2022年廣東省高考數(shù)學(xué)第三次模擬試卷及答案解析

2022年廣東省高考數(shù)學(xué)第三次模擬試卷

本試卷滿(mǎn)分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案?答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng)，先畫(huà)掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)若集合A={x|x<l},B={x\x<-2},則AC(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

2.(5分)已知向量；=(3,1),4=(1,3),且+G_L(a-Xb),則人的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(5分)已知雙曲線(xiàn)C：—-1r=1(a>0,b>0)的焦距為2遮，點(diǎn)P(2,1)在C的

a2b2

一條漸近線(xiàn)上，則C的方程為()

A./一[=1B.--y2=1

44,

3x23y2x2y2

C.---=1D.---=1

205164

4.(5分)(/-R+1)(無(wú)+1)6的展開(kāi)式中尤7的系數(shù)為()

A.5B.6C.7D.15

5.（5分）已知圓錐S。的底面半徑為1,若其底面上存在兩點(diǎn)A,B,使得NAS8=90°,

則該圓錐側(cè)面積的最大值為（）

A.V2nB.2nC.242nD.4n

6.（5分）已知函數(shù)/（無(wú)）=sin（a）>0）在（0,有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則3的

值可以是（）

A.1B.3C.5D.7

7.（5分）已知函數(shù)f（x）—cv?-bx+c9若k）g3a=3"=c>l,則（)

第1頁(yè)共26頁(yè)

A.f(a)<f⑹<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)

C.fCb)<f(a)<f(c)D.f(b)<f(c)<f(?)

8.（5分）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱(chēng)康托爾集.如圖是其構(gòu)造過(guò)程

的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［0,1J平均分成三段，去掉

12

中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間［0,9和IJ；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分

121278

為二段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：［0,-j.［~,-1，［-，-］,［-.IJ;如

此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了二分康托集.若經(jīng)歷"步構(gòu)造后，

2021

—；不屬于剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是（）

2022

I1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

（多選）9.（5分）已知點(diǎn)M在直線(xiàn)/：y-4=&G-3）上，點(diǎn)N在圓O：則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)N到/的最大距離為8

B.若/被圓O所截得的弦長(zhǎng)最大，則k=g

7

C.若/為圓O的切線(xiàn)，則攵的取值范圍為{0,—}

24

D.若點(diǎn)M也在圓。上，則O到/的距離的最大值為3

（多選）10.（5分）設(shè)zi,Z2為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若|zi-Z2|=0,則Z1=Z2

B.若|zi|=|z2|,則Z12=Z2?

C.若Zl+Z2>0,則Z2=五

D.若Z1Z2=O,則Z1=O或Z2=O

（多選）11.（5分）某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測(cè)中，語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)

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學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如圖所示，表示的是該班甲、乙、丙三

位同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).從這次考試的成績(jī)看，下列結(jié)論正確的是()

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

100200300?0500

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

A.該班六科總成績(jī)排名前6的同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)排名更好

B.在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是語(yǔ)文

C.數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語(yǔ)文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)

D.在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是甲

2X-1,XG[0,1)

(多選)12.(5分)已知函數(shù)火x)的定義域?yàn)椋?,+8),且滿(mǎn)足火了)=

log2(3-x)，xG[1/2)

當(dāng)時(shí)，f(x)=V(x-2),人為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)人=-1時(shí)，/(log280)

B.當(dāng)入＞0時(shí)，f(x)在［10,11)單調(diào)遞增

C.當(dāng)入＞-1時(shí)，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域?yàn)椋廴?"”,A2"2］

D.當(dāng)人＞0,且入W1時(shí)，若將函數(shù)g(x)=4號(hào)與/(N)的圖象在［0,2n］(nGN*)的

機(jī)個(gè)交點(diǎn)記為(.Xi,yi)(i=L2,3,…,nt),則￡曙］+y()=n2+X"-I

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三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

八、.sin201…

13.（5分）若-------=一，則tan0=

COS20+13-----------

14.（5分）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足/（X-1）為偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞增的函數(shù)/（工）=.

