2023人教版新教材B版高中數(shù)學必修第三冊同步練習-第七章 三角函數(shù)

第七章三角函數(shù)

（全卷滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.已知角a的終邊經(jīng)過點P（-3,4tan等），則sina=（）

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

2.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，順利將探測

器送入預定軌道，經(jīng)過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環(huán)月

軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月表400千米,

已知月球半徑約為1738千米，則嫦娥五號繞月每旋轉殳瓜度飛過的路程約為（兀句.14）（）

A.1069千米B.1119千米

C.2138千米D.2238千米

3.設tan(5無+a)=〃7(aHkn+?%eZ),則‘嗎3：)+CO：(TT：)的值為(

\2/sin(-a)-cos(n+a))

A.—B.-C.-lD.l

m-1m+1

4.函數(shù)./（x）=鬻在［-兀河上的圖象大致為（）

5.已知cos償+a)=],且-兀則cos(a—§=()

C.-1D.i

3333

6.已知6且sin夕+cos敘|,貝ijsin。-cos0=()

A..包B,包C.4D.叵

3333

7.已知函數(shù)y（x）=2sin（a>x+0）+l（a>>0,\（p\<1）&）=-：!J（￡）=3,若|a/|的最小值為拳且於）的圖象

關于點弓,1）對稱,則函數(shù)/U）圖象的所有對稱軸中，離原點最近的對稱軸方程是（）

A.x=--B.x=--C.x=-D.x=-

42124

8.設函數(shù)危）=Asin（ft）x+9乂A>0,3>0,⑼<1）在區(qū)間長弓]上單調，且尼）=

./得）=無）,當戶卻寸於）取到最大值2,若將函數(shù)於）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍

得到函數(shù)g（?的圖象，則不等式g（x）>l的解集為（）

A.（—-+2/CTT,—+2/CTC）次6ZB.（-]+2/CTI,—+2/CTT）,ZWZ

C.（——+2.ku,—+2/CTT）火eZD,（-]+2/cn,—+2kn）,左GZ

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目

要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法錯誤的是（）

A.15。角與735。角的終邊相同

B.若一扇形的圓心角為15。,半徑為3cm,則該扇形的面積為到cn?

4

C.若a是銳角，則角2a為鈍角

D.-?是第二象限角

10.給出下列四個結論，其中正確的結論是（）

A.sin（7i+a）=-sina成立的條件是角a是銳角

B.若cos（〃無-a）=[（aez）,貝!!cosa=1

C.若a丹（%GZ）,則tan得+a）=^

D.若sina+cosa=l,則sin〃a+cos"（z=l（〃￡N*）

11.已知函數(shù)/（x）Wsin（x+；）+cos（x下列說法中正確的是（）

A./U）=/in（x+%）

B.函數(shù)人x）的最大值為:

C.函數(shù)/（X）的最小正周期是71

Da）在（-記）上單調遞增

12.已知函數(shù)/U）=sin（0x+s）（①〉0,0<3<無入將產(chǎn)/沁的圖象上所有的點向右平移半個單位,然后將

橫坐標縮短到原來的3縱坐標不變），得到函數(shù)產(chǎn)g（x）的圖象若g（x）為偶函數(shù)，且最小正周期為今

則下列說法正確的是（）

A.府）的圖象關于6,0）對稱

B次x）在（0,工）上單調遞減

C.g（x）m的解集為長+TW+外QZ

D.方程火x）=g仔）在（0,書上有且只有兩個相異實根

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題中橫線上）

13.已知"r）=sinx+tan尢+x-1,若式々）=3,則/（-?）=.

14.設0>0,函數(shù)產(chǎn)sin（wc+以+2的圖象向右平移雪個單位后得到的圖象與原圖象重合，則①的

最小值是.

15.函數(shù)/（x）=Asin（2尤+夕乂4>0,\（p\<的部分圖象如圖所示，對于任意的尤g可。力］，若

.*X1）=*X2）1Axi+X2）=或，則（p等于.

