是.故答案為：.15．（2022·遼寧·瓦房店市高級(jí)中學(xué)高二期末）已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲?乙兩地下雨相互獨(dú)立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為_(kāi)__________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設(shè)A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p(0<p≤1)，則，因?yàn)榧滓覂傻叵掠晗嗷オ?dú)立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.16．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題，學(xué)生小王能完整做對(duì)其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道完全沒(méi)有思路，有思路的題做對(duì)的概率為，沒(méi)有思路的題只好從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案．小王從這8題中任選1題，則他做對(duì)的概率為_(kāi)__________．【答案】##0.84375【解析】【分析】合理設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)小王從這8題中任選1題，且作對(duì)為事件A，選到能完整做對(duì)的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒(méi)有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：PA=P故答案為：四、解答題17．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：(1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率；(2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】先求出所有可能的事件的總數(shù)，及事件，事件，事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率計(jì)算公式，可得答案．(1)解：拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件的基本事件數(shù)為，（A），由于，，，，所以事件的基本事件數(shù)為，（B），事件同時(shí)發(fā)生的概率為，，由條件概率公式，得；(2)解：由（1）得．18．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．【答案】【解析】【分析】列舉出甲抽到奇數(shù)所有的可能情況，再計(jì)算出其