15.（5分）己知拋物線(xiàn)E：），2=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為/,過(guò)尸的直線(xiàn)〃，與E交于A(yíng),B兩

點(diǎn),4尸的垂直平分線(xiàn)分別交/和x軸于P,Q兩點(diǎn).若乙4FP=ZAFQ,則|AB|=.

16.（5分）已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=AC=DB=DC,AD

=2BC=4,則球O的表面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）在平面四邊形A8CD中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

（1）若4。=亨,求NADC;

（2）若BD=CD,求△ACQ的面積.

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18.(12分)體育課程的實(shí)施可以有效地促進(jìn)學(xué)生身體的正常發(fā)育，提高身體的健康水平.某

校對(duì)高一年男生進(jìn)行1000米測(cè)試，經(jīng)對(duì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到

如下頻率分布直方圖：

(1)從這10()名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人測(cè)試成績(jī)都低于60分的概率；

(2)從該校所有高一年男生中任意選取3人，記70分以上的人數(shù)為奉求己的分布列和

期望；

(3)從樣本頻率分布直方圖中發(fā)現(xiàn)該校男生的1000米成績(jī)X近似服從N⑺，。2),已

知樣本方差$2=116.44,高一年男生共有1000人,試預(yù)估該校高一年男生1000米成績(jī)?cè)?/p>

89.2分以上的人數(shù).

附：V116.44?10.8.

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,、3「。1一1。2-111

19.(12分)已知數(shù)列｛板｝7兩足----?.....=-?

ala2anan

(1)求｛。"｝的通項(xiàng)公式；

(2)在以和或+1(依N*)中插入4個(gè)相同的數(shù)(-1)/'Ie,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛d)：

1,02,-2,-2,43,3,3,3,04,求｛加｝的前100項(xiàng)和S100.

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20.(12分)如圖，多面體ABCEF中，AB=AC,BFVCE,。為BC的中點(diǎn)，四邊形AQEF

為矩形.

(1)證明：BELCE-,

(2)若AB=2,NBAC=120°,當(dāng)三棱錐E-BC尸的體積最大時(shí)，求二面角A-B尸-E

的余弦值.

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21.(12分)已知點(diǎn)Fi(-1,0),F2(1,0),M為圓O：f+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)FiM

至M使得FiN的垂直平分線(xiàn)與尸2N交于點(diǎn)P,記尸的軌跡為

(1)求「的方程；

(2)過(guò)尸2的直線(xiàn)/與「交于A(yíng),8兩點(diǎn)，縱坐標(biāo)不為。的點(diǎn)E在直線(xiàn)x=4上，線(xiàn)段OE

分別與線(xiàn)段AB，「交于C,O兩點(diǎn)，且QQ|2=|OC|?|O￡1，證明：|AC]=由C|.

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22.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-zn)sinx+cosx,x6[0,—

(1)當(dāng)mW*時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若m=0,f(x)(x-ii),求

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2022年廣東省高考數(shù)學(xué)第三次模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)若集合A={x|x〈l},B={x|x<-2},則4n(CRB)=()

A.0B.RC.(-2,1)D.[-2,1)

解：?.?集合A={4rVl},B=[x\x<-2},

.,.CRB={X|X2-2}.

/.AD(CRB)={X|-2^X<1}=[-2,I).

故選：D.

2.(5分)已知向量之=(3,1),b=(1,3),且(a+b)±(a-Ab),則入的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

解：,.響量z=(3,1),b=(1,3),且(a+fe)±(a-Ad),

(a+b)*(a—入b)=a2+(1-A)a-b-Xb2=10+(1-A)(3+3)-10A=0.

.?.入=1,

故選：C.