16.對任意兩個實數(shù)a力，定義運算"max{a,/?}"如下:max{a,/?}=，j°?則關于函數(shù)y（x）=max{sin

fCLDf

X,cosx}的說法正確的是.（填序號）

①函數(shù)於）的值域為卜率斗

②函數(shù)7U）圖象的對稱軸為x=kn+^,kGZ;

4

③函數(shù);（x）是周期函數(shù)；

④當且僅當x=2E（MZ）時,函數(shù)於）取得最大值1;

⑤當2E<x<2E嚀時,*x）<0.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

sin(3n-a)cos(2n-a)sin(芋-a)

17.(10分)已知/a)=

cos(TC-a)sin(-Tt-a)

⑴化簡加);

(2)若a是第二象限角，且cos(]+a)=[,求/(a)的值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=Asin(a>x+s”A>OM>O，T<S<]在一個周期內的圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)式x)的最小正周期T及?r)的解析式；

(2)求函數(shù)人犬)的圖象的對稱軸方程及單調遞增區(qū)間；

(3)將火幻的圖象向右平移g個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標

不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)=a-l在xG卷,：]上有兩個不同的解,求實數(shù)a的取值范圍.

19.(12分)在下面3個條件中任選一個,補充在下面的橫線上，然后解答.

①函數(shù)式只的圖象向右平移工個單位后所得圖象關于y軸對稱;②函數(shù)>=/(%+習是奇函數(shù);③

當戶工時，函數(shù)y-j(x-習取得最大值.

已知函數(shù)於)=2sin(3x+/),①>0,|夕|與其圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為.

(1)求函數(shù))，=/>)的解析式；

⑵求函數(shù)y=/(x)在卜(1上的最小值,并寫出取得最小值時x的值.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

20.(12分)用“五點法”畫函數(shù)段)=Asin((wx+9)(A>0⑷>0)在同一個周期內的圖象時,某同學列表并

填入的數(shù)據(jù)如下：

7127r

Xx\X2X3

6T

7T37r

cox+（p0兀2兀

2T

Asin（ftzx+。）020-20

(1)求尤1用,X3的值及函數(shù)/U)的解析式；

(2)已知函數(shù)g(x)=/償+以。>0),若函數(shù)g(x)在區(qū)間［-號用上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值.

21.(12分)已知某摩天輪的直徑為120米，摩天輪的最高點距地面128米，摩天輪按逆時針方向勻

速轉動，每轉動一圈需要，分鐘，若小夏同學從摩天輪的最低點處登上摩天輪，從小夏登上摩天輪

的時刻開始計時.

(1)求小夏與地面的距離y(米)與時間式分鐘)的函數(shù)關系式；

(2)在摩天輪轉動一圈的過程中，小夏距地面不低于98米的時間不少g分鐘，求t的最小值.

22.(12分)函數(shù)大只=4;皿("+夕乂?1>0,3>0,［初<J)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)7W的圖象

向右平移;個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴當XGE,罷］時，求g(x)的值域；

⑵令P(x)yx)-3,若對任意x都有/(x)F-(2+m)F(x)+2+〃W0恒成立，求m的最大值.

■y

—IT77r

Z^<3TTZ.

答案與解析

第七章三角函數(shù)

1.D*/4tan等=4tan(3n+^=4tan：=4,；.P(-3,4).

根據(jù)三角函數(shù)的定義得0(-3)2+42=5,sina'.故選D.

2.D嫦娥五號繞月飛行的半徑為400+1738=2138（千米），所以嫦娥五號繞月每旋轉］弧度飛過

的路程為較2138~^X2138=2238（千米）.故選D.

3.A由誘導公式可得m=tan（57i+a）=tana.

所以sin(a-3Tt)+cos(7T-a)_-sina-cosa_tana+l_zn+l故選、

sin(-a)-cos(ir+a)-sina+cosatana-1m-1

4.D㈤*鬲=罷善=")/0-兀川,.../)是偶函數(shù),排除A、

?lr、,3n|.3n

cG)=s；1t)2：=；：￥<0,?.?排除B.故選D.

"+1W+i

5.Avg+a)-(a-￡)吟咤=管+。然

,.IT,7n5nTT

.-7C<a<—,.?--<—+ot<-——.

2121212

?/cos償+a)=；,?，?sin償+

.?.cos(a-￡)=cos［管+a)—柒sin管+a)=一手.故選A.

6.A因為(sin8+cos^)2=sin20+cos2^+2sinOcos生高，所以2sin夕cos9=

.因為夕￡(―；彳)，所以^<0,cos<9>0,所以sin仇cosOvO.易得(sin9-cos^)2=sin26/+cos2^-

2sin0cosG1+二之所以sin仇cos族■士.故選A.

993

7.B由題意得最小正周期丁=3兀,J°二與二泉

?\Ax）=2sin（|x+w）+L

?.D的圖象關于點1）對稱,.??尼）=2sinGX；+卬）+1=1,即sinQ+9）=0,

??.U+9=E,&￡Z,即（p=：+kn,keZ.

