專題05 分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型（6大核心考點）（講義）（原卷版）

專題05分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型【目錄】TOC\o"13"\h\z\u 1 2 2 3 10考點一：二次函數(shù)與冪模型 10考點二：分段函數(shù)模型 12考點三：對勾函數(shù)模型 14考點四：指數(shù)函數(shù)模型 17考點五：對數(shù)函數(shù)模型 18考點六：函數(shù)模型的選擇 20本節(jié)內(nèi)容，常以其他學(xué)科或與社會生活息息相關(guān)的背景來命題，如現(xiàn)實中的生產(chǎn)經(jīng)營、企業(yè)盈利與虧損等熱點問題中的增長、減少問題，在這些背景中發(fā)現(xiàn)、選擇、建立數(shù)學(xué)模型，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型，對現(xiàn)實問題中數(shù)據(jù)進(jìn)行處理以解決問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的實用性．考點要求考題統(tǒng)計考情分析二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型2021年北京卷第8題，4分2020年上海卷第19題，14分【命題預(yù)測】預(yù)測2024年高考，可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進(jìn)行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考察．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型2023年I卷第10題，5分2021年甲卷（文）第6題，5分2020年山東卷第6題，5分1、幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型（為常數(shù)）二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．3、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題首先，要認(rèn)真閱讀理解材料．應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關(guān)系符號”表達(dá)出來，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應(yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．1．（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為A． B． C． D．2．（2021?北京）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：．24降雨量的等級劃分如下：等級降雨量（精確到小雨中雨大雨暴雨在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為，高為的圓錐形雨量器．若一次降雨過程中，該雨量器收集的的雨水高度是如圖所示），則這降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨3．（2020?山東）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為A．天 B．天 C．天 D．天4．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，地月距離為，點到月球的距離為，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，滿足方程：．設(shè)．由于的值很小，因此在近似計算中，則的近似值為A． B． C． D．5．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則A． B． C． D．6．（2018?浙江）我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一．凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為，，，則，當(dāng)時，，．7．（2020?上海）在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時間，車輛密度是該路段一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為，為道路密度，為車輛密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范圍；（2）已知道路密度時，測得交通流量，求車輛密度的最大值．8．（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)”；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）（2）定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當(dāng)，時，試求當(dāng)該宿舍樓的層數(shù)為多少時，“體形系數(shù)”最?。?．（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為億元，往后每個季度增加億元，第一季度的利潤為億元，往后每一季度比前一季度增長．（1）求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？考點一：二次函數(shù)與冪模型1、二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．2、冪函數(shù)模型為（，為常數(shù)，），在計算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時候，通常利用冪函數(shù)圖像、單調(diào)性、奇偶性解題．例1．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）一個動力船拖動載重量相等的小船若干只，在兩個港口之間來回運貨.若拖4只小船，則每天能往返16次；若拖7只小船，則每天能往返10次.已知增加的小船只數(shù)與相應(yīng)減少的往返次數(shù)成正比例.為使得每天運貨總量最大，則每次拖只小船.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為弘揚“中國女排精神”，加強青少年體育發(fā)展.學(xué)校在體育課中組織學(xué)生進(jìn)行排球練習(xí)，某同學(xué)以初速度豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點2m以上的位置最多停留時間為秒（小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字）.（注：若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點的高度與時間滿足關(guān)系式，其中．）例3．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%例4．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．考點二：分段函數(shù)模型1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏例5．（2023·全國·高三對口高考）已知兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從地前往地，到達(dá)地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回地，把汽車離開地的距離（千米）表示為時間（小時）的函數(shù)，則下列正確的是（

）A． B．C． D．例6．（2023·全國·高三對口高考）2005年10月27日全國人大通過了關(guān)于修改個人所得稅的決定，工薪所得減去費用標(biāo)準(zhǔn)從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率1不超過500元52500~2000元1032000~5000元15某人2005年9月交納個人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅（

）元．A．43 B．2280 C．680 D．不能確定例7．（2023·云南·統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格：一次購買件數(shù)510件1150件51100件101300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件考點三：對勾函數(shù)模型1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．例8．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進(jìn)一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（

）A．6年 B．7年 C．8年 D．9年例9．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)?？计谥校┠硢挝唤ㄔ煲婚g背面靠墻的小房，地面面積為，且不計房屋背面和地面的費用，則最低總造價是（

）A．57600元 B．63400元 C．69200元 D．元例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（

）A． B． C． D．例11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？既＃┤鐖D為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（

）A． B． C． D．考點四：指數(shù)函數(shù)模型在解題時，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．例12．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從級別躍升到乃至級別．國際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為2010年增長到．若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關(guān)系為，其中均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.例13．（2023·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）研究表明大氣中二氧化碳的含量對地表溫度有明顯的影響：當(dāng)大氣中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均溫度就要上升0.5℃.若到2050年，預(yù)測大氣中二氧化碳的含量是目前的4倍，則地球平均溫度將上升約℃.（參考數(shù)據(jù)：）例14．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)某人的行車速度v（km/h）與行駛地區(qū)的人口密度p（人/）有如下關(guān)系：，若此人在人口密度為a人/的地區(qū)的行車速度為70km/h，則他在人口密度為2a人/的地區(qū)的行車速度是km/h．考點五：對數(shù)函數(shù)模型在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．例15．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）（單位：）定義為.其中為聲場中某點的聲強度，其單位為，則其相應(yīng)的聲強級為.例16．（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）y（mg）與時間t（年）近似滿足關(guān)系式（），其中a是殘留系數(shù)，則大約經(jīng)過年后土壤中該藥品的殘留量是2年后殘留量的.（參考數(shù)據(jù)：，答案保留一位小數(shù)）例17．（2023·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強度，若設(shè)為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為．在2021年3月13日下午，江西鷹潭余江區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震，2020年1月1日，四川自貢發(fā)生里氏級地震，若自貢地震所散發(fā)出來的相對能量程度是余江地震所散發(fā)出來的相對能量程度的100倍，則．例18．（2023·山西晉中·高三介休一中校考階段練習(xí)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M倍時