%2y2

3.(5分)已知雙曲線(xiàn)C：---=1(a>0,b>0)的焦距為2近，點(diǎn)P(2,1)在C的

a2b2

一條漸近線(xiàn)上，則C的方程為()

A.x2-^-=1B.——y2=l

44,

3x23y2x2y2

C.--——=1D.---=1

205164

y2

解：雙曲線(xiàn)C：—--=1(a>0,b>0)的焦距為2有，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸

a2bz

近線(xiàn)上，

可得：Va24-b2=V5,并且2Z?-〃=0,

解得a=2,b=l.

12

所求的雙曲線(xiàn)方程為：—-7=1.

4

故選：B.

4.(5分)(7-x+l)(x+1)6的展開(kāi)式中P的系數(shù)為()

第10頁(yè)共26頁(yè)

A.5B.6C.7D.15

解：用/-x+1中的前2項(xiàng)分別與（x+1）6展開(kāi)式中的5次項(xiàng)、6次項(xiàng)相乘然后相加得

^,Cgjc5,!2-jfCfiX6,!=5x7,

...（?-x+l）（x+1）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為5.

故選：A.

5.（5分）已知圓錐S。的底面半徑為1,若其底面上存在兩點(diǎn)A,B,使得/ASB=90°,

則該圓錐側(cè)面積的最大值為（）

A.V2TTB.2nC.2y[2nD.4n

解：因?yàn)閳A錐的軸截面是等腰三角形，其底面上存在兩點(diǎn)A,B,使得NASB=90°,

可知母線(xiàn)1＜仁V2，

1

所以圓錐的側(cè)面積為：-X2TTxZ=n/＜V27T,當(dāng)且僅當(dāng)圓錐的軸截面是等腰直角三角形

時(shí)，側(cè)面積取得最大值.

故選:A.

6.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（gr+4）（u）＞0）在（0,-）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則3的

值可以是（）

A.1B.3C.5D.7

人一TT7T

解：f(x)=sin(au+4),Vx6(0,—)f

TTTT71TC

4424

7T7T

:函數(shù)/(x)=sin(3X+9(3>o)在(0,-)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

7T+兀-

一2

得

可4

"0)3

+7T

2-4-

故選：B.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)—ax2-bx+c,若log3a=30=c>1,則()

A.f(?)<f(Z?)<f(c)B.f(c)<fCb)<f(a)

C.f(b)<f(a)<f(c)D.f(b)<f(c)<f(a)

解：：log3a=3z>=c>l,

'-a>3,h>0,c>1,且a>c>b,

又：二次函數(shù)/(x)=0?-笈+C的對(duì)稱(chēng)軸為》=急滿(mǎn)足ov/vi,

第11頁(yè)共26頁(yè)

???二次函數(shù)f（X）=依2-加+。在（2,4-00）單調(diào)遞增,

2a

???/⑹</（c）</（?）,

故選：D.

8.（5分）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱(chēng)康托爾集.如圖是其構(gòu)造過(guò)程

的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［0,1］平均分成三段，去掉

12

中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間［0,?和弓，1］；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分

121278

為二段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：［0,-j,［-,-］,1-,-j,［-,IJ；如

此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了二分康托集.若經(jīng)歷〃步構(gòu)造后，

2021

——不屬于剩下的閉區(qū)間，則n的最小值是（）

□□□□□□□□

A.7B.8C.9D.10

17

解：第一次操作剩下：［0,孤島1］；

第二次操作剩下：［0,，，修,仇H；

砧一'-LPLk-T-il-c*rn1i「21127,81,2191207、8

第二次操作乘J下：［0，27］f［方，卓，r［9927-1fr1-27f3^f［r3f27-1f［r方，5〉［r3,

別［翁，1］;

1a”-12021

觀(guān)察剩余區(qū)間的最后一個(gè)區(qū)間可以寫(xiě)為：［1-擊，1］,即［審，1］,要使；不屬于

?3O4U乙乙

剩下的閉區(qū)間，則只需一丁〉二？

解得：3”>2022,

又因?yàn)?7>2187>2022,所以"的最小值是7.