66

,??M<5，，S=?..\Ax）=2sin（，-勻+L

令次ez,解得尸兀+1%兀次?2.當k=-l時產(chǎn)-，當^=0時產(chǎn)兀,.,.離原點最近的對稱軸方程

為.故選B.

8.A.?&）在區(qū)間［討］上單調，可吟黑，即7>y,

BP0<w<3.

a）3

直線X空是函數(shù)段）圖象的一條對稱軸.

；/（習=二/0）,二6,0）是函數(shù)/（幻圖象的一個對稱中心.

???樗,專和&0）是函數(shù)於）圖象相鄰的對稱軸和對稱中心,???§<甘若，解得所）

,/函數(shù)凡r）的最大值為2,.；*x）=2sin（2x+s）.

當戶全時段）取到最大值2,

/?2x；^+9=；+2Z?；饂Z,?\9=^+2女兀火WZ.

\（p\<^,s=g..\Ax）=2sin（2%+詈

根據(jù)題意可知g（x）=2sin（x4-以，

，g（x）>l,即2sin（x+1）>1,即sin（%+

^+2kn<x+^<^-+2kn,keZ,解得?+2E<x<:2E#GZ.

.'..?（%）>1的解集是（一,+2Mt（+2Mr）,ZWZ.故選A.

9.BC735。-360味2=15。,故15。角與735。角的終邊相同，故A中說法正確.

扇形的面積為:x^x32=*（cm2）,故B中說法錯誤.

21808

若a三，則2a《，不是鈍角，故C中說法錯誤.

42

-?=-2兀+?,?是第二象限角,故--是第二象限角.故D中說法正確.

6666

10.CD由誘導公式知，當a￡RB寸,sin（兀+a）=-sina,所以A錯誤.

當（攵￡Z）口寸,cos（〃兀-a）=cos（-a）=cos氏此時cosa=1;

當〃=2Z+1（%￡Z）時,cos（〃兀-a）=cos［（2Z+l）兀-a］=cos（兀-a）=-cosa,此時

cosa=-1,所以B錯誤.

若［丹（攵￡Z）,貝ijtan（1+仇”二"?=笆瞋廣工所以C正確.

2\2/cosg+a）-smatana

將等式sin?+cosa=l兩邊平方并化簡，得sinacosa=0,故sina=0或

cosc=0.若sinc=0,則cosa=l,止匕時sin"a+cos"a=l.若cosa=0,則sinc=l,止匕時sin"a+cos〃a=l.故

sin"a+cos〃a=l,所以D正確.

故選CD.

1l.BDVcos^x-^=cosQ-x）=cos［；—^+x）卜in（x+；）,

,\/U）qsin（%+；）,故A不正確;函數(shù)/U）的最大值是，，故B正確;函數(shù)的最小正周期是2兀，故C

不正確;當xe（-烷）時/+2（沃）40j）,.?.函數(shù)本）在（一屋）上單調遞增，故D正確.故選

BD.

12.AC由題意得g(x)=sin03%-y4-9).飛㈤的最小正周期為

???W=今解得＜w=2,.，.g(x)=sin(4x-y+0).：g(x)為偶函數(shù),

-空+夕=左兀+^,%WZ,解得(p=kit+^-,kGZ,0＜夕＜兀,8=比,

3266

，g(x)=sin(4x-y+Y)=sin(4x-=-cos4x)/(x)=sin(2%+第.

當a,時,2x+詈2x?親*.於)的圖象關于信,0)對稱，故A正確.

當xG(。，居)時“+詈金管號)，此時段)不是單調函數(shù)，故B錯誤.

g(x)>1,E|J-cos4x>1,...2%兀+詈*忘2也+詈,女￡2,解得^71：+2三爛夫無+；,左￡2,故C正確.

由/(x)=g仔)得sin(2x+D=-cos2r=sin(2x-1),；.2%+詈=2r-]+2Z兀①或2x+詈

=TT-(2X-])+2E②，顯然①不成立,由②得x=>如代Z,(0,空),二犬三或廣日或戶十,I.在

(0,詈)上有且只有3個相異實根，故D錯誤.故選AC.

13.答案-5

解析出)=3,即sina+tano+a-l=3,故sina+tan〃+Q=4,故尸sin(-a)+

tan(-?)+(-tz)-1=-(sino+tan〃+。)-1=-4-1=-5?