故選:A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

第12頁(yè)共26頁(yè)

(多選)9.(5分)已知點(diǎn)M在直線(xiàn)/：y-4=A(x-3)上，點(diǎn)N在圓。：/+/=9上，則

下列說(shuō)法正確的是()

A.點(diǎn)N到/的最大距離為8

B.若/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大，則k=g

7

C.若/為圓。的切線(xiàn)，則攵的取值范圍為{0,—}

24

D.若點(diǎn)M也在圓。上，則。到/的距離的最大值為3

解：直線(xiàn)/：y-4=/(x-3)恒過(guò)定點(diǎn)。(3,4),當(dāng)時(shí)，圓心。到直線(xiàn)/的距離

最大，

最大距離為J(3-0)2+(4-0)2=5,故N到直線(xiàn)/的最大距離為5+3=8,故A正確；

/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)，則/過(guò)圓。的圓心O,所以0-4=/(0-3),解得仁孑

故B正確；

II7

若/為圓。的切線(xiàn)，德L=3,解得女=￡,故。錯(cuò)誤；

若點(diǎn)M也在圓。上，則圓O與直線(xiàn)/有公共點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)/與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距

離為圓的半徑3,

所以。到/的距離的最大值為3,故。正確.

故選：ABD.

(多選)10.(5分)設(shè)zi,Z2為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若［Z1-Z2|=O,則Z1=Z2

B.若|zi|=|z2|,則Z/=Z22

C.若Zl+Z2>0,則Z2=石"

D.若Z1Z2=O,則Zl=0或Z2=0

解：對(duì)于4,設(shè)zi=〃+bi,a,bER,z2=c+di,c,JGR,

V|ZI-z2|-0,/.|zi-Z2\=4(a—c)2+(b—d)2=0,

???R—：=?，?力「:，，Z1=Z2,故A正確；

3-d=01b=d

對(duì)于B,令Zl=l,Z2=Z,

則|zi|=|z2|=l,此時(shí)Z/HZ?2,故3錯(cuò)誤;

對(duì)于C,令zi=l+i,Z2=-i,

則Zl+z2=l>0，此時(shí)Z2#Z1,故C錯(cuò)誤；

第13頁(yè)共26頁(yè)

對(duì)于￡>,設(shè)zi=a+Z?i,a,匕6R,z2—c+di,c,d€R,

貝!1ziz2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i—0,

T.a(adc—+b%d=0'T.a(adc==b—dbc'.2,2>

若c=d=O,則02cd=-b2cd成立，此時(shí)z2=0,

若c=0,dWO,由〃c=bd,知人=0,由〃d=-Z?c知，〃=0,此時(shí)zi=0,

同理可知：當(dāng)cWO時(shí)，dWO,由〃2cd=-廿4,得/=一力2,

：?a=b=O,此時(shí)zi=O,

綜上，若Z1Z2=0,則Z1=0或Z2=0,故。正確.

故選：AD.

(多選)11.(5分)某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測(cè)中，語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)

學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如圖所示，“★”表示的是該班甲、乙、丙三

位同學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).從這次考試的成績(jī)看，下列結(jié)論正確的是()

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

件

言

送

^

^

笠

苗

與

左

O

5。。，

六科總成績(jī)?cè)谀昙?jí)排名

A.該班六科總成績(jī)排名前6的同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)排名更好

B.在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是語(yǔ)文

C.數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語(yǔ)文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)

第14頁(yè)共26頁(yè)

D.在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是甲

解：A：由圖可得，該班六科總成績(jī)排名前的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)比語(yǔ)文成績(jī)排名更好，故A

錯(cuò)誤；

B：由右圖可得丙同學(xué)的總成績(jī)排在班上倒數(shù)第三名,其語(yǔ)文成績(jī)排在250到300名之間，

從左圖可得其數(shù)學(xué)成績(jī)排在400名左右，故8正確；

C：數(shù)學(xué)成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性比語(yǔ)文成績(jī)與六科總成績(jī)的相關(guān)性更強(qiáng)，因?yàn)橛覉D的

點(diǎn)的分布較左圖更分散，故C正確；

D：由左圖可得甲的總成績(jī)排在班上第7名，年級(jí)名次100多一點(diǎn)，

對(duì)應(yīng)到右圖可得，其語(yǔ)文成績(jī)排在年級(jí)近100名，故甲的語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成績(jī)

名次靠前；

由左圖可得甲的總成績(jī)排在班上第27名，年級(jí)名次接近250名，

對(duì)應(yīng)到右圖可得，其語(yǔ)文成績(jī)排在年級(jí)250名之后，故乙的語(yǔ)文成績(jī)名次比其六科總成

績(jī)名次靠后，故。正確；

故選：BCD.

(多選)12.(5分)己知函數(shù)火x)的定義域?yàn)椋?,+8),且滿(mǎn)足火外=12"-1'”'［0'1),

\.log2(3一x),xe［1,2)

當(dāng)元22時(shí)，/(x)="G-2),人為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

1

A.當(dāng)入=-1時(shí)，f(log280)=%

B.當(dāng)人＞0時(shí)，/(x)在［10,11)單調(diào)遞增

C.當(dāng)人〉-1時(shí)，f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域?yàn)椋廴?"-1,A2"2］

D.當(dāng)入＞0,且入#1時(shí)，若將函數(shù)g(x)=4?與/(》)的圖象在［0,2n］(nGN*)的

，"個(gè)交點(diǎn)記為Qxi,yi)(i=l,2,3,…,m),則￡曙1(Xi+y()=n2+Art-1

解：對(duì)于A(yíng),當(dāng)入=-1時(shí)，/(x)=-/(x-2),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

當(dāng)工22時(shí)，f(x+4)=f(x),f(x+2)=-f(x),

f(log2S0)=f{log2S0-4)=f(log2S)=f(log21+2)=-f［log21)=-⑵。吟-

1)=_,+1=_/,A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)人＞0時(shí)，/(x)在［0,1)上的單調(diào)性與在［2〃，2n+l)(nGN*)的單調(diào)性相同，

V/(%)在［0,1)上單調(diào)遞增，在［10,11)上單調(diào)遞增，B正確；

第15頁(yè)共26頁(yè)

對(duì)于C,由/(x)=V(X-2)得：/(x+4)=W(x+2)=入2f(x),

依次類(lèi)推可得:f(x+8)=A7(x),f(x+12)=入/(x),…，

則/(x+4")=A2V(x)；

VA<-1,：.f(x)在[0,1]和4n+l](n6N*)上單調(diào)遞增，在[4〃-3,4n-1]

(〃6N*)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x€[0,4/?](〃€N*)時(shí)，

f(x)min=f(4n-1)=22S-i)/(4n-1-4(n-1))=於⑺-。/■⑶=A2n-y(l)=A271-1,

n2n2

f(.x)max=/(4n-3)=M(T)/(4n-3-4(n-1))==A-,

：.f(x)在[0,4n](nGN*)上的值域?yàn)閇入21,A2"-2],C正確;

對(duì)于D,由圖象可知：g(x)=4號(hào)與/(x)的圖象在[0,2n](nGN*)有〃個(gè)交點(diǎn)，且

xi=2i-1,

y(=A1-1(t=1,2,3,…，n),

?.?入＞0且入#1,.??數(shù)列㈤是等差數(shù)列，數(shù)列切｝是等比數(shù)列，

￡憶1(%+%)=￡口1%+%=nQ+jn-D+=/+,D錯(cuò)誤;

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

sin2011

13.(5分)若一,則tan6=-.

cos20+l3一3一

sin2012sin0cos6

解:=tan0,即tan0=g,

cos26+l32COS20

故答案為：

14.(5分)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足/(x-1)為偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)0(%)=(1+])

2

解：根據(jù)題意，若f(x-l)為偶函數(shù),則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)1=-1對(duì)稱(chēng),

第16頁(yè)共26頁(yè)

又由F（x）在（0,+8）單調(diào)遞增，可以考查對(duì)稱(chēng)軸為x=-1,開(kāi)口向上的二次函數(shù)，

則滿(mǎn)足題意的函數(shù)可以為/（X）=（X+1）2,

故答案為：（X+1）2.