14.答案|

解析將函數(shù)產(chǎn)sin(3%+{)+2的圖象向右平移■個單位后得到的圖象對應的函數(shù)解析式為

產(chǎn)sin,卜—?+外+2=sin(o)x+^—^o>^+2.

???平移后的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，

,與勿=2〃無(〃￡Z),(w=-|〃(〃GZ),*/(y>0,ft)min=|.

15.答案?

4

解析由題圖可知4=2.

設支‘；”=九則尤l+X2=2m.

由三角函數(shù)的性質可知2〃z+s=2E+/(%eZ),

2x2ku+小

(p^=2sin(4fot+7t-^)=2sin夕=魚，左GZ,所以sins=?,.又所以

16.答案①②③

解析sinxNcosx=>xGE+2/CTT,*+2如（代2）,此時段）=5吊*6[—11];

sinx<cosx=%e（—空+2",；4-2/CTT）（攵CZ）,止匕時.*x）=cosx6（-1],所以函數(shù)人x）的值域為

[一當,1],故①正確.

由上述分析知函數(shù)/U）圖象的對稱軸為直線x=E+^,ZWZ,故②正確.

因為/U+2兀）=/□）,所以函數(shù)於）是周期函數(shù)，故③正確.

當％=>2h:或A2%?；颳Z）時，函數(shù)段）取得最大值1,故④錯誤.

當xd（2E+71,2/CTT+引（ZGZ）時段）<0,故⑤錯誤.

sin(3Tr-a)cos(2ir-a)sin償-a)_sinacosa(-cosa)

17.解析(1)/(?)=cosa.分)

cos(ir-a)sin(-n-a)-cosasina(5

C0S

(2)VQ+a)=-sina=-￡,sina=|.(7分)

,?.a是第二象限角,.,?cosa=-竽.（9分）

/.y（a）=cosa=-誓.（10分）

18.解析（1）由題圖可得A=1,?=白吟=：,所以7=兀,則①哼=2,所以火x）=sin（2x+s）.（2分）

因為於）的圖象過點七,1）,所以2x色夕=；+2E伙GZ）,即8音+2E（ZdZ）,

又-卜夕<京所以夕三，（4分）

故Kx）=sin（2x+（5分）

（2）結合題中圖象及函數(shù)的最小正周期可知,函數(shù)人x）的圖象的對稱軸方程為x=^+y（A:eZ）.（7

分）

令1+2也%+是+2億Z￡Z,得-*eZ,故函數(shù)於）的單調遞

增區(qū)間為卜工+而三+司（26）.（9分）

（3）段）的圖象向右平移g個單位得到y(tǒng)=sin[2-+小sin9x-§的圖象，故g（x）=sin（x-三

（10分）

作產(chǎn)g（x）在替羽上的圖象，如圖所示：

因為g（x）=a-l在xw槨,羽上有兩個不同的解，所以即*＜2.故實數(shù)a的取值范圍是

修,2）.（12分）

19.解析⑴由題意胃吟即丁=兀,所以。手=2.（2分）

若選擇①，因為函數(shù)/U）的圖象向右平移行個單位后所得圖象關于y軸對稱，所以y=2sin[2（x-

限）+同=2sinb*-^+R）的圖象關于y軸對稱，所以（p-^=kn

項,七￡Z,即中號+kn,kEZ.（5分）

因為I研與所以片?.所以於）=2542%-*（7分）

若選擇②，因為y=j[x+]）=2sin[2（x+習+同=2sin（2x+1是奇函數(shù)，所以＞9=E,AGZ,即

s=q+E,%ez.（5分）

因為1例＜5,所以s=?.所以/（x）=2sin（2%-（7分）

若選擇③,—%）=2sin[2x（x—千）+同=2sin卜%—4-g）.

由題意得2x工?+9=2①手々eZ）,即^=2^（A：eZ）.（5分）

因為1研＜今所以S=T.所以/（x）=2sin（2%-。（7分）

⑵當“q*用時，嗎H-色，乳（9分）

所以當2嗎=々,即廣吟時，函數(shù)段）取得最小值，為-2.（12分）

20.解析（1）由題表得%）+8=0，￥/+8=兀,，勿=2,9=].（2分）

633

2%1-5=三,2尤2—=4,2用[=2兀，解得用=普/2=詈/3=?.（4分）

3232312126

由題表知A=2,."（x）=2sin（2x—（6分）

（2）由（1）知g（x）]/（羨+：）=2sinax（a＞0）.

當[-蕓，時,axG卜等，罰.（8分）

???g（x）在卜上是增函數(shù),

...[一等，?卜卜]+2/nT（+2