15.（5分）已知拋物線(xiàn)E：y2=4x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線(xiàn)為/,過(guò)尸的直線(xiàn)機(jī)與E交于A(yíng),B兩

16

點(diǎn)，A尸的垂直平分線(xiàn)分別交/和x軸于P,Q兩點(diǎn).若則忸8|=_5_.

解：因?yàn)镻Q垂直平分AF,ZAFP=ZAFQ,

所以PA=PF=FQ.

在四邊形以。尸中，對(duì)角線(xiàn)A尸與PQ垂直,

所以四邊形附。尸是菱形，

由拋物線(xiàn)的定義可知：AF=PA,

所以PA=AF=PF,

所以AAP尸為等邊三角形，

所以NAFP=60°,

故NAPP=N4尸0=60°,

2x216

所以|AB|=2P

sin2z.AFQ（亨）2

故答案為：

16.（5分）已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD

=2BC=4,則球O的表面積的最小值為16Tt

解：取BC、40的中點(diǎn)E和凡

連接AE、DE、BF、CF,

如圖所示:

第17頁(yè)共26頁(yè)

由于A(yíng)B=8。，AC^DC,BC=BC,

所以△ABC四△OBC,

所以AE=QE,

故EF為AO的垂直平分線(xiàn)，

同理，E尸為BC的垂直平分線(xiàn)，

所以球心0在直線(xiàn)EF上，設(shè)其半徑為R,

所以?xún)?裝線(xiàn),故心2,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。為AO的中點(diǎn)時(shí)，R=2,

此時(shí)球0的表面積取得最小值，

最小值為4?TT*7?2=167t.

故答案為：16ir.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)在平面四邊形ABCQ中，AB=\,BC=3,ZB=60°,ZACD=30°.

(1)若ZD=孽，求/AOC：

(2)若BD=CD,求△ACD的面積.

解：(1)在△ABC中，由余弦定理有4C2=4B2+BC2-2XABXBCXCOSNB=1+9-2X1

X3xJ=7,

：.AC=V7,

ADACyp7

在△AC。中，由正弦定理有一~—=-―,.-.4-=-~~—＞解得sin/AOC=

Sinz-ACDsinZ.ADC-sinz.ADC

2

V3

三，

第18頁(yè)共26頁(yè)

V0°<ZADC<150°,AZADC=60Q或/AOC=120°；

AC2+BC2-AB29+7-15

（2）在△ABC中，由余弦定理有cos/ACB=

2ACxBC—-2x77x3-W

V3

.,.sin/ACB=

2/71

5V3

AcosZBCD=cos(NACB+30°)=cos/4CBcos30°-sin/ACBsin30°x

2772

V31V3

277X2=V7,

在△5CQ中，由余弦定理有5D2=CQ2+3C2-2X5CXCQXCOSN3C。，,:BD=CD,

：.9-6CDx=(),CD=

.。1pry2117V3

??S^ACD=2XV7x2x2=g?

18.（12分）體育課程的實(shí)施可以有效地促進(jìn)學(xué)生身體的正常發(fā)育，提高身體的健康水平.某

校對(duì)高一年男生進(jìn)行1000米測(cè)試，經(jīng)對(duì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到

如下頻率分布直方圖：

（1）從這100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人測(cè)試成績(jī)都低于60分的概率；

（2）從該校所有高一年男生中任意選取3人，記70分以上的人數(shù)為卻求己的分布列和

期望；

（3）從樣本頻率分布直方圖中發(fā)現(xiàn)該校男生的1000米成績(jī)X近似服從N（2。2）,已

知樣本方差S2=116.44,高一年男生共有1000人，試預(yù)估該校高一年男生1000米成績(jī)?cè)?/p>

89.2分以上的人數(shù).

附：V116.44?10.8.

若X?N（p,。2）,則p（p-。<X<[i+o）=0.6826,P（p-2。<X<\i+2o）=0.954.

第19頁(yè)共26頁(yè)

c乙i

故兩人測(cè)試成績(jī)都低于60分的概率為魯=7—.

隨01650

(2)從該校所有高一年男生中任意取1人,其成績(jī)70分以上的概率為(0.04+0.022+0.018)

X10=0.8,

若70分以上的人數(shù)為《，貝心?B(3,0.8),

3

故=0)=Cj*0.2=0.008,P(f=1)=廢0.22*08=0.096,

P代=2)=CfO.21X0.82=0.384,

=3)=磴0.83=0.512.

故？的分布列為：

0123

P0.0080.0960.3840.512

E⑴=3X0.8=24

(3)由頻率分布直方圖可得，

(1=10X(45X0.001+55X0.002+65X0.017+75X0.04+85X0.022+95X0.018)=78.4,

故P(X>89.2)=P(X>78.4+10.8)=1一。產(chǎn)6=0J587,

故預(yù)估該校高一年男生1000米成績(jī)?cè)?9.2分以上的人數(shù)為0.1587X1000^159.

19.(12分)已知數(shù)列｛?！保凉M(mǎn)足巴—■—...——=—.

(1)求｛“”｝的通項(xiàng)公式;

第20頁(yè)共26頁(yè)

k

(2)在以和以+1(依N*)中插入攵個(gè)相同的數(shù)(-1)+'?k,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛b〃｝：a\9

1,02,-2,-2,03,3,3,3,44,…，求｛加｝的前100項(xiàng)和5100.

解：(1)二?數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足巴一~--—~-...an=—,

Q，2QnQn

...及22時(shí)，上.心.….嗎二=工，相除可得：幺二=」_x~,

QiQ2a?i—1^n-iQ?ia?i1

化為:Cln~On-1=1>

〃=1時(shí)，ai=-，解得m=2.

Q]

數(shù)列｛“”)是等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為2.

???！?2+(〃-1)=〃+l.

(2)在以和tu+i(依N*)中插入，個(gè)相同的數(shù)(-1)"'，匕構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛加｝:ai,

1,。2,-2,-2,。3,3,3,3,。4,…，ak,(-1)*1?匕…，(-1)好人火,ak+\,其

項(xiàng)數(shù)為Z+1+(1+2+…+Z)=(卜+1)(*+1)2100,解得％N13.

13x14

%=12時(shí)，到以+1項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為：—^―=91,其后面還有9項(xiàng)，為13,13,13,13,13,

13,13,13,13.

即2,1,3,-2,-2,4,3,3,3,5,…，14,13,13,13,13,13,13,13,13,

13.

,｛bn]的前100項(xiàng)和5100=2+1+3-2-2+4+3+3+3+5+…

+14+13+13+13+13+13+13+13+13+13

=(2+3+…+14)+1-2X2+3X3-4X4+-+11X11-12X12+13X9

22222

=112S(|±14)+12,22+32_4+—+9-10+ll-12+13X9

=104+(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(9-10)(9+10)+(11-12)(11+12)+117

=104-(1+2+―+9+10+11+12)+117

=^^12x(1+12)

=143.

20.(12分)如圖，多面體A8CEF中，AB=AC,BFVCE,。為BC的中點(diǎn)，四邊形A￡>￡F

為矩形.

(1)證明：BELCE；

(2)若AB=2,/BAC=120°,當(dāng)三棱錐E-BC尸的體積最大時(shí)，求二面角A-B尸-E

第21頁(yè)共26頁(yè)

的余弦值.

證明：（1）.四邊形4OE廣為矩形，.'.ADA.DE,

又AB=AC,。為BC中點(diǎn)，

:.AD1BC,

,:BC,。氏平面BCE,BCC\DE=D,二4。，平面BCE,

"."AD//EF,

.*.EF_L平面BCE,

又CEu平面BCE,

：.EF1CE,

'：BFLCE,BFCEF=F,BF,EFu平面BEF,

.?.CE_L平面BEF,

又BEu平面BEF,

：.BE1CE.

解：（2）；AB=AC=2,NBAC=120°,：.AD=EF=^AB=1,BC=2BD=2V3,

由（1）知：EFX^FffiBCE,

1111

22

:，VE-BCF=VF-BCE=￡BCE-EF=^BE-CE-EF=^BE-CE<―（BE+CF）=

^BC2=1（當(dāng)且僅當(dāng)BE=CE=通時(shí)取等號(hào)），

即BE=CE時(shí)，三棱錐E-BCF的體積最大，

又D為BC中點(diǎn),J.EDLBC,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DB,品為x,y,z軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

第22頁(yè)共26頁(yè)

F

則4(1,0,0),B(0,遮,0),F(l,0,A/3),C(0,一百，0),E(0,0,遮),

：.AF=(0,0,回AB=(-1,W，0),CE=(0,痘,A/3),

由(1)知：CE_L平面BEE.?.平面BEF的一個(gè)法向量為港=(0,百，回

設(shè)平面A8F的法向量蔡=(x,y,z),

則":一8'一°,令y=l,解得：x=V3,z=0,

,AB-n=—x+V3y=0

：.n=(V3,1,0),

.CEn/3/2

..cos{CE,n)=-~—=-r=---T-,

\CE\\n\46x24

由圖形可知：二面角A-BF-E為鈍二面角，

二面角A-BF-E的余弦值為-亨.

21.(12分)已知點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0),M為圓O：，+丁=4上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)

至N,使得|MV|=|MQ|,尸|N的垂直平分線(xiàn)與尸2N交于點(diǎn)尸，記P的軌跡為

(1)求「的方程；

(2)過(guò)放的直線(xiàn)/與「交于A(yíng),B兩點(diǎn)、,縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)E在直線(xiàn)x=4上，線(xiàn)段OE

分別與線(xiàn)段AB,「交于C,力兩點(diǎn)，且|OO|2=|OC「|O￡1，證明：|AC]=|BC].

解：(1)連接M。，PF\,

第23頁(yè)共26頁(yè)

是NFi的垂直平分線(xiàn)，...|PFi|=|PN，...|PFI|+|PF2|=|/W|+|PF2|=|M72|；

'：M,O分別為NQ,為尸2中點(diǎn)，：.\NF2\^2\MO\=4,

：.\PFI\+\PF2\=4>\F]FI\,

點(diǎn)軌跡是以Fl,F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即〃=2,c=l,...悌=3,

、x2y2

點(diǎn)軌跡「的方程為：—+—=

43

證明：(2)...|O￡>F=|0C|.|OE|,即甯=黑，.?.照=魯,

\OC\\OD\\xc\\xD\

由題意知:xc>0>XE=4,.'.Xp-4xc,

(1)當(dāng)直線(xiàn)/斜率不存在時(shí)，即/：x=l,此時(shí)xc=l,XD<2,止匕時(shí)據(jù)=4和不成立;

(2)當(dāng)直線(xiàn)/斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=k(x-1),A(xi,yi),B(%2,”),

8-

%i+x

由*+多=1得：(3+M2)%2一8卜2乂+妹2-12=0..2―3+4/

卜1%2—4k2-12

y=k(x-1)

3+4/c2

,一一“,,一、，Xi+x4k2

：.AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(二12=--7).

23+4/c2

設(shè)直線(xiàn)OE的方程為：y=k'x(k'WO),

由憂(yōu)簫—1)得：》=占，即配=占;

y=kfx

1212

%2y2得：X2即呼

1T+T=1